剛體動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)

剛體動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)2§3.1力矩的瞬時(shí)效應(yīng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體—運(yùn)動(dòng)中形狀和大小都保持不變的物體。

(a)剛體上各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。

(b)剛體有確定的形狀和大小。

(c)剛體是由許多質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)元)組成的質(zhì)點(diǎn)系。

1.剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)

如果剛體內(nèi)任何兩點(diǎn)的連線在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行，這樣的運(yùn)動(dòng)就稱為平動(dòng)。平動(dòng)剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同。

平動(dòng)剛體可視為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)心是平動(dòng)剛體的代表。一.剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)3

剛體一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。

2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述r

如果剛體內(nèi)的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)便稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各質(zhì)點(diǎn)的線量(速度、加速度)不同。但各質(zhì)點(diǎn)的角量(如角位移、角速度和角加速度)相同。4r若角加速度=c(恒量)，則有5二.

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1.力矩M=FrsinM=r×F

力F對(duì)o點(diǎn)的力矩定義為：力矩的大小:droM=Fd(1)只有在垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的力才會(huì)產(chǎn)生力矩;平行于轉(zhuǎn)軸的力是不會(huì)產(chǎn)生力矩的。M(2)力矩的方向沿轉(zhuǎn)軸。z

注意:對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng),

方向:62.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理Zmirioiimi:切向方程:合外力矩合內(nèi)力矩0MI(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理7

質(zhì)量m—物體平動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I—物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。

1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義三.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量8I=Δmiri2

即：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體式中:r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。(1)質(zhì)量離散分布剛體2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算9

3.平行軸定理Io=Ic+Md2

Ic通過(guò)剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量M

剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量

d

兩平行軸(o,c)間的距離IoIcdCMo10Ic是轉(zhuǎn)軸過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是

=011o

通過(guò)o點(diǎn)且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

IO=3+ml2=2ml2=ml2例題1.1

質(zhì)量離散分布:I=Δmiri2ml2lll·crmmm

(1)輕桿連成的正三角形頂點(diǎn)各有一質(zhì)點(diǎn)m，此系統(tǒng)對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為+(3m)r2=2ml212IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll

(2)用輕桿連接五個(gè)質(zhì)點(diǎn),轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在平面且通過(guò)o點(diǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為13記?。±}1.2

質(zhì)量連續(xù)分布:

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動(dòng)，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Cdxdmxxo

解

o

(1)均質(zhì)細(xì)直棒(質(zhì)量m、長(zhǎng)l)，求通過(guò)質(zhì)心C且垂直于棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。14R

(3)均質(zhì)圓盤(m,R)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:dmrdr

(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m,R)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

15

解由M=I,=o+

t

有外力矩時(shí),

撤去外力矩時(shí),-Mr=I2,

2=-/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,得I=17.3kg.m2

。20=I1，1=/t1(因o=0)20-Mr=I1，1=/t1(因o=0)(1)

例題1.3一轉(zhuǎn)輪在20N.m的外力矩作用下，10s內(nèi)轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。撤去外力矩，它經(jīng)100s停止。求轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理16

解

對(duì)柱體，由M=I有

mg.R=I

mgmMR對(duì)m:mg-T=ma對(duì)柱：TR=I

a=R解得

=2mg/[(2m+M)R]T=Mmg/(2m+M)

例題1.4勻質(zhì)柱體(M、R)邊緣用細(xì)繩掛一質(zhì)量為m的物體。求柱體的角加速度及繩中的張力。

繩中張力Tmg！用隔離體法:T17CmgABo

例題1.6均勻細(xì)棒(m、長(zhǎng)l)AB可繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Ao=

l/3。求棒從水平位置靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)的角加速度和角速度。

解重力集中在質(zhì)心，其力矩為18完成積分得討論:

(1)當(dāng)=0時(shí)，=3g/2l，=0

(2)當(dāng)=90°時(shí)，=0，又因CmgABo19

解o水平桌面rdr

例題1.7勻質(zhì)圓盤(m、R)以o轉(zhuǎn)動(dòng)。將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？

