群的基本概念

關于群的基本概念第1頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

群（Group）的概念開始于19世紀初葉。群論（GroupTheory）的早期發(fā)展歸功于著名的數(shù)學家高斯（Gauss）、柯西（Cauchy）、阿貝爾（Abel）、哈密頓（Hamilton）、伽羅瓦（Galois）等。但是直到1925年出現(xiàn)了量子力學之后，才發(fā)現(xiàn)它在物理學中許多應用。貝特（Bethe）和維格納（Wigner）等人很快認識到群論在物理學中的應用，把這一新的工具用于計算原子結構和光譜。利用群論方法，可以直接對體系的許多性質作出定性的了解，可以簡化復雜的計算，也可以預言物理過程的發(fā)展趨向。目前在物理學和物理化學的許多分支中，群論已經(jīng)成為不可缺少的工具。第2頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

群論源于十九世紀初，起源于對代數(shù)方程的研究，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結果。群理論被公認為十九世紀最杰出的數(shù)學成就之一。群論歷史

群論是法國傳奇式人物伽羅瓦（Galois，1811~1832年）的發(fā)明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題?？挛鳎ˋugustin-LouisCauchy,1789~1857年)，阿貝爾（NielsHenrikAbel，1802~1829年）等人也對群論的建立做了很多貢獻。第3頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月阿貝爾簡介：

