高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)經(jīng)典易錯題會診與試題預(yù)測(中)

中學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)經(jīng)典易錯題會診與試題預(yù)料（中）考點7不等式經(jīng)典易錯題會診命題角度1不等式的概念與性質(zhì)命題角度2均值不等式的應(yīng)用命題角度3不等式的證明命題角度4不等式的解法命題角度5不等式的綜合應(yīng)用探究開放題預(yù)料預(yù)料角度1不等式的概念與性質(zhì)預(yù)料角度2不等式的解法預(yù)料角度3不等式的證明預(yù)料角度4不等式的工具性預(yù)料角度5不等式的實際應(yīng)用考點7不等式不等式的概念與性質(zhì)均值不等式的應(yīng)用不等式的證明不等式的解法不等式的綜合應(yīng)用不等式的概念與性質(zhì)不等式的解法不等式的證明不等式的工具性不等式的實際應(yīng)用經(jīng)典易錯題會診命題角度1不等式的概念與性質(zhì)1．(典型例題)假如a、b、c滿意c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不肯定成立的是()A．a(chǎn)b>acB．c(b-a)>0C．cb2<ab2D．dc(a-c)<0[考場錯解]A∵b>c，而ab，ao不肯定成立，緣由是不知a的符號．[專家把脈]由d>b>c，且ac<0．則。與c必異號，又由a>c，故a>0，c<0，條件分析不透．[對癥下藥]C．由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0．(1)由b>c，又∵a>0，∴ab>ac．(2)∵b-a<0，c<0(b-a)·c>0，D．a(chǎn)-c>0，ac<Oac(a-c)<0，而C中當(dāng)b=0時明顯不成立，故選D2．(典型例題)若，則下列不等式①a+b>ab;②|a|>|b|；③a<b④中，正確的不等式有()A．1個B．2個C．3個D．4個[考場錯解]A只有①正確，②、③明顯不正確，④中應(yīng)是≥2，故④也錯．[專家把脈]∵④中忽視與不行能相等，∵a≠b，故≠．[對癥下藥]B方法1：運用特值法，如a=-，b=-3．方法2：運用性質(zhì)由，則b<a<0，故而推斷．3．(典型例題)對于0<a<1，給出下列四個不等式①loga(1+o)<loga(1+)②1oga(1+o)>loga(1+)③a1+a<a④a1+a>a其中成立的是()A.①與③B．①與④C.②與③D．②與④[考場錯解]B∵1+a<1+，故1oga(1+a)<loga(1+)．[專家把脈]對數(shù)函數(shù)比較大小要考慮底數(shù)a的范圍，它與指數(shù)函數(shù)一樣．[對癥下藥]D∵0<a<1．∴a<1<∴1+a<1+而y=1ogax與y=ax均為減函數(shù)．∴1oga(1+a)>1oga(1+)，a1+a>a．4．(典型例題)已知實數(shù)a、b滿意等式，下列五個關(guān)系式①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不行能成立的關(guān)系式有()A．1個B．2個C．3個D．4個[考場錯解]C∵a=b明顯不成立，而a與b的大小不定，故①②③④只有可能兩個成立，故有3個不行能成立，即alg=big，-a1g2=-blg3．又∵1g2<1g3，∴-a>-b，∴a<b，故②③正確．[專家把脈]題目中不行能成立，⑤中當(dāng)a=b=0時，，所以有可能成立．[對癥下藥]B由錯解中可知a《b，故②③正確．而a=b=0時也可能成立，故不行能成立的只有①④．專家會診(1)比較兩個實數(shù)的大小，可采納作差和作商法，然后適當(dāng)變形(如配方、因式分解等)后才能推斷其符號．(2)不等式性質(zhì)的適用時要留意它的條件，如“ab>0時，a>b”．不能弱化條件變成“”也不能強化條件變?yōu)椤癮>b>0”考場思維訓(xùn)練1若，|a|>，|b|>0，且ab>0，則下列不等式中能成立的是()A．B．C．D．答案：C解析：利用特值法可看出某些選擇不能成立，而事實上，∵|a|，|b|>0，又0<<1，∴10g|a|<log|b|，由此也可干脆得結(jié)論，應(yīng)選C2已知a、b為不等正數(shù)，s<t<0，M=，N=，則M、N的大小關(guān)系是_________.答案：M>N解析：由>0，得，由s<t<00<-t<-s，故命題角度2均值不等式的應(yīng)用1．(典型例題)設(shè)a>，0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()A．B．C．D．[考場錯解]Di不肯定大于或等于[專家把脈]D中干脆放縮明顯不易比較．[對癥下藥]BA：a+b≥2ab,∴成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+1≥2a+2b(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取“=”)∴成立D：兩邊平方|a-b|≥a+b-2∴a-b≥a+b-2或a-b≤-a-b+2當(dāng)時明顯成立．解得a≥b或a≤b∴成立．2．(典型例題)設(shè)x∈(0，π)，則函數(shù)f(x)=sinx+的最小值是()A．4B．5C．3D．6[考場錯解]因為x∈(0，π)，所以sinx>0，>0，f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4．故選A[專家把脈]忽視了均值不等式a+b≥2(a.0，b>0)中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立．事實上，sinx=不行能成立，因為它成立的條件是sinx=±2，這不行能．[對癥下藥](1)f(x)=sinx+=sinx++，因為sinx+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1即x=時等號成立．又≥3，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1即x=時等號成立．所以f(x)=sinx+≥2+3=5，f(x)的最小值是5．故應(yīng)選B．(2)令sinx=t，因為x∈(0，π)，所以0<t≤1，所給函數(shù)變?yōu)閥=t+．易知此函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)，所以，當(dāng)t=1時，y取最小值5．故應(yīng)選B．3．(典型例題)設(shè)a≥0，b≥0，a2+=1，求a的最大值．[考場錯解]0ii(a=0時取等號)[專家把脈]并非定值．[對癥下藥]為利用均值不等式時出現(xiàn)定值，先進行適當(dāng)?shù)摹皽?