《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》項(xiàng)目8 線性方程組

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經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)項(xiàng)目8

項(xiàng)目8線性方程組線性方程組的消元法任務(wù)1任務(wù)2n維向量及其線性相關(guān)性向量組的秩任務(wù)3任務(wù)4線性方程組解的結(jié)構(gòu)任務(wù)1線性方程組的消元法章目錄一、線性方程組的矩陣表示方法二、消元法與矩陣的初等變換的關(guān)系三、線性方程組解的判定一、線性方程組的矩陣表示方法n元線性方程組的一般形式為：（8-1-1）其矩陣形式：其中：

稱為(8-1-1)的系數(shù)矩陣，稱為(8-1-1)的常數(shù)項(xiàng)矩陣，稱為(8-1-1)的未知數(shù)矩陣，

稱為(8-1-1)的增廣矩陣，記為

。

節(jié)目錄章目錄二、消元法與矩陣的初等變換的關(guān)系例如解線性方程組節(jié)目錄章目錄二、消元法與矩陣的初等變換的關(guān)系以上方法是逐步迭代得到方程組的解，我們還可將上述增廣矩陣通過(guò)初等行變換，化為最簡(jiǎn)階梯型矩陣，同樣可以得到相同結(jié)果。節(jié)目錄章目錄三、線性方程組的判定1.非其次線性方程組2.其次線性方程組節(jié)目錄章目錄相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例1

解方程組解：

(-1)(－3)(－2)

4(－1)(－2)相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄因?yàn)椋苑匠探M有惟一解。進(jìn)行回代后可得方程組的解。例2

解方程組解：(-2)(-1)

(-1)(-5)相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄(-3)因?yàn)?/p>

所以方程組有無(wú)窮多解，將其還原為方程組：即

原方程通過(guò)消元只剩下二個(gè)方程，說(shuō)明第三個(gè)方程為多余方程。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄取

方程組的解為：因c1，c2為任意常數(shù)，故方程組有無(wú)窮多解，其中x1，x2稱為自由未知量。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例3

解方程組因?yàn)?/p>

，故方程組無(wú)解。實(shí)際上，將矩陣第三行還原為方程，即

顯然，它是一個(gè)矛盾方程，故無(wú)解。解：(-2)(-1)(-3)(2)(-2)相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例4

解方程組解：對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換(-2)1(-1)(-1)相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄由此得，，方程組有非零解。因，即有2個(gè)自由未知量，x2，x4為自由未知量，將其還原為方程，得取

得方程組的解為：

任務(wù)2n維向量及其線性相關(guān)性一、n維向量二、線性組合三、線性方程組的線性相關(guān)性章目錄一、n維向量節(jié)目錄章目錄一、n維向量節(jié)目錄章目錄例如，設(shè)α=(2，1，5)，

β=(3，2，6)，則2α+3β=(13，8，28)。二、線性組合節(jié)目錄章目錄定義2

對(duì)于向量組，如果存在一組數(shù)，使關(guān)系式

成立，則稱向量

β

是向量組的線性組合，或稱向量β可由向量組

線性表示。三、線性方程組的線性相關(guān)性節(jié)目錄章目錄三、線性方程組的線性相關(guān)性節(jié)目錄章目錄三、線性方程組的線性相關(guān)性節(jié)目錄章目錄

（2）n+1個(gè)n

維向量必線性相關(guān)。（3）若向量組

線性無(wú)關(guān)，則它的任意部分組也是線性無(wú)關(guān)的。若向量組

的部分組線性相關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)。

（4）向量組

線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。

（5）如果向量組線性相關(guān)，而

線性無(wú)關(guān)，則可由向量組

線性表示，且表示法唯一。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例1n

維零向量

是任一向量組

的線性組合。

因?yàn)榇嬖谝唤M數(shù)，0，0，…，0，

成立。例2任何三維向量都是三維向組，

，

的線性組合。因?yàn)?其中，向量組ε1ε2ε3

稱為單位向量組。例3向量組中任一向量都是該向量組的線性組合。

因?yàn)橄嚓P(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例4設(shè)，

，

因?yàn)榇嬖谝唤M不全為零的數(shù)－2，1，0，使

，故

線性相關(guān)，注意，除上述這組數(shù)外，還存在－4，2，0，使

成立，另外，式子

仍成立。例5一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)，一個(gè)零向量線性相關(guān)。因?yàn)楫?dāng)a≠0時(shí)，僅有k=0才能使ka=0成立。而對(duì)于零向量，對(duì)于任意k≠0，都

有

。例6定義中當(dāng)s=2時(shí)，對(duì)于，如a1，a2線性相關(guān)，則k1，k2不全為0，不妨設(shè)k1≠0

，由k1a1+k2a2=0

可得，，由此可得：二向量線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例7證明單位向量組，，

是線性無(wú)關(guān)的。

證

設(shè)有一組數(shù)k1，k2，k3

，使

即

由此，所以線性無(wú)關(guān)。例8設(shè)向量組，

，

，判斷向量組的線性相關(guān)性。解

設(shè)有k1，k2，k3

，使

即

還原方程組得相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄它是一個(gè)齊次線性方程組，可對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣：

×(－3)×(－1)×(－1)

××1

相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄

因?yàn)?/p>

，所以方程組有非零解，即不全為零，故向量組

是線性相關(guān)的。將上述矩陣還原為方程組的形式，得即取所以，得線性關(guān)系式：

由此也看到，

a3可表示為a1，a2的線性組合即a3=-3a1+

2a2。同理，我們可得到a1和

a2用其余向量線性表示。任務(wù)三、向量組的秩節(jié)目錄章目錄注意：極大無(wú)關(guān)組不唯一，但一個(gè)向量組中所含向量的個(gè)數(shù)是唯一的。任務(wù)三、向量組的秩節(jié)目錄章目錄定理2矩陣A的行向量組的秩=矩陣A的列向量組的秩=矩陣A的的秩。定理3矩陣的初等行(列)變換不改變其列(行)向量間的線性關(guān)系。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄

例1求向量組，，，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解一利用初等行變換。對(duì)矩陣僅施以初等行變換：×(－2)

×（－1）×(－1)

×(－1)

×（－1）相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄由最后一個(gè)矩陣可知，a1

，a2

為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，要將a3

，a4

用線性a1

，a2表示，可把最后一個(gè)矩陣還原為方程組：

即分別取及

，可得

相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄

解二

利用逐個(gè)判別法。

（1）線性無(wú)關(guān)；

（2）對(duì)應(yīng)分量不成比例，線性無(wú)關(guān)；（3）對(duì)于，可設(shè)，即

求得

所以(如方程組無(wú)解，則說(shuō)明

線性無(wú)關(guān))同理可得任務(wù)4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)章目錄一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)節(jié)目錄章目錄齊次線性方程組的矩陣形式為，其中

對(duì)于齊次線性方程組的解，有如下性質(zhì)：一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)節(jié)目錄章目錄定理1

對(duì)于齊次線性方程組，若

，則一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為(其中r為系數(shù)矩陣A的秩，n

為未知量的個(gè)數(shù))。二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)節(jié)目錄章目錄非齊次線性方程組的矩陣形式為，取則得到對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組

，我們稱其為非齊次線性方程組的導(dǎo)出組。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例1

求齊次線性方程組

的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其全部解。

解

對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換：×(－2)×3××(－1)×相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄

×(－1)為自由未知量的個(gè)數(shù)，取x3，x5為自由未知量，得取=及得一基礎(chǔ)解系、

所以其全部解為其中C1，C2為任意常數(shù)。相關(guān)實(shí)踐節(jié)目錄章目錄例2