（阿貝爾：Abel,1802—1829）任何一部數(shù)學家詞典中的第一人，是十九世紀最偉大的數(shù)學家之一，是挪威空前絕后的最偉大的學者。……后人整理他的遺著花了150年。不幸的挪威數(shù)學家阿貝爾第4頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三百多年弄不清楚的問題：五次及五次以上的方程的公式解法國數(shù)學家拉各朗日稱這一問題是在“向人類的智慧挑戰(zhàn)”。1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之后，提出了方程的預解式概念，并且還看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。代數(shù)學發(fā)展過程中：第5頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月挪威數(shù)學家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高于四次的一般代數(shù)方程不存在代數(shù)解的證明。阿貝爾率先解決了這個引人矚目的難題?？墒牵捎诎⒇悹柹爸皇莻€默默無聞的“小人物”，他的發(fā)明創(chuàng)造競沒有引起數(shù)學界的重視。在失望、勞累、貧困的打擊下，阿貝爾不滿27歲就離開了人間，使他未能徹底解決這個難題。比如說：為什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精確地判斷這些方程呢？他死后第二天，倫敦大學校長的特使，手持校長的邀請函來到挪威師范學院尋找阿貝爾第6頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月殞落的新星1832年5月30日清晨，法國巴黎郊外進行了—場決斗。槍聲響后，一個青年搖搖晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆離開了人間，死時還不到21歲。死前這個青年沉痛地說：“請原諒我不是為國犧牲。我是為一些微不足道的事而死的?！边@個因決斗而死去的青年，就是近代數(shù)學的奠基人之一、歷史上最年輕的著名數(shù)學家伽羅瓦。1811年10月25日，伽羅瓦出生在法國巴黎附近的一個小鎮(zhèn)上。第7頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月更加不幸的法國數(shù)學家伽羅瓦伽羅瓦（1811.10.25—1832.5.30）浪漫的法國人一直為他們早逝的、劃時代的、人類有史以來最聰明的、思想最深刻的、最倒霉的數(shù)學家感到自責?！粝铝?00頁數(shù)學文稿，被發(fā)展成一門艱深、應用廣泛的學科----抽象代數(shù)或稱群論。第8頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)常被老師斥為笨蛋小時候，伽羅瓦并末表現(xiàn)出特殊的數(shù)學才能，相反，他12歲進入巴黎的一所公文中學后，還經(jīng)常被老師斥為笨蛋。伽羅瓦當然不是笨蛋，他性格偏執(zhí)，對學校死板的教育方式很不適應，漸漸地，他對很多課程都失去了興趣，學習成績一直很一般。第9頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月伽羅瓦遇到了數(shù)學教師里沙在中學的第三年，伽羅瓦遇到了數(shù)學教師里沙。里沙老師非常善于啟發(fā)學生思維，他把全部精力都傾注在學生身上，還常常利用業(yè)余時間去大學聽課，向學生傳授新知識。很快，伽羅瓦就對數(shù)學產(chǎn)生了極大的興趣。他在里沙老師的指導下，迅速學完了學校的數(shù)學課程，自學了多名數(shù)學大師的著作。第10頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月他盯上了著名的世界數(shù)學難題不久，伽羅瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公式問題。16世紀時，意大利數(shù)學家塔塔利亞和卡當?shù)热?，發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式。這個公式公布后沒兩年，卡當?shù)膶W生費拉里就找到了四次方程的求根公式。當時，數(shù)學家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出一個這樣的求根公式。第11頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月站在巨人阿貝爾的肩膀上面這樣的求根公式究竟有沒有呢?在伽羅瓦剛上中學不久，年輕的挪威數(shù)學家阿貝爾已經(jīng)作出了回答：“沒有。”阿貝爾從理論上予以證明，無論怎樣用加、減、乘、除以及開方運算，無論將方程的系數(shù)怎樣排列，它都決不可能是一般五次方程的求根公式。第12頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月伽羅瓦向世紀難題發(fā)起了挑戰(zhàn)1828年，也就是阿貝爾去世的前一年，伽羅瓦也向這個數(shù)學難題發(fā)起了挑戰(zhàn)。他自信找到了徹底解決的方法，便將自己的觀點寫成論文，寄給法國巴黎科學院。負責審查伽羅瓦論文的是柯西和泊松，他們都是當時世界上第一流的數(shù)學家?？挛鞑幌嘈乓粋€中學生能夠解決這樣著名的難題，順手把論文扔在一邊，不久就丟失了；兩年后，伽羅瓦再次將論文送交巴黎科學院。這次，負責審查伽羅瓦論文的是傅立葉。不巧，也就是在這一年，這位年邁的著名數(shù)學家去世了。伽羅瓦的論文再一次給丟失了。第13頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月他考進了巴黎高等師范學校伽羅瓦的論文一再被丟失的情況，使他很氣憤。這時，他已考進了巴黎高等師范學校；并得知了阿貝爾去世的消息，同時又發(fā)現(xiàn)，阿貝爾的許多結論，他已經(jīng)在被丟失的論文中提出過。在1831年，伽羅瓦向巴黎科學院送交了第三篇論文，題目是《關于用根式解方程的可解性條件》。這一次，著名數(shù)學家泊松仔細審查了伽羅瓦的論文。第14頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月年邁的泊松感到難于理解由于論文中出現(xiàn)了“置換群”等嶄新的數(shù)學概念和方法，泊松感到難于理解。幾個月后，他將論文退還給伽羅瓦；囑咐寫一份詳盡的闡述送來，可是，伽羅瓦已經(jīng)沒有時間了。在大學里，伽羅瓦由于積極參加資產(chǎn)階級革命活動，被學校開除了。第15頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月伽羅瓦預感到死亡即將來臨1831年5月和7月，他又因參加游行示威活動兩次被捕入獄，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于監(jiān)獄里流行傳染病，伽羅瓦才得以出獄。伽羅瓦恢復自由不到一個月，愛上了一個舞女，并因此被迫與一個軍官決斗。決斗前夕,伽羅瓦預感到死亡即將來臨，他匆忙將數(shù)學研究心得扼要地寫在一張字條上，并附以自己的論文手稿，請他的朋友交給當時的大數(shù)學家們。第16頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月他堅信自己的理論正確伽羅瓦自豪地寫道：“你可以公開請求雅可比或者高斯，不是對這些東西的正確性，而是對它的重要性表示意見?！蔽蚁Ｍ窈竽苡腥苏J識這些東西的奧妙，并作出恰當?shù)慕忉尅?846年法國數(shù)學家劉維爾首先“認識到這些東西的奧妙”，將它們發(fā)表在自已主辦的刊物上，并撰寫序言熱情向數(shù)學界推薦。

他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數(shù)學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學的一片新的天地。第17頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關于群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅瓦理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學，把代數(shù)學的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數(shù)學研究工作提供了新的數(shù)學工具—群論。它對數(shù)學分析、幾何學的發(fā)展有很大影響，并標志著數(shù)學發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。第18頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月時至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數(shù)學及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數(shù)拓撲學、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數(shù)群、算術群等，并在結晶學、理論物理、量子化學以至（代數(shù)）編碼學、自動機理論等方面，都有重要的應用。