、配”．時取“=”.專家會診利用均值不等式求最值時必需滿意“一正”、二定、三等”.尤其是等號成立的條件,必需驗證確定,而要獲得定值條件有時要配湊.要有肯定的敏捷性和變形技巧.利用均值不等式解決實際問題、證明不等式時,要會利用函數(shù)的思想和放縮法.考場思維訓(xùn)練1已知答案：B解析：聯(lián)立解得：若ab+bc+ca取最小值，可令b=則ab+c+ca=___________.答案：解析：a≤b<c∵≥，0<m<1∴10gm≤logmx+logmy，,∴a≤b，又∵∴=1．又∵0<m<1，∴b<c.故a≤b<c.3.答案：解析：∵x2(1-3x)=x·x·(-2x)≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2x，即x=時，取得最大值命題角度3不等式的證明1.(典型例題)設(shè)函數(shù)(Ⅰ)證明:當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時,ab>1;(Ⅱ)點P(xo,yo)(0<xo<1)在曲線y=f(x)上,求曲線在點P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達式(用xo表示).(2)∴f′曲線y=f(x)在點即[專家把脈]在運用不等式時應(yīng)考慮等號成立時是否符合條件.[對癥下藥](Ⅰ)證法一:因f(x)=證法二:(Ⅱ)解法一:0<x<1時,∴f′解法二:設(shè)過點P(xo,yo)處的切線方和為:y-yo=k(x-xo),k為待定系數(shù).代入并整理得kx2+(yo+1-kxo)x-1=0.因為P是切點，所以方程有重根，故判別式2．(典型例題)已知求證：[考場錯解][專家把脈]在證[對癥下藥](1)同上.綜上(1),(2)得：3．(典型例題)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x和y=-x均無公共點。[考場錯解](1)∵f(x)的圖象與y=x,y=-x均無公共點，(2)[專家把脈]在運用二次函數(shù)的性質(zhì)證明不等式時，忽視了a>0與a<0兩種狀況的探討。[對癥下藥](1)同錯解(1)(2)由=綜上所述不等式成立專家會診證明不等式，要駕馭不等式的證明基本方法，如分析法、綜合法、放縮法、函數(shù)法、反證法、換元法等.對不等式與數(shù)列、函數(shù)方和程、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的綜合證明題，難度較大，要結(jié)合性質(zhì)與不等式的基本證明方法相結(jié)合，敏捷解題，也體現(xiàn)了不等式的工具性，是高考命題的趨勢?？紙鏊季S訓(xùn)練1．已知函數(shù)(1)若f(x)在x=1和x=3處取得極值，試求b、c的值；答案：解析：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，由題意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的兩根(2)若f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上單調(diào)遞增且在(x1,x2)上單調(diào)遞減，又滿意x2-x1>1.求證：b2>2(b+2c)；答案：由題意得，當(dāng)x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)時，f′(x)>0；x∈(x1，x2)時f′，(x)<0，∴x1，x2是方程f′，(x)=x2+(b-1)x+c的兩根，則x1+x2=1-b，x1x2=c，∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-1)2-4c-1=(x1+x2)2-4x1x2-1=(x2-x1)2-1．∵x2-x1>1，∴(x2-x1)2-1>0，∴b2>2(b+2c)．(3)在(2)的條件下，若t<x1,試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明。答案：在(2)的條件下，x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)，即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x，所以t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2)，∵x2>1+x1>1+t，∴t+1-x2<0，又t<x1，∴t-x1<0，∴(t-x1)(t+1-x2)>0，即t2+bt+c>x1.2．已知數(shù)列問是否存在m∈N,使xm=2,并證明你的結(jié)論；答案：假設(shè)存在m∈N*，使xm=2，則2=xm-1=2，同理可得xm-2=2，以此類推有x1=2，這與x1=1沖突，故不存在m∈N*，使xm=2．試比較xn與2的大小關(guān)系；設(shè)答案：當(dāng)n≥2時，xn+1，-2=-2==-，則xn>0，∴xn+1-2與xn-2符號相反，而x1=1<2，則x2>2，以此類推有：x2n-1<2，x2n>2；(3)命題角度4不等式的解法1．(典型例題)在R上定義運算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1對隨意實數(shù)x成立，則a的范圍是()[考場錯解]A[專家把脈]對x?y=x(1-y)的運算關(guān)系式理解不清。[對癥下藥]2．(典型例題)已知函數(shù)f(x)求函數(shù)f(x)的解析式；設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式：[考場錯解][專家把脈](2)問中兩邊約去(2-x),并不知2-x的符號.[對癥下藥](1)同錯解中(1)當(dāng)1<k<2,解集為x∈(1,k)∪(2,+∞);當(dāng)k=2時，不等式為(x-2)2(x-1)>0解集為x∈(1,2)∪(2,+∞);③當(dāng)k>2時，解集為x∈(1,2)∪(k,+∞).3.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<6的解集為(-1,2)試求不等式的log的解集。[考場錯解]當(dāng)k>0時，k≤2,當(dāng)k<0,k≥-4.∴k=2或-4.當(dāng)k=2時f(x)=2x+2,當(dāng)k=-4時f(x)=-4x+2再由解對數(shù)不等式。[專家把脈]在求k的值時分析探討不嚴密，上式中是在x∈(-1,2)時恒成立，而k的值并不能使之成立.[對癥下藥]∵|kx+2|<6,∴(kx+2)2<36,即k2x2+4kx-32<0.由題設(shè)可得解得k=-4,∴f(x)=-4x+2.

