相似三角形知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

第27章相像三角形知識點(diǎn)總結(jié)比率線段的相關(guān)見解：在比率式ac(a：bc：d)中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，bdb、d叫后項(xiàng)，d叫第四比率項(xiàng)，若是把線段AB分紅兩條線段AC和段AB的黃金切割點(diǎn)。比率性質(zhì)：

b=c，那么b叫做a、d的比率中項(xiàng)。2BC，使AC=AB·BC，叫做把線段AB黃金切割，C叫做線平行線分線段成比率定理：①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比率，如圖：l1∥l2∥l3。②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延伸線）所得的對應(yīng)線段成比例。③定理：若是一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延伸線）所得的對應(yīng)線段成比率，那么這條直線平行于三角形的第三邊。相像三角形的判斷：①兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相像②兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等，兩三角形相像③三邊對應(yīng)成比率，兩三角形相像④若是一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比率，那么這兩個(gè)直角形相像⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延伸線）訂交，所組成的三角形與原三角形相像⑥直角三角形被斜邊上的高分紅的兩個(gè)直角三角形和原三角形相像相像三角形的性質(zhì)①相像三角形的對應(yīng)角相等1②相像三角形的對應(yīng)邊成比率③相像三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角均分線的比都等于相像比④相像三角形周長的比等于相像比⑤相像三角形面積的比等于相像比的平方相像三角形基本知識(一)比率的性質(zhì)比率的基本性質(zhì):比率式化積、積化比率式.acadbcbd合、分比性質(zhì):分子加（減）分母,分母不變.acakbckdbd(k=1d、2、3)b應(yīng)用:已知ac,求證:accbdabd證明:∵ac∴bd∴abcd∴acbdacacabcd等比性質(zhì):分子分母分別相加，比值不變.若acem(bdfn0)則acema.bdfnbdfnb4.比率中項(xiàng):若ab即b2ac,則b是a,c的比率中項(xiàng).bc(二)平行線分線段成比率定理1.平行線分線段成比率定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比.例.已知l1∥l2∥l3,DlBElCFl

123可得ABDE或ABDE等.BCEFACDF推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延伸線)所得的對應(yīng)線段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：ADAE或BDEC或ADAE.此推論較原定理應(yīng)用更為廣DBECADEAABAC2泛,條件是平行.推論的逆定理：若是一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延伸線)所得的對應(yīng)線段成比率.那么這條直線平行于三角形的第三邊.(即利用比率式證平行線)定理:平行于三角形的一邊,而且和其他兩邊訂交的直線,所截的三角形的三邊與原．．．．．．．三角形三邊對應(yīng)成比率.．．．．．(三)相像三角形1、相像三角形的判斷①兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像(此定理用的最多);②兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等的兩個(gè)三角形相像;③三邊對應(yīng)成比率的兩個(gè)三角形相像;④直角邊和斜邊對應(yīng)成比率的兩個(gè)直角三角形相像.2、直角三角形中的相像問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相像射影定理：

.CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（在直角三角形的計(jì)算和證明中有寬泛的應(yīng)用）.3、相像三角形的性質(zhì)①相像三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比率.②相像三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角均分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相像比

(對應(yīng)邊的比).③相像三角形對應(yīng)面積的比等于相像比的平方.4、位似圖形:若是兩個(gè)圖形不只是相像圖形，而且每對對應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.這時(shí)的相像比又稱為位似比.特別提示：①是特其他相像圖形，擁有位似中心；②位似圖形上隨意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于相像比.中考試題分類匯編相像三角形一、選擇題1、如圖1,已知AD與BC訂交于點(diǎn)O,AB//CD,若是∠B=40°,∠D=30°,則∠AOC的大小為（）A.60°B.70°C.80°D.120°CDAODEABBC3圖12、如圖，已知D、E分別是ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，DEBC,且SADES四邊形DBCE1那么AE:AC等于（）A．1:9B．1:3C．1:8D．1:23、圖為ABC與DEC重迭的狀況，其中E在BC上，AC交DE于F點(diǎn)，且AB//DE。若ABC與DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=？()(A)3(B)7(C)12(D)15。4、如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的表示圖,點(diǎn)P處放一水平的平面鏡,光芒從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后恰好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是（）A、6米B、8米C、18米D、24米5、如圖，△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換獲得的，點(diǎn)O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的面積比是（）A．1:6B．1:5C．1:4D．1:26、給出兩個(gè)命題：①兩個(gè)銳角之和不用然是鈍角；②各邊對應(yīng)成比率的兩個(gè)多邊形必然相像．()A．①真②真B．①假②真C．①真②假D．①假②假7、如圖2所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，則cosE的值等于（）A.1B.2C.3D.3222348、如上圖，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且∠BEC＝90°，將△BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，獲得△DCF，連EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，則DM:MC的值為（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:49、如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，若BC6，則DE等于A．5B．4C．3D．2ADEB題C第410、已知△ABC∽△DEF，相像比為3，且△ABC的周長為18，則△DEF的周長為（）A．2B．3C．6D．5411、如圖,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=（）A.xB.4x712x12x3C.D.