群論與對稱性群論是研究系統(tǒng)對稱性質的數(shù)學工具。第19頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月物理學中的對稱性和守恒定律物理學中的許多規(guī)律常常具有一些對稱性質，從一種對稱性質就可以推導出一種守恒定律：①空間坐標平移不變性（系統(tǒng)拉氏函數(shù)L不變）

動量守恒②L在空間轉動下對稱角動量守恒③L在時間平移下對稱能量守恒④空間反演（）對稱宇稱守恒⑤晶體平移對稱性（平移晶格常數(shù)的整數(shù)倍）

Bloch定理⑥全同粒子交換對稱性玻色子，費米子⑦標度變換對稱性臨界現(xiàn)象，非線性物理，生命起源……第20頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

今天，群論經(jīng)常應用于物理領域。我們經(jīng)常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。另外，晶體學中早期的關于晶體的各種結構的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結構只有確定的230種。（230個空間群）

對稱群理論在先進（陶瓷）材料中的應用第21頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

通過對這些具有一定力學性能、物理性能的材料的微觀本質的分析，可以反過來利用對稱群分析看看可以通過哪些方式（如摻雜等）來改變晶體的晶格以獲得性能更佳、物理效應更顯著的晶體。

（壓電、鐵電、熱釋電、光學性能等）對稱性晶體結構相似的物理性能（壓電、鐵電、熱釋電、光學性能等）對稱性分析改變晶體的結構提高材料的性能第22頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、《群論及其在物理學中的應用》1、《群論及其在固體物理中的應用》

（徐婉棠、喀興林編著，高教出版社）參考書：4、《線性代數(shù)》3、《物理學中的群論》

（馬中騏編著，科學出版社）（謝希德、蔣平、陸奮著）科學出版社第23頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月《群論及其在固體物理中的應用》第一、二章：討論有限群及其表示的基本數(shù)學理論；第三、四章：討論點群在分析晶體宏觀性質中的應用；第五章：討論群論與量子力學的關系；第六章：討論空間群的不可約表示及其在能帶理論中的應用；第七、八章：介紹晶格動力學中的群論方法，色群及其表示理論。第24頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月第一部分群論基礎

第一章群的基本知識

第25頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1群一、群的定義:

有限或無限個元素（數(shù)學對象）或操作的集合{A,B,C,D…}，其中有一個與次序有關的運算方法（群乘），具備下列條件,則構成群（G）。集合中的元素（A,B,C,D…）稱為群元。

1,封閉性,AB=C（AA=D）

2,結合律,A(BC)=(AB)C3,單位元（不變元素）E,EA=AE=A4,逆元A-1,AA-1=A-1A=E第26頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二、群的性質:

1、E-1=E,單位元E的逆元仍為E,

證：（1）E-1E=EE-1=E（令：A=E，由A-1A

=AA-1=E）（2）EE-1=

E-1E=E-1

（令：A=E-1

，由EA=A

E=A）由（1）和（2）E=E-1

2、(A-1)-1=A,逆元之逆元為元素本身

證：

(A-1)-1=(A-1)-1E=(A-1)-1（A-1A)=[(A-1)-1A-1]A=EA=A3、(AB)-1=B-1A-1

證明:∵(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A

（BB-1）A-1

=

(AB)-1(AB)

B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1

∴(AB)-1=B-1A-1第27頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三、群階:群元的數(shù)目（g）離散的無限群（可數(shù)的無窮多）連續(xù)群（不可數(shù)的無窮多）無限群∞有限群

h（g為有限）2、交換群（阿貝爾群）：群乘與群元的順序無關

AB=BA1、群乘：將集合中的任意兩個元素構成唯一的另一個元素的一種運算。群乘不一定是代數(shù)運算中的乘法（如相繼操作），也不一定滿足交換律。四,可換群:(Abel阿貝爾群)第28頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月五、群的實例（群元和群乘）

1,數(shù)群:

以數(shù)為群元，以數(shù)學運算為群乘，構成數(shù)群

例(1)：全部正負整數(shù)(包括0)的集合，群乘為加法

E=0，A=n,A-1=-n

這是離散的無限群、交換群

例(2)：全部正負整數(shù)

(不包括0)的集合，群乘為乘法

E=1，A=n,A-1=1/n

提問：這是不是群？為什么？答案：不是，因為A-1=1/n不是整數(shù)，A沒有逆元。第29頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

全部正負實數(shù)(不包括0)