①

②③①解得由②解得x<1,由③得4．(典型例題)設(shè)對于不大于[考場錯解]A={x|a-b<x<a+b},故[專家把脈]在求b的范圍時，應(yīng)考慮必成立的條件，如才能上式恒成立.[對癥下藥]∵A={x|a-b<x<a+b},專家會診解分式不等式時，應(yīng)將化為等價的整式不等式，避開分類探討。含肯定值的不等式應(yīng)運用平方法，零點分段法、分類探討及肯定值不等式的性質(zhì)求解?？紙鏊季S訓(xùn)練1關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式的解集是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(1,2)D(-∞,1)∪(2,+∞)答案：A解析：a>0-且=1，>0(x+1)(x-2)>0x<-1或x>2．2.若答案：(-1，cosα)∪(-cosα，1)解析：∵<a<π，∴0<sinα<1，logsinα(1-α2)>20<1-x2<sin2αcos2α<x2<1，又cosα<0．∴-1<x<cosα或-cosα<x<1．3．解不等式答案：解析：①當(dāng)x>0時，原不等式為>x>1,∴x>1②當(dāng)x<0時，原不等式為(x+1)·(2x-1)>0且x<0，∴x<-1．綜上①，②可得{x|x<-1或x>1}．命題角度5不等式的綜合應(yīng)用1．(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax-(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)設(shè)0<a[考場錯解](1)由于f(x)的最大值不大于又由①，②可得a=1.(Ⅱ),當(dāng)n=1時，0<a1<,結(jié)論成立。假設(shè)［專家把脈］在證明不等式時，運用放縮法應(yīng)有理論依據(jù)，不能套結(jié)論，而且放縮不能過大或過小.［對癥下藥］(Ⅰ)解法：由于由①②得a=1.(Ⅱ)證法一：當(dāng)可知，對任何n∈N成立。證法三：由①②知當(dāng)n=k+1時，不等式2.(典型例題)六·一節(jié)日期間，某商場兒童柜臺打出廣告：兒童商品按標價的80%出售；同時，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費滿肯定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：（如表所示）消費金額（元）[200，400][400,500][500,700][700,900]…獲獎券的金額（元）3060100130…依據(jù)上述方法，顧客可以獲得雙重實惠.試問：若購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的實惠率是多少？對于標價在[500，800]內(nèi)的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可得到不小于的實惠率？[考場錯解](1)設(shè)商品的標價為x元，則500≤x≤800,由已知得[專家把脈]商品的標價為x元，而消費額在[500×0.8,800×0.8]之間，而不是500~800之間.[對癥下藥](1)同上設(shè)商品的標價為x元，則500≤x≤800,消費額：400≤0.8x≤640.由已知得：①或②解不等式①無解，②得：625≤x≤750.專家會診1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)與幾個重要不等式求出數(shù)的最值，比較大小，探討參數(shù)的范圍等，肯定要留意成立的條件，易忽視“一正、二定、三等?！?．運用不等式解決實際問題時，首先將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而運用不等式求最值，留意成立時的實際條件與不等式成立條件應(yīng)同時考慮?？紙鏊季S訓(xùn)練答案：D解析：∵1<<，由倒數(shù)法則0<b<a<1．∵logab>logtba=1，∴0<logba<1，∴A、B、C都不正確、而|logab|+|logba|>|logab+logba|．故選D．2已知不等式x2-2x+a>0時，隨意實數(shù)x恒成立，則不等式a2x+1<ax2+2x-3<1的解集是()A.(1,2)B.C.(-2,2)D.(-3,-2)答案：D解析：∵x2-2x+a>0對x∈R恒成立．△<0，即a>1．∴不等式(a2x+1<ax2+2x-3<1∴x∈(-3，-2)．故選D．3.某企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)打算投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)料年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q=已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每年產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元，若銷售額為“年生產(chǎn)成本的150%”與“年廣告費的50%”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等。試將年利潤P萬元表示為年廣告費x萬元的函數(shù)；答案：(1)P=(32Q+3)·150％+x·50％-(32Q+3)-x=-+49．5(x>0)當(dāng)年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？答案：P=-()+49．5≤-2×4+49．5=41．5，當(dāng)且僅當(dāng)x=時，即x=8時，P有最大值41．5萬元．探究開放題預(yù)料預(yù)料角度1不等式的概念與性質(zhì)1．下列命題正確的是()[解題思路]利用均值不等式成立的條件推斷。[解答]D對于A，當(dāng)a、b同為負數(shù)時也成立；對于B，當(dāng)a、b、c中有一個為0，其余為正數(shù)時也成立；對于C，當(dāng)a、b、c∈(0，1)時也成立；D正確。2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,則下列各式中正確的是()[解題思路]利用兩角和與差的公式化簡b、a、然后再比較大小.