摩擦力矩:20由=

o+t=0得又由2-o2=2，停下來(lái)前轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為o水平桌面rdr求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？21L=rpsin=mrsin

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位矢為r，動(dòng)量為p=m，角動(dòng)量L的大小式中是r與兩矢量間的夾角。

角動(dòng)量的方向垂直于矢徑r和所組成的平面,指向是r經(jīng)小于180o的角轉(zhuǎn)到時(shí)右螺旋的前進(jìn)方向。dmroL=md

則質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量(也稱動(dòng)量矩)為§3.2力矩的時(shí)間累積效應(yīng)角動(dòng)量守恒定律

1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

一.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律22L=rpsin=mrsin=md角動(dòng)量L的大小dmroL

問(wèn)題:一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿一直線以速率運(yùn)動(dòng),它對(duì)直線上某點(diǎn)的角動(dòng)量為它對(duì)與直線相距d的某點(diǎn)的角動(dòng)量為0;md。M=Frsin=FdM=r×F

力F對(duì)o點(diǎn)的力矩定義為：力矩的大小rdoM

質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)為23

若質(zhì)點(diǎn)m以角速度沿半徑r的圓周運(yùn)動(dòng)(如圖),質(zhì)點(diǎn)對(duì)給定點(diǎn)o(圓心)的角動(dòng)量的大小顯然，此時(shí)角動(dòng)量L的方向與角速度的方向相同，可由右手螺旋確定。

按SI制,角動(dòng)量的單位是千克·米2/秒(kg·m2/s)。角動(dòng)量的大小和方向不僅決定于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),也依賴于所選定的參考點(diǎn),即參考點(diǎn)不同,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量也不同。L=mrLLm=mr2

242.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理

由于所以

質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。這個(gè)結(jié)論叫質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理。25沖量矩

合外力矩的沖量(沖量矩)等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。它是質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的積分形式。

對(duì)比：26

這就是說(shuō),如果質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí),則此質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變。這一結(jié)論叫做質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律。3.

質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒守律如果合外力矩零(即M=0),則L=常矢量對(duì)比：角動(dòng)量守恒定律是：M外=0，則L=常矢量。動(dòng)量守恒定律是：F外=0，則p=常矢量。27

解

例題2.1

一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，位矢為：r=acosti+bsintj(式中a、b、均為常量);求質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量及它所受的力矩。xyzo28r=acosti+bsintj00=mabk=m29F=ma=-m2rM=rF=-m2rr=0質(zhì)點(diǎn)所受的力矩:r=acosti+bsintjM=rF30

解小球?qū)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：

mr2

o=m(r/2)2=4o

由動(dòng)能定理，拉力的功為Forom

例題2.2

光滑水平桌面，繩通過(guò)孔o(hù)拉著小球m以o作半徑r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)向下緩慢拉繩，求半徑從r變?yōu)閞/2過(guò)程中拉力的功。31d解得:

=4m/s,

=30

解故機(jī)械能都守恒：

例題2.3

光滑水平面上，輕彈簧為原長(zhǎng)(lo=0.2m,k=100N/m),滑塊(m=1kg)o=5m/s,方向與彈簧垂直。當(dāng)彈簧繞o轉(zhuǎn)過(guò)90時(shí)，其長(zhǎng)度l=0.5m，求此時(shí)滑塊速度的大小和方向。

角動(dòng)量守恒：

mo

lo=mlsinololomm32對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒：

moR=

解火箭只受引力(保守力)作用，機(jī)械能守恒：解得CooAMRo3Rmdm3Rsin

例題2.4

質(zhì)量為m的火箭A以o沿地球表面發(fā)射出去,其軌道與地軸oo交于C點(diǎn)(oC=3R)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求：=？(地球質(zhì)量為M、半徑為R)

33ZLmiirio

Li=Δmiiri=Δmiri2

剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量就是

Lz=(Δmiri2)

設(shè)剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量為Δmi的質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量為

=I二.