的集合，群乘為乘法

（構成群-連續(xù)群）例（3）：全部正負實數(shù)的集合，群乘為數(shù)乘E=1，A=n,A-1=1/n提問：這是不是群？為什么？答案：不是，因為當n=0時，A-1=1/n不在集合內。當n≠0時，A-1=1/n在集合內。

例（4）集合{1，-1}在數(shù)乘運算下構成一個群。

例（5）集合{1，-1，i，-i}

構成群。群元由

ik

構成。（k=0，1，2，3）循環(huán)群：一個群的所有群元可以由某個元的冪來產(chǎn)生。如例（5）循環(huán)群都是阿貝爾群。E=1，A-1=A第30頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2、置換群：

以變換位置的操作為群元，以相繼操作為群乘，構成置換群例:Z3

群(三位置置換群)┌123┐∣∣表示將1、2、3處之物分別放於2、3、1處，└231┘

┌123┐【①②③】→∣∣→【③

①

②】└231┘第31頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月Z3群由以下六元素構成：

┌123┐┌123┐┌123┐e=∣∣a=∣∣b=∣∣└123┘└321┘└132┘

┌123┐┌123┐┌123┐c=∣∣d=∣∣f=∣∣└213┘└312┘└231┘可以證明它們符合群的四個基本條件（自己證）

第32頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月∴

bc=f即：第33頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月滿足（不滿足封閉性）3、矩陣群:

以方矩陣為群元，以矩陣乘法為群乘，構成矩陣群。第34頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月d3

群

detA=1┌100┐┌010┐┌100┐e=∣010∣a=∣100∣b=∣001∣└001┘└001┘└010┘

┌001┐┌001┐┌010┐c=∣010∣d=∣100∣f=∣001∣└100┘└010┘└100┘

逆元：

b-1=bd-1=f封閉性：ad=b,bd=c,d2=f第35頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月4、

對稱群

(這是我們最關注的)

以對稱操作為群元，以相繼操作為群乘，構成對稱群例D3

群（使正三角形自身重合的對稱操作構成的群。）

E不動C繞C軸轉180o

A繞A軸轉180oD順時針轉120o

（繞垂直于三角形平面的軸）

B繞B軸轉180oF逆時針轉120oacbbbbbbaaaaaccccc返回第36頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月AF第37頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月5、列表

群的名稱群元群乘舉例數(shù)群數(shù)運算(加、乘等)例(1)

置換群置換相繼置換Z3群矩陣群矩陣矩陣乘法d3群對稱群對稱操作相繼操作D3群

第38頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月六

群表及群表定理1,群表：群元的乘積表例：d3群：ad=b,bd=c,d2=fD3群:AD=B,BD=C,D2=F

EABCDF

EEABCDF

AAEDFB

C

BBFEDCA

CCDFEAB

DDC

ABFE

FFBCAED

[提問：D3群是不是阿貝爾群？][答案：不是，因為AB(=D)≠BA(=F)]

習題:試證明D3群群表最后一行的偶數(shù)位,即證明

FA=B,FC=A,F2=D*群表的行和列用群元素來標記，元素A和B的乘積D=AB出現(xiàn)在A行和B列交叉處。返回第39頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月2，群表即群:群的信息全部在群表中，群表即群

[思考題：你能找出d3

,D3及Z3

群之間的內在聯(lián)系嗎?][答案:(1)D3群的對稱操作可視為三角形三頂點位置的置換；

(2)D3

群和Z3

群的操作都可表示為3×3的變換矩陣。

(3)它們的群表相同，就數(shù)學而言它們是同一群；

d3

群=Z3

群=D3

群]

3，群表定理（重排定理）

G：{E，A2，

A3，A4---------Ah}AkG:{Ak，

AkA2，AkA3，AkA4---------AkAk

}中或GAk

:{Ak，

A2AK，A3Ak，A4Ak---------AkAk

}中群中的每個元素（在每一行或每一列中）必出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次

(只是重排)，即群G被其中的元素左乘或右乘仍為該群G.AkG=GAk

=G*第40頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月求證:GAk

=G

證明:

第一步：證明每個元素必出現(xiàn)於GAk中（即證明若元素X

G，則必X

GAk）令Ar

=XAk-1

∵X，Ak-1

G,∴

Ar

G(封閉性)