[解答]B預(yù)料角度2不等式的解法1．關(guān)于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集為()A.[-a,+∞]B.[a,+∞]C.[2a,a]∪[-a+∞]D.(-∞,a)[解題思路]探討a、x的大小，去肯定值符號.[解答]A當(dāng)x>a,x2-ax-2a2≥0,∴x≥-a.當(dāng)x<a,不等式明顯無解.2.函數(shù)y=f(x)是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧(如圖，與y軸無交點)，則不等式f(x)<f(-x)+x的解集為()[解題思路]由f(x)為奇函數(shù)，原不等式變形為f(x)>.即可求解。[解答]A由已知有f(x)為奇函數(shù)，則原不等式變形為f(x)<畫圖可知A正確，所以選A3．函數(shù)則使g(x)≥f(x)的x的取值范圍是[解題思路]利用數(shù)形結(jié)合法.[解答]D用數(shù)形結(jié)合法，分別作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解關(guān)于x的不等式[解題思路]本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進行探討，而是取肯定值時必需對未知數(shù)進行探討，得到兩個不等式組，最終對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。[解答]當(dāng)x≥a時，不等式可轉(zhuǎn)化為預(yù)料角度3不等式的證明1．已知定義域為[0，1]的函數(shù)f(x)同時滿意：(1)對于隨意x∈[0,1]總有f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+xz≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(Ⅰ)試求f(0)的值；(Ⅱ)試求函數(shù)f(x)的最大值；(Ⅲ)試證明：當(dāng)x∈[解題思路](1)賦值法；(2)變形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],即可求函數(shù)f(x)的最大值；[解答](Ⅰ)令得f(0)≥0,∴f(0)=0.(Ⅱ)任取(Ⅲ)設(shè)y=f(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)>1且對隨意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立，數(shù)列{an}滿意a1=f(0),且f(an+1)=(1)推斷y=f(x)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由；(2)(3)若不等式[解題思路](1)利用函數(shù)的單調(diào)性證明;(2)裂項法求出Tn再解不等式；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求k的最大值.[解答](1)設(shè)(3)由預(yù)料角度4不等式的工具性1．若直線2ax-by+2=0(a、b>0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長，則的最小值是()A.4B.2C.D.[解題思路]利用重要不等式求最小值。[解答]A直線2ax-by+2=0過圓心(-1,2),∴a+b=1,2.已知函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0),對于給定的負數(shù)a有一個最大的正數(shù)l(a),使得在整個區(qū)間[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5恒成立，則l(a)的最大值是()[解題思路]考慮區(qū)間[0，l(a)]的端點處不等式|f(x)|≤5恒成立.3.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存實數(shù)m,使f(m)=-a.試推斷f(x)在區(qū)間[0，+∞]上是否為單調(diào)函數(shù)，并說明你的理由；設(shè)g(x)=f(x)+bx,對于x1，x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范圍；求證：f(m+3)>0.[解題思路]由二次函數(shù)的對稱軸兩邊為單調(diào)的性質(zhì)推斷；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系求出a、b、c的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值；[解答](1)∵f(m)=-a,m∈R.∴方程ax2+bx+c+a=0有實根??=b2-4a(a+c)≥0∵f(1)=0,∴a+b+c=0,即a+c=-b.∴b2-4a·(-b)=b(b+4a)≥0.∵a>b>c,∴a>0,c<0.從而b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0.∴b≥0.?x=∴f(x)在[0，+∞]上是增函數(shù).(2)據(jù)題意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的兩實根.=(3)∵f(1)=0.設(shè)f(x)=a(x-1)(x-)4.在xOy平面上有一系列點P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,對每個正整數(shù)n,點PN位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖像上,以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切,且圓Pn與圓PN+1又彼此相外切.若x1=1,且xn+1<xn(n=1,2,3,…).求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；設(shè)圓Pn的面積為SN,Tn[解題思路](1)利用定義推斷；(2)裂項相消法求TN.