A2

DC552525

EPB12、如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a,b,c的三個(gè)正方形，則a,b,c知足的關(guān)系式是（）A、bacB、bacC、b2a2c2D、b2a2c113、如圖，△ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三均分，則圖中陰影部分的面積是△ABC的面積的（）AＡ．1Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．4EH9939FGBC（（第13題圖）514、以下四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相像的是（（第7題）A．B．15、在同一時(shí)刻，身高1.6米的小強(qiáng)在陽光下的影長為0.8則樹的高度為（）A、4.8米B、6.4米C、9.6米二、填空題1、如圖，D，E兩點(diǎn)分別在△ABC的邊AB，AC上，DE與BC不平行，當(dāng)知足條件（寫出一個(gè)即可）時(shí)，ADE∽△ACB．2、若是兩個(gè)相像三角形的相像比是1:3，那么這兩個(gè)三角形面積的比是．3、如圖5，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，若是BE2，BC3那么BF．FD

）C．D．米，一棵大樹的影長為4.8米，D、10米ADEBCADFBEC圖5C4、在Rt△ABC中，∠C為直角，CD⊥AB于點(diǎn)D,BC=3,AB=5,寫出其中的一對相像三角形是和；并寫出它的面積比.ABD5、如圖，點(diǎn)A1，A2，A3，A4在射線OA上，點(diǎn)B1，B2，B3在射線OBBB3上，且AB∥AB∥AB，AB∥AB∥AB．若△ABB，1122332132432124B2△A3B2B3的面積分別為1，4，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和B11OA1A2A3A4A為．（第5題圖）6、兩個(gè)相像三角形的面積比S1:S2與它們對應(yīng)高之比h1:h2之間的關(guān)系為．7、如圖8，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，則使A△AED∽△ABC的條件是．DEBC圖868、如圖4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=ADEBC（第12題）9、如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，若DE5，則BC的長是．10、如圖3，要測量A、B兩點(diǎn)間距離，在O點(diǎn)打樁，取OA的中點(diǎn)C，OB的中點(diǎn)D，測得CD=30米，則AB=______米．圖3三、解答題1、如圖5，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的均分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.1）求證：EF∥BC.2）若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積.2、如圖：在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的隨意一點(diǎn)，連結(jié)AP交BC于點(diǎn)E,連結(jié)BP交AC于點(diǎn)F.(1)證明：∠CAE=∠CBF;(2)證明：AE=BF;(3)以線段AE，BF和AB為邊組成一個(gè)新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記△ABC和△ABG的面積分別為SABC和S,若是存在點(diǎn)P,能使得S=S,求∠C的取值范圍?！鳌鰽BG△ABC△ABG7CFEPAHB3、如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連結(jié)AE、CG,AE與CG訂交于點(diǎn)M，CG與AD訂交于點(diǎn)N．求證：（1）AECG；（2）ANDNCNMN.4、如圖，在Rt△ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQBC于Q，過點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BQx，QRy．（1）求點(diǎn)D到BC的距離DH的長；（2）求y對于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；ARDPEBCHQ5、如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于點(diǎn)P，Q．（1）請寫出圖中各對相像三角形（相像比為1除外）；ADORP8BCE2）求BP:PQ:QR．6、如圖，□ABCD中，E是CD的延伸線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE1CD。2⑴求證：△ABF∽△CEB;⑵若△DEF的面積為2，求□ABCD的面積。