則X

=

ArAk

GAk

第二步：證明每個元素只出現(xiàn)一次（即證明若又有一元素As

G使AsAk=X,則必有As

=Ar

）∵AsAk=X,又由前面可知X

=

ArAk，

∴

ArAk

=

AsAk

則Ar

=Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1=（AsAk）Ak-1

=As（AkAk-1）=

As*第41頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.2

子群和陪集一，

子群(subgroup)1，定義：群G中的一些元的集合S在相同的群乘下構成的群，為G的子群

2，顯然子群（平庸子群）：（1）E，（2）G3，子群S的條件和檢驗:（1）單位元；（2）逆元；（3）封閉性.[提問：結合律是否需要檢驗？為什么？][答案：群乘不變，結合律自然滿足]

例，[提問：以下哪些集合是D3

群的子群？(根據(jù)群表){E}，{E，A}，{E，B}，{E，D}，{A，F(xiàn)},

{D，F(xiàn)}

{E，A，F(xiàn)}，{E，D，F(xiàn)}][答案：{E},{E,A},{E,B},{E,D,F}]*第42頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二，陪集（coset）子群SG，又XG，但XS

則，SX為S關于X的右陪集,XS為S關于X的左陪集（若XS，則XS=SX=S）[提問:為什么?][答案:重排定理]

例：D3

群中子群的陪集（1）子群：S={E，D，F(xiàn)}；陪集：{A，B，C}（=A{E，D，F(xiàn)}={E，D，F(xiàn)}B）（2）子群：{E，A}；陪集：{B，F(xiàn)}，（=B{E，A}=F{E，A}）

{B，D}，（={E，A}B={E，A}D）

{C，D}，（=C{E，A}=D{E，A}）

[提問：陪集是不是群？為什么？][答案:不是。因為沒有E](其普遍性證明見后)*S關于A的左陪集S關于B的右陪集第43頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月三，陪集定理（以右陪集為例證明，結論同樣適用于左陪集）（1）若X不是S的一個元，那么SX不是一個群。（2）G中的每一個元必然落在子群或某一個右陪集中。第44頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）每一個右陪集包含s個不同的元。即在集合SX的s個元中，沒有相同的元存在。第45頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）陪集SX和SY要么完全相同，要么完全不同

（即若有一共同元，則全同）證明：若有一共同元，SmX=SnY(Sm,Sn

S)

則Sm-1SmXY-1=Sm-1SnYY-1(左乘Sm-1，右乘Y-1)

因此XY-1=Sm-1Sn

S(封閉性)

則

SXY-1

=S[提問：為什么？][答案：重排定理](只是重排,元素結合不變)

故SX=SY*

第46頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月

四,子群階定理:若子群S

群G

則子群S的階s必然是群G階g的正整因子證明：

1，群S及其陪集必然包括大群G中所有的元（群G中任何一個S以外的元素X必然在陪集SX中）

[陪集定理2]2，SX和SY要么全同，要么全不同（陪集定理4）

3，子群S與陪集SX沒有共同元（X應不屬于S）若有Sm

=Sn

X

則X=Sn-1Sm

S，與前提矛盾

4，子群與其陪集的階相同（元素的數(shù)目相同）,皆為s

（陪集定理3）

5，由以上四點可知，s是g的正整因子

G=S+SX+SY+----------+SW

（g）（s）（s）（s）（s）*即：g=si(1.2-3)

第47頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.3共軛元與類一，共軛（conjugate）

1,共軛元（conjugateelement）若群G中存在一個元X，使群中的元A、B滿足:B=XAX-1

（A，B，XG）,那么就說群元B與群元A共軛。若B共軛于A，則A也共軛于B，因為，由B=XAX-1則A=X-1B(X-1)-1=

YAY-1（

Y=X-1）

其中Y=X-1，是群G中的一個元，所以A與B互為共軛元。

2,共軛的傳遞性若A與B共軛，B與C共軛，則A與C共軛證明：若B=XAX-1，C=YBY-1

則C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=YXAX-1Y-1

=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1(Z=YXG)

故C與A共軛

第48頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3,相似矩陣

矩陣群中彼此共軛的元為彼此相似的矩陣。二,

類:

群G中彼此共軛的群元的完全集合構成類（C）。對于類C,自然有XCX-1=C(X為群G中任一群元)三，類的性質

1,單位元自成一類（XEX-1=E）

2,類相互獨立，彼此無共同元[提問：為什么？][答案：如有一共同元，則為同一類（類的傳遞性）]3,除E以外，所有的類都不是群[提問：為什么？][答案:缺E][提問:為什么缺E][答案:E自成一類]