[解答](1)記圓Pn的半徑為rn,由條件知，yn-xyn=rn,|PnPn+1|=rn+rn+1.所以預(yù)料角度5不等式的實際應(yīng)用某機關(guān)在“精簡人員”中，對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員在第一年可到原單位領(lǐng)取工資的100%，從其次年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該機關(guān)依據(jù)分流人員的特長安排創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該機關(guān)依據(jù)分流人員的特長安排創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該經(jīng)濟實體預(yù)料第一年屬投資階段，沒有利潤，其次年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年基礎(chǔ)上遞增50%，若某人在分流前工資收入每年為a元，分流后第n年總收入為an元.(1)求an;(2)當(dāng)[解題思路]建立數(shù)學(xué)模型，求出an,再運用重要不等式求an的最小值，解不等式.[解答](1)(2)(3)2.某地區(qū)發(fā)生流行性病毒感染,居住在該地區(qū)的居民必需服用一種藥物預(yù)防,規(guī)定每人每天早晚八時各服用一片,現(xiàn)知該藥片含藥量為220毫克,若人的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出這種藥的60%,在體內(nèi)的殘留量超過386毫克(含386毫克),就將產(chǎn)生副作用．(1)某人上午八時第一次服藥，問到其次天上午八時服完藥時，這種藥在他體內(nèi)還殘留多少．(2)長期服用的人這種藥會不會產(chǎn)生副作用？［解題思路］依題意建立數(shù)列模型，寫出an,an-1的關(guān)系式，求出an的范圍．［解答］(1)依題意建立數(shù)列模型，設(shè)人第n次服藥后，藥在體內(nèi)的殘留量為an毫克，則(2)由an=220+0.4an-1(n≥2)可得an-考點高分解題綜合訓(xùn)練１設(shè)數(shù)集Ｍ、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，假如把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是()答案：C解析：集合M的長度為、集合N的長度為，因M、N都是集合{x}0≤x≤1}的子集，而{x}0≤x≤1}的長度為1，由此得集合M∩N的“長度”的最小值是()-1=.2已知答案：A解析：略．3已知奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù),且f(2)=0,則不等式(x-1)f(x-1)>0的解集為()A.{x|-3<x<-1}B.{x|-3<x<1或x>2}C.{x|-3<x<0或x>3}D.{x|-1<x<1或<1<x<3}答案：D解析：由(x-1)f(x-1)>0得，由題4函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,1),B(3,1)是其圖像上的兩點,那么|f(x+1)|<1的解集是()A.(1,4)B(-1,2)C.(-∞,1)∪[4,+∞]D.(-∞,-1)∪[2,+∞]答案：B易知過A、B兩點的直線即y=x-1，即f(x)=x-1是增函數(shù)，由f(x+1)=(x+1)-1，得當(dāng)∴5已知f(x)=A.{x|1<x<4}B.{x|x>3或x<2}C.{x|1<x<2或3<x<4}D.{x|x<0}答案：C解析：略．6.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為()A．(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)答案：D解析：設(shè)F(x)=f(x)·g(x)，F(xiàn)(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x)∴F(x)為奇函數(shù)又x<0時，F(xiàn)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′，(x)>0∴x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù)∵奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單凋性相同，∴x>0時，9(x)也為增函數(shù)∵F(-3)=f(-3)g(-3)=0∴F(3)=-F(-3)=0如圖為一個符合題意的圖象觀察知9(x)=f(x)，g(x)<0解集為(-∞，-3)∪(0，3)7已知y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函數(shù)，則不等式：logb|x+2|>logb|x-4|的解集是________.答案：{x|x<1，x7≠-2}解析：因為當(dāng)b>0，所以2-bx在[0，1]上遞減，由已知可知0<b<1，所以原不等式等價于0<|x+2|<，x-4|，解得{x|x<|，x≠-2}．8已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時，f(x)=x+答案：依題意x∈[-3，-1]時f(x)=f(-x)=-x+=(),∴m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1，9定義符號函數(shù)sgnx=答案：-2解析：略；10已知關(guān)于x的不等式(1)a=4時，求集合M；答案：當(dāng)a=4時，原不等式可化為，即4(x-)(x-2)(x+2)<0，∴x∈(-∞，-2)∪(，2)，故M為(-∞，-2)∪(，2)．(2)若3∈M且5M,求實數(shù)a的取值范圍。答案：由3∈M得<0，∴a>9或a<，①由5M得≥0，∴1≤<a25，②由①、②得1≤a<，或9<a<25．因此a的取值范圍是[1，]∪(9，25)．