剛體的角動(dòng)量及守恒守律1.剛體的角動(dòng)量

剛體的角動(dòng)量=剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量之和。

剛體角動(dòng)量的方向:角速度的方向。342.系統(tǒng)(質(zhì)點(diǎn)系)角動(dòng)量定理

mi:位矢為ri,外力為Fi,內(nèi)力質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理:對(duì)各質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到得mirioFifijimj35=M系統(tǒng)所受的合外力矩=L系統(tǒng)的總角動(dòng)量

系統(tǒng)所受的合外力矩等于系統(tǒng)總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理。它同樣適用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體。mirioFifijimj36

即：系統(tǒng)所受合外力矩的沖量(沖量矩)等于角動(dòng)量的增量。3.

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒守律當(dāng)系統(tǒng)所受合外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的角動(dòng)量將保持不變定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。I=常量

若系統(tǒng)所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時(shí)，則37

系統(tǒng)動(dòng)量守恒：時(shí),時(shí),系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：

對(duì)比：

38

飛機(jī)要安裝尾翼。魚雷有兩個(gè)反向轉(zhuǎn)動(dòng)的螺旋漿。輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈等上的回轉(zhuǎn)導(dǎo)航儀(也叫“陀螺”)。39解解得mooA

例題2.5勻質(zhì)桿(長(zhǎng)l、M)靜止懸掛。子彈(m,o)射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度。(1)桿+子彈：碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒：40(2)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中顯然機(jī)械能守恒：mooA轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能零勢(shì)面平動(dòng)動(dòng)能41

解

(1)碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒:mm.o

例題2.6粗糙的水平桌面上(μ)勻質(zhì)細(xì)桿(長(zhǎng)2L、m)靜止。兩相同的小球(m、)與桿的兩端同時(shí)發(fā)生完全非彈性碰撞,求:(1)剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？(2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？(不計(jì)兩小球的質(zhì)量)解得42

摩擦力矩為由=o+t得：.o.(2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？(不計(jì)兩小球的質(zhì)量)xdmdxfr43

解系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：o

例題2.7

勻質(zhì)園盤(M、R)與人(m,視為質(zhì)點(diǎn))一起以o繞通過(guò)其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)此人從盤的邊緣走到盤心時(shí)，圓盤的角速度是多少？44.oommrrIo=(I+2mr2)

例題2.8兩個(gè)同樣的子彈對(duì)稱地同時(shí)射入轉(zhuǎn)盤中，則盤的角速度將。(填：增大、減小或不變)減小45

(1)系統(tǒng)(圓盤+人)角動(dòng)量守恒：

(1)圓盤對(duì)地的角速度;(2)欲使園盤對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤的速度大小和方向？o

例題2.9

勻質(zhì)園盤(m、R)與一人(,視為質(zhì)點(diǎn))一起以o轉(zhuǎn)動(dòng)。若人相對(duì)盤以速率、沿半徑為的園周運(yùn)動(dòng)(方向如圖),求:解46人對(duì)地=人對(duì)盤+盤對(duì)地人對(duì)地=o+

角動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。47解出：o人對(duì)地=+

48(2)欲使盤靜止，可令得式中負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(dòng)(o)方向一致。o49

解

例題2.10

空心園環(huán)(Io,R)可繞豎直軸AC轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)環(huán)o,小球m靜止在A點(diǎn)，求當(dāng)小球滑到B點(diǎn)時(shí),環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少。(設(shè)各處光滑,環(huán)截面很小)ABoRoC對(duì)軸AC角動(dòng)量守恒:環(huán)的角速度為50

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球有

B表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的豎直分速度(即相對(duì)于環(huán)的速度)。

ABoRoCB

機(jī)械能守恒:小球相對(duì)于環(huán)的速度為多少?零勢(shì)面51轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為平動(dòng)動(dòng)能為§3.3力矩的空間累積效應(yīng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能Δmi的動(dòng)能:=剛體上各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和一.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能ZLmiirio52

力矩的功率是二.力矩的功ZFdsdopr即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘積。=Frsind=Md力F的元功是

dA=Fdscos(90o-)53

上式說(shuō)明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)比:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：（I=恒量）