高考數(shù)學(xué)圓錐曲線及解題技巧

橢圓及雙曲線的性質(zhì)橢圓點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必及對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必及以長軸為直徑的圓內(nèi)切.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上隨意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線及橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.。。、、1212過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線及橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，颯沓即。若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.雙曲線點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必及對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必及以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是阿薩德.若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上隨意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線及雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線及雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.橢圓及雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)--（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓橢圓（a＞b＞o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，及y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1及A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點(diǎn)隨意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則.設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上隨意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0＜e≤時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d及PF2的比例中項(xiàng).P為橢圓（a＞b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)肯定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.橢圓及直線有公共點(diǎn)的充要條件是.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.已知橢圓（a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線及x軸相交于點(diǎn),則.設(shè)P點(diǎn)是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).已知橢圓（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線及x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線及橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，及以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)及相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必及切線垂直.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)及焦點(diǎn)的連線必及焦半徑相互垂直.橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離及以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線及長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)及非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).橢圓及雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)--（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）雙曲線雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，及y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1及A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點(diǎn)隨意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,，則（或）.設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上隨意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1＜e≤時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d及PF2的比例中項(xiàng).P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)肯定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.雙曲線（a＞0,b＞0）及直線有公共點(diǎn)的充要條件是.已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線及x軸相交于點(diǎn),則或.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2).設(shè)A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線及x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線及雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，及以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)及相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必及切線垂直.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)及焦點(diǎn)的連線必及焦半徑相互垂直.雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離及以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線及長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)及非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).圓錐曲線問題解題方法圓錐曲線中的學(xué)問綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)就須要運(yùn)用多種基礎(chǔ)學(xué)問、采納多種數(shù)學(xué)手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則當(dāng)然重要，但要做到快速、精確解題，還須駕馭一些方法和技巧。一.緊扣定義，敏捷解題敏捷運(yùn)用定義，方法往往干脆又明白。例1.已知點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點(diǎn)。求的最小值。解析：如圖所示，雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，由其次定律知即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離。二.引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2.求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t，0）（t為參數(shù)），而再設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則消去t，得軌跡方程三.數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”及“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合運(yùn)用，能使困難問題簡潔化，抽象問題形象化。嫻熟的運(yùn)用它，常能奇妙地解決很多貌似困難和麻煩的問題。例3.已知，且滿意方程，又，求m范圍。解析：的幾何意義為，曲線上的點(diǎn)及點(diǎn)（－3，－3）連線的斜率，如圖所示四.應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)探討幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”學(xué)問相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問題就會(huì)迎刃而解。例4.已知圓和直線的交點(diǎn)為P、Q，則的值為________。解：五.應(yīng)用平面對(duì)量，簡化解題向量的坐標(biāo)形式及解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面對(duì)量成為解決解析幾何學(xué)問的有力工具。例5.已知橢圓：，直線：，P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于一點(diǎn)R，點(diǎn)Q在OP上且滿意，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而假如用向量共線的條件便可簡便地解出。解：如圖，共線，設(shè)，，，則，點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線上，即化簡整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為：（直線上方部分）六.應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以敏捷運(yùn)用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6.求經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：則圓心為，在直線上解得故所求的方程為七.巧用點(diǎn)差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點(diǎn)軌跡方程，往往采納點(diǎn)差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7.過點(diǎn)A（2，1）的直線及雙曲線相交于兩點(diǎn)P1、P2，求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)，，則<2>－<1>得即設(shè)P1P2的中點(diǎn)為，則又，而P1、A、M、P2共線，即中點(diǎn)M的軌跡方程是解析幾何題怎么解 高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題,1個(gè)填空題,1個(gè)解答題),共計(jì)30分左右,考查的學(xué)問點(diǎn)約為20個(gè)左右.其命題一般緊扣課本,突出重點(diǎn),全面考查.選擇題和填空題考查直線,圓,圓錐曲線,參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)學(xué)問.解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要學(xué)問點(diǎn),通過學(xué)問的重組及鏈接,使學(xué)問形成網(wǎng)絡(luò),著重考查直線及圓錐曲線的位置關(guān)系,求解有時(shí)還要用到平幾的基本學(xué)問,這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.例1已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t(0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1)寫出直線的方程；（2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.講解:通過讀圖,看出點(diǎn)的坐標(biāo).(1)明顯,于是直線的方程為；（2）由方程組解出、；（3）,.由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過點(diǎn)Q. 須要留意的是,Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式,好玩嗎?例2已知直線l及橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且及x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．講解：從直線所處的位置,設(shè)出直線的方程,由已知，直線l不過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程得化簡后，得關(guān)于的一元二次方程于是其判別式由已知，得△=0．即①在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由已知，得代入①式并整理，得,即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程． 方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,你能畫出它的圖形嗎?例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.講解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.故所求雙曲線方程為（2）把中消去y，整理得.設(shè)的中點(diǎn)是，則即故所求k=±.為了求出的值,須要通過消元,想法設(shè)法建構(gòu)的方程.例4已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)F1及橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的面積最大值為12．（1）求橢圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程．講解：（1）設(shè),對(duì)由余弦定理,得，解出（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種狀況：i)當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①橢圓方程為由得.于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為………………②將①代入②，消去得,整理為的一元二次方程，得.則x1、x2是上述方程的兩根．且，也可這樣求解：，也可這樣求解：AB邊上的高ii)當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程得由①②知S的最大值為由題意得=12所以故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：下面給出本題的另一解法,請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為：…………①（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：……②把①代入②并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即由題意知,于是.故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為： 例5已知直線及橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.（１）求此橢圓的離心率；（2）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程. 講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為得,依據(jù)韋達(dá)定理，得∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）.由已知得，故橢圓的離心率為.（2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為解得由已知得，故所求的橢圓方程為. 例6已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)， （1）假如，求直線MQ的方程；（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程. 講解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在始終線上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并留意到，可得 適時(shí)應(yīng)用平面幾何學(xué)問，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙.例7如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；AOBC（2）過D點(diǎn)的直線L及曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．AOBC講解:（1）建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓∵∴曲線E的方程是.