11已知函數(shù)f(x)對隨意實數(shù)P、q都滿意f(p+q)=f(p).f(q),且f(1)=(1)當(dāng)n∈N+時，求f(n)的表達式；答案：解：由已知得答案：證明由(1)可知則∴兩式相減得(3)解由(1)可知則故有12某村安排建立一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3答案：解：沒矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800(m)．蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)．所以S≤808-4=48(m2)．當(dāng)a=2b，即a=40(m)，b=20(m)時，S最大值=648(m2)．答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m213已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿意下列條件：對隨意的實數(shù).x1,x2都有(Ⅰ)證明答案：任取x1，x2及，x1≠x2，則由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和，|f(x1)-f(x2)，|≤|x1-x2|②可知λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)1≤|x1-x2|2，從而A≤1．假設(shè)有b0≠a0，使得f(b0)=0，則由①式知0<λ(a0-b0)2≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0沖突．∴不存在b0≠a0，使得f(b0)=0．(Ⅱ)證明2；答案：由b=oa-λf(a)③可知(6-a0)2=[a-a0-λf(a)]2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2[f(a)]2④由f(a0)=0和①式，得(a-a0)f(a)=(a-a0)[f(a)-f(a0)]≥λ(a-a0)2⑤由f(a0)=0和②式知，[f(a)]2=[f(a)-f(a0)]2≤(a-a0)2⑥由⑤、⑥代人④式，得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2(Ⅲ)證明答案：由③式可知[f(b)]2=[f(b)-f(a)+f(a)]2=f(b)-f(a)]2+2f(a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2≤(b-a)2-2·[f(b)-f(a)]+[f(a)]2(用②式)=λ2[f(a)]2-(b-a)[f(b)-f(a)]+[f(a)]2≤λ2[f(a)2-·λ·(b-a)2+[f(a)]2(用①)=λ2[f(a)]2-2λ2[f(a)]2+[f(a)]2=(1-λ2)[f(a)]214已知函數(shù)f(x)=(1)設(shè)0<|x|<1,0<|t|≤1,求證：|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|答案：∵f(x)=∴f(tx+1)=tx+∴|f(tx+1)|==|t|+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)，|tx|=1時，上式取等號．∵0<|x|<1，0<|tx|<1．∴|tx|≠1，∴|f(tx+1)|>2s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.當(dāng)|t|≥|x|時，s=4t2≤4；當(dāng)|t||x|時s=4x2<4∴|t+x|+|t-x|≤2<1f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|<|f(tx+1)|設(shè)x是正實數(shù)，求證:[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2.答案：n=1時，結(jié)論明顯成立當(dāng)n≥2時，[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+)n-(xn+)=考點8直線與圓經(jīng)典易錯題會診命題角度1直線的方程1．(典型例題)已知點A[考場錯解]∵[專家把脈]主要是沒有考慮到[對癥下藥]2.(典型例題)點(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是()[考場錯解]干脆運用點到直線的距離公式.[專家把脈]在運用點到直線的距離公式時，沒有理解直線Ax+By+C=0中，B的取值，B應(yīng)取-1,而不是取1.[對癥下藥]2．(典型例題)若直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后與圓x2+y2=5相切，則c的值為()A.8或-2B.6或-4C.4或-6D.2或-8[考場錯解]C.直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直線方程為：2(x+1)-(y+1)+c=0即：2x-y+1+c=0,此直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即或-6,故選C.[專家把脈]坐標平移公式運用錯誤，應(yīng)用x-h,y-k分別來替換原來的x,y.[對癥下藥]A直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直線為2x-y-3+c=0,此直線與圓相切有：或者說c=-2,故選A.4.(典型例題)設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為a,且sina+cosa=0,則a、b滿意()A.A+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0[考場錯解]C.[專家把脈]直線Ax+By+c=0的斜率k=[對癥下藥]D專家會診已知直線的方程，求直線的斜率與傾斜角的范圍，反之求直線方程，留意傾斜角的范圍及斜率不存在時的狀況。會用直線的五種形式求直線方程，不行忽視每種形式的限制條件?？紙鏊季S訓(xùn)練1已知A(3,0),B(-1,-6),延長BA到P，使則點P的坐標是_________.答案：(，2)解析：由已知P分的比為-，由定比分點坐標公式可得．2直線A(-2,3)B(-4,5)C(-2-)D(-3,4)答案：D解析：略．