類的元數(shù)hc：類中群元的個數(shù)。第49頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月4,對于矩陣群，同類的元具有相同的矩陣跡

(又稱特征標

)[提問：為什么？[答案：矩陣相似變換，矩陣跡不變](

定義:A＝（aij）為n階方矩陣，A的主對角線元素之和稱為A的跡，記為tr（A）。即矩陣的跡具有下述的常見性質[1]：1．tr（A＋B）=tr（A）＋tr（B）

2．tr（KA）＝Ktr（A）

3．tr（AB）＝tr（BA）

4．tr（ABC）＝tr（BCA）＝tr（CAB）第50頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月四，分類

1,基本方法：利用群表尋求共軛元，進行分類

2,可換群：每一元素自成一類證明:∵XA=AX(可換群)∴(兩邊右乘X-1)

XAX-1=AXX-1=A3,轉動群中兩轉角相同的轉動操作，若其轉軸可由群中某一操作相互轉換，則該二轉動操作同類

XAX-1=B4,D3群的分類（可自己練習）分類方法：（1）利用群表尋求共軛元（2）根據(jù)第3條分類結果：（1）{E}（E自成一類）（2）{D，F(xiàn)};{A,B,C}各為一類習題:試將D3群分類,并根據(jù)群表證明之.*第51頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月自證第52頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月(X-1)-1C-1X-1=(XCX-1)-1第53頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3.有關類的定理第54頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：第56頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3第57頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月整元則有：逆元（S-1X(S-1)-1=X、單位元（EXE-1=X）第58頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月為此只要證明：類第59頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月==g=si第61頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月(1.4-2)第62頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月=第63頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月不變子群（正規(guī)子群）一、定義：有子群NG，若XNX-1=N或XN=NX（X為G中的任一元素）則N為群G的不變子群=第64頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月二，性質1，不變子群必包括一個或幾個完整的類（即不變子群由完整的類構成）證明：若任一群元AN

則XAX-1

N（∵XNX-1=N,AN）即類CN（∵XCX-1=C）

(即類中若有一元素屬于N，則整個類屬于N)2,含一個或幾個完整類的子群是不變子群證明：若子群S=C1+C2(以兩個類為例)∵XC1X-1=C1，XC2

X-1=C2

∴XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2

X-1=C1+C2

=S

即S為不變子群*第65頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月3,不變子群的兩個陪集相乘（包括自乘）必為一個陪集或不變子群自身證明：N為G的不變子群

NK和NL為N的陪集

NKNL=NKN（K-1K）L=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）

若KL不在N中，則N（KL）是N的陪集若KL在N中，則N（KL）是N自身*例D3

群中，不變子群N={E，D，F(xiàn)}

兩陪集的乘積(NA)(NB)={E,D,F}A{E,D,F}B={E,D,F}{E,D,F}AB={E,D,F}(AB)[提問:是因為D3

群是可換群嗎?][答案:是因為{E,D,F}是不變子群](AB=D)={E,D,F}D(仍是N,={E,D,F})第66頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月4,不變子群的判斷判別條件:（1）由完整的類構成；

(缺一不可)

（2）其階是G群階的因子(子群階定理

)[提問：下列集合中哪些是D3群的不變子群?]{E,A},{E,D},{E,A,B},{E,D,F},{A,B,C}][答案：{E，D，F(xiàn)}]({A,B,C}缺E,其余不是完整類)][提問：{E，A，B，C}是否為不變子群？][答案：不是，其階4，不是g=6的因子]*第67頁，課件共82頁，創(chuàng)作于2023年2月商群一，定義:若不變子群NG，則以N及其陪集為群元，以其乘法為群乘,構成商群，記為G/N，其階m=g/s，其中s和g為N和G的階二,證明G/N={N，NK2，NK3-------NKm}確實是群

1,單位元：N為單位元證明:N（NKi）=NNKi=NKi

同理（NKi）N

=N（KiN）=N（NKi）=Nki

故N為單位元

2,逆元：NKi

的逆元為NKi-1，即(NKi)-1=NKi-1

證明：（NKi）（NKi-1）=NKiNKi-1=NNKiKi-1=NN=N3,封閉性:不變子群的兩陪集相乘為一陪集或不變子群自身

4,結合律:群G商群的乘積最終化為群G群元的乘積，群G服從結合律，其商群必服從結合律*第6