微積分1平時(shí)作業(yè)

解（1）limtan3xlim3sin

3limsin3x

x0cos（3）

sin

sin

sintx1cos

2sin2

t1

x

2 lim 22 2

2x0 sinxsin

2cosxasinx

limcosxa

sinx2

cos解

x

x

x2limx1

x2

x2x xx2

x

x2

x2

xlimxx2

x x22

x2 x2

lim2x2lim1x2x2lim1x2x2 x2 x2

t t

ex

1 解：

t0ln1t

ln1t

limln1ttt0fx

x24x121

sin2

limf

x

x limfx

x24x2

limsin22xlimf

x

x

limx5lim2sin22xlimfx1x

2

32limfx故limfxx解

ln12x2sin2

esinx

sin2 11xtanx

x0xtan

x0

1

2x3x2lim12x3x2xlim12x3x22x3x2

x0 21

1lim12x3x22x3

2

lim12x3x22x3

2

解limxsin1

limxsin1

010x0

sin

x0sin

x0cos limxsin1sinxcosx

sinxlimsinx1limcosx1100x

x

x x x x4.解：故

1

1ax241sin1

4

4a解limfxlimsinxa1 limfxlimln12x

x0

fxx0limfxf0limf解1

1aa（1）yexx01 limex，故x0是第二類間斷點(diǎn)，且為無(wú)窮間斷點(diǎn)xyxxxx0x因

limx1

limx1均存在，x0xx0x

x0

x0

x0解

y

12 12x在點(diǎn)1,1處，曲線y 的切線方程、法線方程分別xy1x111x y2x112x解

fx0Vxfx0

fx0Vxfx0fx

limfx0hfx0h2limfx0hfx0h2fx 或

limfx0hfx0hlimfx0hfx0limfx0hfx02fx8.

fxf

x2sin1

f0

lim limxsin10

Vx2sin

或f0limf0Vxf0lim limVxsin10

fxx0fxx010：fxx1fxx1limfxlimaxbabf1由此得b1

fxf

x2f1

limx1f1limfxf1limaxb1limax1a1

fxx1處可導(dǎo)，應(yīng)有f1f1，即a2.至此解ab解x（5）yx3lnxx3lnxx3lnx3x2lnxx31x23lnxxy1lnx1lnx1lnx1lnx1ln 1lnx 11lnx1lnx

1ln解

x1ln

x1ln

x2

y3x5

23 2解

y

54 1 yarcsinx22arcsinxarcsinx1

ylnlnlnx

1

lnlnx

lnlnxln

ln 11 解（14）

lnlnxlnx xlnxlnln1

lnx

1xln yxx

e

e

lnx

ex

xx1lnx 2.

1

yxxlnylnxy1lnx 故11ln（15）2.

xx xyxlnxelnxlnxelnxlnxlnxlnx2xlnxlnx2xlnx1lnx

yxlnlnylnxln故解

y2lnx y2xlnxlnx2xlnx1lnx yfexefxfexefxfexef

fexexefxfexefxf

efxfexexfexfyln1f2x 1f2x

2fxf 1f2x 1f2x解

ff5.

fxyyfx

fxfxff2yaxaxlnyaxlnalnaaxaxlnLynaxnaxlnyxexexxyexx1exxLynxexnexx解對(duì)x

xyexyxyexy1解對(duì)

exy xexx

x23xyy212x3yxy2yyy2x3x2在點(diǎn)21y1，4y1x 即yx 或x4y2即

y1xy4x或4xy9解

tt2

1 解（2）

1t2

x2x2

arctanyx1

xx2x2x2y2x2yy1 y 即 x xx2 x2xy1 y

yxyx

yyyyyxy1yxyxy yx yx

yyxxy

x2 2 解

yx yx yx2tt22

t1t

t

t

td2ytttt

解

2

dyydx

2ln x

dx

xxxxQ1cos2tsin 1cos2tdtsin 解對(duì)x

exyyxyylnxy2sinxy則

xyexyy2xsin2xx2exyxlnx解

dy

xyexyy2xsin2xx2exyxlnx xfxfxtanx，

f0f0tanx;解xxfx

fxfxxxfx4x，444

xx44x再在上式中取x 44x44444444

2552564

1

解

Q 5 收益RQPQ20 Q20Q5 15個(gè)單位，即Q15R15R15R15（2）1520R20R1532025520 20解

PdQQ

P400

100

400當(dāng)價(jià)格P1

3P1時(shí)，價(jià)格增加（減少）1，需求量將減少（增加；P1時(shí)，提高價(jià)格將增加收益3P2P2時(shí)，此時(shí)為單位彈性，即價(jià)格與需求的變化幅度相P3P3時(shí)，價(jià)格增加（減少）1，需求量將減少（增加3%；因此時(shí)為高彈性，故當(dāng)價(jià)格P3時(shí)，提高價(jià)格將減少收益解：f0f1f2f30fx0,