答案：16．2x-y+8=0解析：由已知可設(shè)l2的方程為：y=tan2α·x-2，l1與l3垂直，l1，的斜率為k1=2,∴tan2α=，即l2的方程為y=-x-2，解方程組得P點坐標(-3，2)．由點斜式得l1，的方程為y=2(x+3)+2．命題角度2兩直線的位置關(guān)系1．(典型例題)已知過點A(-2,m)和B(M,4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為()A.0B.-8C.2D.10[考場錯解]A兩直線平行故斜率相等可得：∴m=0.故選A.[專家把脈][對癥下藥]B利用兩直線平行斜率相等可得：2．在坐標平面內(nèi)，與點A(1,2)距離為1，且與點B(3,1)距離為2的直線共有A．1條B.2條C.3條D.4條[考場錯解]D由題意知所求直線必不與任何坐標軸平行，可設(shè)直線y=kx+b即,kx-y+b=0,[專家把脈]當(dāng)時此時kAB=-不符合題意。[對癥下藥]B法一：由題意知所求直線必不與任何坐標軸平行可設(shè)直線y=kx+b,即kx-y+b=0法二：以A為圓心，1為半徑畫圓，以B為圓心2為半徑作圓，∵圓心距|AB|=∴⊙A′與⊙B必相交，則⊙A與⊙B的分切線有兩條，即到點A距離為1到點B距離為2的直線有2條.3．(典型例題)如下圖，定圓半徑為a,圓心為(b,c)則直線ax+by+c=0與直線x-y+1=0的交點在()A．第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限[考場錯解]B由圖知b>a>c>0.取b=3,a=2,c=1.解方程組[專家把脈]由圖看出的是長度大小關(guān)系，在比較時坐標值與長度值相混淆。[對癥下藥]C由圖形如此圖圓心在其次象限且a、b、c滿意球隊0<c<a<-b,取c=1,a=2,b=-3解方程組得x=-2,y=-1,故選C.此題也可以探討ax+by+c=0在y軸截距及斜率與直線x-y+1=0進行比較去解決。4．(典型例題)由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，<APB=60.,則動點P的軌跡方程為_____.[考場錯解]設(shè)A(x1,y2),B(x2,y2),∴PA的直線方程為x1x+y1y=1.PB的直線方程為x2x+y2y=1.又∵<APB=60.即兩直線之間夾角為60。，從而求出x1、y1、x2、y2的關(guān)系.聯(lián)立兩方程解得x2+y2=3.[專家把脈]引方法過于繁瑣困難，使運算很易出錯，應(yīng)考慮此特別性。[對癥下藥]如圖∵<APB=60.,OP平分<APB∴<APO=30.,在Rt△AOP中，|OA|=1為定值∴|OP|=2故P軌跡為以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓x2+y2=4故正確答案：x2+y2=45.(典型例題)曲線C：[考場錯解]曲線C的一般方程可化為：x2+(y+1)2=1,與直線x+y+a=0有公共點，故聯(lián)立得消去x.2y2+2(a+1)y+a2=0,有公共點故[專家把脈]忽視了直線與圓相切時的狀況。[對癥下藥]專家會診兩直線平行與垂直的充要條件在解題中的應(yīng)用。夾角與距離公式是求距離或角、斜率的最值問題的工具.肯定要留意公式的運用及條件.關(guān)于直線對稱問題，即點關(guān)于直線對稱，或直線關(guān)于直線對稱.是命題熱點?？紙鏊季S訓(xùn)練1直線l1:x+3y-7=0、l2:kx-y-2=0與x軸、y軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則k的值等于()A.-3B.3C.-6D.6答案：B解析：略．2已知點M是點P(4,5)關(guān)于直線y=3x-3的對稱點，則過點M且平行于直線y=3x+3的直線方程是_____.答案：y=3x+1解析：略．3若曲線x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0關(guān)于直線y-x=0對稱的圖形仍是其本身，則實數(shù)a=()答案：B解析：略．4求直線l2:7x-y+4=0到l1:x+y-2=0的角平分線的方程。答案：解：法一：設(shè)l2到l1角平分線J的斜率為k，∵k1=-1，k2=7∴，解之得k=-3或k=，由圖形可知k<0，∴k=-3，又由解得l1，與l2的交點Q，由點斜式得y-=-3即6x+2y-3=0法二：設(shè)l2到l1的角為θ，則tgθ==，所以角θ為銳角，而α1=α2=，由二倍角公式可知tgθ=∴tg=-2或tg=∵為銳角，∴tg==,∴k=-3等同解法一.命題角度3簡童單線性規(guī)劃1．(典型例題)已知點P(x,y)在不等式組A．[-2，-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2][考場錯解]由約束條件畫出可行域，再平移y=x.過(0,1)時截距最大為1，過(2,0)時截距最小為-2，∴取值范圍為[-2，1]選B.[專家把脈]z=x-y可化為y=x-z,此時y=x-z的截距為-z.故錯選。[對癥下藥]平移y=x得最大截距為1，最小截距為-2，∴-2≤-z≤1∴1-≤z≤2.2.(典型例題)設(shè)集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是()[考場錯解]由題意可得故選D.[專家把脈]三角形兩邊之和大于第三邊沒有寫完全，[對癥下藥]由題意可列故選A.3.(典型例題)在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()[考場錯解]依條作出當(dāng)x≥0時即所表示的區(qū)域，其面積為1，故當(dāng)x≤0時，同理其面積為1，故總面積為2，故選D.[專家把脈]y=-3|x|+1是關(guān)于y軸對稱，但y=x-1并不關(guān)于y軸對稱，故當(dāng)x≤0時的面積與x≥0時的面積不相等。[對癥下藥]先作出y=-3|x|+1的圖像(依此函數(shù)為偶函數(shù)作)，再作出y=x-1的圖像，再標出其圍成的區(qū)域，如圖所示：其陰影部分為所求且為，故選B.4.(典型例題)設(shè)實數(shù)x,y滿意則的最大值是______.[考場錯解]依題意作出可行域如圖所示：[專家把脈]連線斜率的最大與最小并不取決于此點與原點的遠近。[對癥下藥]連接OA，則kOA最大，專家會診對線性目標函數(shù)z=Ax+By中的B的符號肯定要留意，當(dāng)B>0時,z最大，當(dāng)B<0時，當(dāng)直線過可行域且y軸上截距最大時，z值最小。由于最優(yōu)解是通過圖形來規(guī)定的，故作圖要精確，尤其整點問題。考場思維訓(xùn)練1在直角坐標面上有兩個區(qū)域M和N.M是由y≥0,y≤x和y≤2-x三個不等式來確定的.N是由不等式t≤x≤t+1來確定的，t的取值范圍是0≤t≤1,設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t),則f(t)為()2答案：A解析：畫出M和N的所表示的區(qū)域，可得面積等于-t2+t+,所以選A2設(shè)實數(shù)x,y滿意不等式組A．7+3a,1-3a

