專(zhuān)題19 銳角三角函數(shù)-全國(guó)初三數(shù)學(xué)自主招生專(zhuān)題大揭秘（含答案詳解）

專(zhuān)題19銳角三角函數(shù)一．選擇題（共11小題）1．（2021?黃州區(qū)校級(jí)自主招生）已知SKIPIF1<0中，，，則A． B． C． D．2．（2020?谷城縣校級(jí)自主招生）已知，則的值為A．5 B．4 C．3 D．23.（浙江自主招生）因?yàn)椋?，所以；由此猜想、推理知：?dāng)為銳角時(shí)有，由此可知：A． B． C． D．4．（2020?浙江自主招生）如圖，在中．，，，則A． B． C．0.3 D．5．（2020?浙江自主招生）在中，，的平分線(xiàn)交于．則A． B． C． D．6．（2019?南潯區(qū)校級(jí)自主招生）以下說(shuō)法正確的是A．存在銳角，使得 B．已知為的一個(gè)內(nèi)角，且，則 C．在中，，，為的兩個(gè)內(nèi)角，則不一定等于 D．存在銳角，使得7．（2019?巴州區(qū)校級(jí)自主招生）規(guī)定：對(duì)任意角，，都有，，，，現(xiàn)給出下列等式：①；②；③；④；⑤，其中，等式成立的個(gè)數(shù)為A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．（2018?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）已知，則A． B． C． D．9．（2017?金牛區(qū)校級(jí)自主招生）下列說(shuō)法中，正確的是A．在中，銳角的兩邊都擴(kuò)大5倍，則也擴(kuò)大5倍 B．若，則 C． D．若為銳角，，則10．（2010?涼山州）已知在中，且不是等腰直角三角形，設(shè)，當(dāng)是最小的內(nèi)角時(shí)，的取值范圍是A． B． C． D．11．（2017?蕭山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，A． B．2 C． D．二．填空題（共10小題）12．（2020?赫山區(qū)校級(jí)自主招生）若為銳角，化簡(jiǎn)．13．（2020?浙江自主招生）已知：實(shí)常數(shù)、、、同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)等式：①；②（其中為任意銳角），則、、、之間的關(guān)系式是：．14．（2019?順慶區(qū)校級(jí)自主招生）已知，則銳角的取值范圍是．15．（2019?順慶區(qū)校級(jí)自主招生）直角三角形中，且，則．16．（2017?奉化市自主招生）已知的內(nèi)角滿(mǎn)足，則度．17．（2018?即墨區(qū)自主招生）已知三角函數(shù)的變換公式：（a），（b），（c），則下列說(shuō)法正確的序號(hào)是．①；②；③；④．18．（2017?信豐縣自主招生）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的值為．19．（2017?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)自主招生）已知為銳角且，則．20．（2010?天津）如圖，等邊三角形中，、分別為、邊上的點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值為．21．（2011?浙江校級(jí)自主招生）若是銳角三角形的一個(gè)內(nèi)角，則在二次根式中的取值范圍是．三．解答題（共3小題）22．（2012?海門(mén)市校級(jí)自主招生）（1）在中，，的正弦、余弦之間有什么關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程．（2）已知銳角滿(mǎn)足：，，求的值．23．（2012?蕪湖縣校級(jí)自主招生）學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類(lèi)似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)．如圖，在中，，頂角的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：（1）的值為．．1．．2（2）對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是．（3）已知，其中為銳角，試求的值．24．（2006?啟東市自主招生）已知，凸邊形是非零自然數(shù)）各內(nèi)角都是的整數(shù)倍，又關(guān)于的方程：均有實(shí)根，求這凸邊形各內(nèi)角的度數(shù)．專(zhuān)題19銳角三角函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．【解答】解：作的垂直平分線(xiàn)交于，連接，則，，，，由勾股定理得，，，則，故選：．2．【解答】解：因?yàn)?，即，所以，所以原式，故選：．3．【解答】解：，．故選：．4．【解答】解：過(guò)作交于，使，中．，，，，，，又，，，設(shè)，則，，，即，解得：，故選：．5．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于．則．可證，．，又，，，．故選：．6．【解答】解：當(dāng)是銳角時(shí)，，因此選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)，則，因此，即，故選項(xiàng)符合題意；因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)不符合題意；因?yàn)?，而，所以，因此選項(xiàng)不符合題意；故選：．7．【解答】解：①，故正確；②，即是錯(cuò)誤的；③，故正確；④，故正確；⑤，故正確．綜上所述，其中，等式成立的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選：．8．【解答】解：設(shè)直角三角形中，銳角所對(duì)的邊為，鄰邊為，斜邊為，則，，，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，由勾股定理可得，，或，，所以或，故選：．9．【解答】解：、在中，銳角的兩邊都擴(kuò)大5倍，但它們的比值不變，所以值不變，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、應(yīng)為若，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、三角函數(shù)的度數(shù)不能直接相加，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、根據(jù)設(shè)兩直角邊為、，根據(jù)勾股定理得斜邊為，所以，故本選項(xiàng)正確．故選：．10．【解答】解：根據(jù)題意，知．又，．故選：．11．【解答】解：，，，，故選：．二．填空題（共10小題）12．【解答】解：為銳角，，．13．【解答】解：由①得，兩邊平方，③由②得，兩邊平方，④③④得．故答案為：．14．【解答】解：由，得，故答案為：．15．【解答】解：在直角三角形中，，則，，，整理得，，，解得，，，故答案為：．16．【解答】解：由題意，得，解得，，，故答案為與：75．17．【解答】解：①，命題錯(cuò)誤；②，命題正確；③，命題正確；④，命題正確；故答案為：②③④．18．【解答】解：如圖，連接，四邊形是正方形，，，，，，根據(jù)題意得：，，，，，在中，，，．故答案為：219．【解答】解：由題意得：，解得：，，．故答案為：0.5．20．【解答】解：在與中，，，，．．，．．在直角中，，．21．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得．，是銳角三角形的一個(gè)內(nèi)角，在到之間正弦值是單調(diào)遞增的，的取值范圍是．三．解答題（共3小題）22．【解答】解：（1）中，，故（2）由，得，解得或（舍．23．【解答】解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，當(dāng)頂角為時(shí)，等腰三角形底角為，則三角形為等邊三角形，則．故選．（2）當(dāng)接近時(shí)，接近0，當(dāng)接近時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．于是的取值范圍是．故答案為．（3）如圖，在中，，．在上取點(diǎn)，使，作，為垂足，令，，則，又在中，，．，．則在中，，．于是在中，，．由正對(duì)的定義可得：，即．24．【解答】解