23中各至少存在fx的一個(gè)零點(diǎn)，即fx的零點(diǎn)至少有

2,

3三個(gè)，但fx為三次多項(xiàng)式，其零點(diǎn)最多為三個(gè)，從而fx的零恰為

2,

3三個(gè)因f1f2f30，且f

1,2

23中各至少存在fx的一個(gè)零點(diǎn)，即fx的零點(diǎn)至少有1,2

fx為二次多項(xiàng)式，其零點(diǎn)最多為二個(gè)，從而fx的零點(diǎn)恰為1,24.由條件，顯然FxC0

FxxkfxFx在01內(nèi)可導(dǎo)F0F1，即Fx0,1上滿 定理的條件，故至少存在一點(diǎn)0,1，使0Fkk1fkf即f

kf解：

fxarcsinxarccosQx1,11故當(dāng)x11

fx

fxC（常數(shù)證

fxf10 當(dāng)ba當(dāng)ba時(shí)，顯然fxlnx在a,b上滿足 少存在一點(diǎn)a,b，使得fbfafb即lnblnab 則lnblna b balnbba 解

ln

limln

lim1解

x1x

x1x

x1limx1

xx1ln

2x1lim x1ln x1

x1ln

x1lnxxx 2x2x 4x

x1xln x x1lnx limx1tanxlimx1lim 2

x1csc2

csc2 limlnsinlimsinxxlimcot

limxlnsinlimexlnsinx

x0 x0 lim lim

1

tanxlncos

xe0limlncos

limlncoslimcosxsin2xlimesin2

ex0sin2

ex0limtan

ex02xex02xe解

y6x212x186x1xx 單調(diào)增加區(qū)間為,f347解

3,單調(diào)減少區(qū)間為 3；f117為極y

xx1（x104，除去 minx1minf0,f4min1,3

maxx10x4x解令

52x

0x4x x1

fxlnxfx1

xx2

2 x xxx1fxx1fxf15.

lnx

2x1x1解得a2，

facosxcos3x33

3

a10fx2sinx1sin3因 f2sinx3sin3x

3 333f33

3 x1.(1)y12x212x12xx1

得x1 x2因在,0，1,上，y0，故在, [1,)上，曲線是凹的因在01上，y0，故在01上，曲線是凸的.同時(shí)可得點(diǎn)01，10是曲線 93y93yx0因在,0上，y0,00,上，y0，故在[0,)上，曲線是凹的.同時(shí)可得點(diǎn)00是曲線的拐點(diǎn).解因xlim xy0因x13.(2)解

xx x1x（1)該函數(shù)的定義域?yàn)?xey3xe2y因

y1lny2lnxlimlnxlim1y0因

x

xlimlnxx0

x0解LQRQCQtQ70.2QQ3Q1tQ0.2Q24Q3令LQ0.4Q4t

Q10故廠商獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量、單價(jià)、征益分別Q10P70.2102.5t5Tt102.5t10t由(1)可得，當(dāng)t0由(1)可得， 益

Q

PT10t2.5t令T105t故當(dāng)t2時(shí)，征益取最

t2102.52Q102.52解：設(shè)批量為x臺(tái)，則總費(fèi)用

P50.52fx40500020020%令

fx40500020故最優(yōu)批量為100臺(tái)

x解

fxfxdx2x1dxx2xf01可得C1，故

fxx2xfxdxx2fxfxdxx2C5.

1

dx1arctanxx21x2

1x2

dx cosxsinxdxsinxcosx sinxcosexx2ex

1 22 dxex dxex 22 x 解xx

dx12x2

d2 22 22 dx

x22x2dx1x12arctanx1913x 913x

dx

dexarctanex 2 2xxx1xxx1ln

1

xdx

2 1ln1ln1lnx

dxd1lnx x(1)令t ，則xt2，dx2tdt,xxdx

2tdt

1

1

1t2 x2tarctantC2x

xx2tantt，則dx2sec2tdt, tan3

sin3 3dx4x2

sectdt2cos2 cos2t

2cos2

dcost21cos2tdcos 1

2cost

C2

44 cos44 4444x1，則dx1dt, t

1t

1t1d11t 1 1tt1tx1

21t111t11x

C 1或xtantt，則dxsec21 dx sec2tdt

sect1x tan2tsec tan21x1 dsin1dt C sin2dt C 1.

dx sin

xcsc2xdxxcotx

cot

xcotxlnsinxx2exdxx2ex2xexdxx2ex2xexx2ex2xex