EAFDB第21題圖C7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C(3，0)，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，且知足OB23OA10．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP．設(shè)△ABP的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．（3）在（2）的條件下，可否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，P為極點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．yBxCOA8、如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分9別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q抵達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答以下問題：1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明原因；2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；3）作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為什么值時(shí)，△APR∽△PRQ？9、如圖10所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．1）求證：ADE∽BEF；（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當(dāng)x取什么值時(shí)，y有最大值?并求出這個(gè)最大值．10.如圖，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連結(jié)BC、DE訂交于點(diǎn)F，BC與AD訂交于點(diǎn)G.1）試判斷線段BC、DE的數(shù)量關(guān)系，并說明原因2）若是∠ABC=∠CBD，那么線段FD是線段FG和FB的比率中項(xiàng)嗎？為什么？相像三角形（基礎(chǔ)訓(xùn)練）10一、選擇題（每題2分，共30分）1.ac）已知，則以下式子中正確的選項(xiàng)是（bdA.a:b=c2：d2B.a:d=c:dC.a:b=(a+c):(b+d)D.a:b=(a-d):(b-d)2.一個(gè)體育場的實(shí)質(zhì)面積是6400m2，那么它在比率尺1:1000的地圖上的面積是（）2B.640cm2C.64cm2D.8cm23.測得線段AB=2.8m，CD=310cm，則線段AB與CD的比為（）A.2.8B.310C.28D.313102.831284.已知線段d是線段b、c、a的第四比率項(xiàng)，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,則d等于（）A.1cmB.10cmac5.①若是線段d是線段a、b、c的第四比率項(xiàng)，則有；db②若是點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，那么AC是AB、BC的比率中項(xiàng)；③若是點(diǎn)C是線段AB的黃金切割點(diǎn)，且AC>BC，那么AC是AB與BC的比率中項(xiàng)；④若是點(diǎn)C是線段AB的黃金切割點(diǎn)，且AC>BC，AB=2，則AC=.51其中正確的判斷有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)6.如圖，DE∥BC,在以下比式中，不能夠建立的是（）A.ADAEB.DEAEC.ABACD.DBABDBECBCECADAEECAC7.以下列圖形中相像的多邊形是（）A.所有的矩形B.所有的菱形C.所有的正方形D.所有的等腰梯形8.以下判斷中，正確的選項(xiàng)是（）A.各有一個(gè)角時(shí)67°的兩個(gè)等腰三角形相像；B.鄰邊之比都為2:1的兩個(gè)等腰三角形相像；C.各有一個(gè)角時(shí)45°的兩個(gè)等腰三角形相像；D.鄰邊之比都為2:3的兩個(gè)等腰三角形相像.9.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則△ABC中相像三角形共有（）A.1對B.2對C.3對D.4對10.點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE:S△ABC=（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:√211.abbccak(a、b、c都是實(shí)數(shù))），則k=（cabA.2B.-1C.2或-1D.無法確定12.以下說法正確的選項(xiàng)是（）兩位似圖形的面積比等于位似比；位似圖形的周長之比等于位似比的平方；C.分別在△ABC的邊AB、AC的反向延伸線上取點(diǎn)D、E，使DE∥BC，則△ADE是△ABC放大后的圖形；A.B.C.D.11位似多邊形中對應(yīng)付角線之比等于位似比13.若是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是6和8，另一個(gè)與它相像的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A.只有1個(gè)B.能夠有2個(gè)C.有2個(gè)以上，但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個(gè)如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，則CD的長為()A.1B.3D.5C.22215.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，則AC:BC的值為（）A.9:4B.9:2C.3:4D.3:2二、填空題（每題2分，共20分）16.若b8，abaab3則,_____.a=bb17.若是x:y:z=1:3:5,那么x3yz_____.x3yz18.E、F為線段AB的黃金切割點(diǎn)，已知AB=10cm，則EF的長度為_____cm.在陽光下，身高1.68m的小強(qiáng)在地面上的影長為2m，在同一時(shí)刻，測得學(xué)校的旗在地面上的影長為18m.則旗桿的高度為_____（精準(zhǔn)到0.1m）.20.兩個(gè)相像三角形對應(yīng)高的比為1:√2,則它們的周長之比為_____;面積之比為_____.21.△ABC的三邊長分別為√5、√10、√15，△A的'兩B'邊C長'分別為1和√2，若是△ABC∽△，那么A△'B'C'的第三邊A長'B為'C'.如圖，在平行四邊形ABCD中，延伸AB到E,使AB=2BE，延伸CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H.則S△BEG:S△CFG=______.如圖，AB是斜