B.7+3a,-1C.-1-2a,1-3a

D.以上都不對答案：A解析：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，由線性規(guī)劃的學(xué)問知選A3某運輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車，有11名駕駛員。在建筑某段高速馬路中，該公司承包了每天至少搬運480噸瀝青的任務(wù)。已知每輛卡車每天來回的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車7次；每輛卡車每天的成本費A型車350元，B型車400元。問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花的成本費最低，最低為多少？答案：解：設(shè)每天派出A型車與B型車各x、y輛，并設(shè)公司每天的成本為z元．由題意，得且z=350x+400y.作出可行域，作直線l0:350x+400y=0，即7x+8y=0．作出一組平行直線：7x+8y=t中(t為參數(shù))經(jīng)過可行域內(nèi)的點和原點距離最近的直線，此直線經(jīng)過6x+7y=60和y=5的交點A(，5)，由于點A的坐標不都是整數(shù)，而x，y∈N,所以可行域內(nèi)的點A(,5)不是最優(yōu)解．為求出最優(yōu)解，必需進行定量分析．因為，7×+8×5≈69.2，所以經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點)且與原點最小的直線是7X+8y=10，在可行域內(nèi)滿意該方程的整數(shù)解只有x=10，y=0，所以(10，0)是最優(yōu)解，即當(dāng)l通過B點時，z=350×10+400×O=3500元為最?。穑好刻炫沙鯝型車10輛不派B型車，公司所化的成本費最低為3500元命題角度4圓的方程1(典型例題)從原點向圓x2+y2-12y+27=0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為()[考場錯解]由半徑為3，圓心與原點距離為6，可知兩切線間的夾角為60。，故所相應(yīng)的圓心角為120，故所求劣弧為圓弧長的.[專家把脈]沒有理解清晰優(yōu)弧，劣弧的概念，劣弧應(yīng)為相對較短的一段弧。[對癥下藥]所求劣弧是整個圓弧的.2.(典型例題)△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H.則實數(shù)m=______.[考場錯解]選取特別三角形，取△ABC為等邊三角形，則故m可取隨意實數(shù)。[專家把脈]狀況太特別，若所取三角形為等腰三角形(非等邊三角形)此時此時與m為隨意實數(shù)相沖突。[對癥下藥]3．(典型例題)圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為_____.[考場錯解]設(shè)圓的方程為解得x0=-3,y0=-13,r=.故所求圓的方程為(x+3)2+(y+13)2=168.[專家把脈]應(yīng)是令x=0,而不是令y=0，故后面的結(jié)果均錯。[對癥下藥]法一:∵AB的中垂線,必過圓心故解得圓心坐標為所求圓的方程為法二:設(shè)圓C的方程:圓心在直線上①又圓過A

(0,

-4)

B

(0,

-2)

②③由①②③解得圓的方程專家會診1.求圓的方程應(yīng)留意依據(jù)所給的條件,恰當(dāng)選擇方方程的形式,用待定系數(shù)法求解.2探討點、直線、圓與圓的位置關(guān)系時，一般可從代數(shù)特征（方程組解的個數(shù)）或幾何特征去考慮，其中幾何特征數(shù)更為簡捷好用?？紙鏊季S訓(xùn)練1過點A（1，-2），B（-1，1），且圓心在直線0上的圓的方程是()A.B.C.D.答案：A∵只有A中的圓心(3，-1)在直線x+y-2=0上，∴選A.2方程所以表示的曲線圖形是答案：D解析：方程的解為x=1或x2+y2=2，且x2+y2>1，當(dāng)x=1，y≠0．3．已知兩點A（-1，0），B（0，2），若點P是圓（x-1）2+y2=1上的動點，則△ABP面積的最大值和最小值分別為（）答案：B解析：過圓心C作CM⊥AB于M，設(shè)CM交圓于P、Q兩點，從圖可以看出，△ABP和△ABQ分別為最大和最小值，可以求得最大值和最小值分別為(4+)，(4-)，所以選B4如圖8–5，已知點A、B的坐標分別是（-3，0），（3，0），點C為線段AB上任一點，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓O1、O2的外公切線的切點，求線段PQ的中點的軌跡方程.答案：解：作MC⊥AB交PQ于點M，則MC是兩圓的公切線，∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M為PQ的中點．設(shè)M(x，y)，則點C、O1、O2的坐標分別是(x，0)、(,0)、(，0)．連O1M，O2M，由平幾學(xué)問得：∠O1MO2=90°，∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2，即：(x-)2+y2+(x-)2+y2=(-)2，化簡得x2+4y2=9.又∵點C(x,0)在線段AB上，且AC、BC是圓的直徑，∴-3<x<3．故所求的軌跡方程為x2+4y2=9(-3<x<3)．命題角度5直線與圓1．（典型例題）已知直線L過點（-2，0，當(dāng)直線L）與圓有兩個交點時，其斜率k取值范圍是（）[考場錯解]設(shè)此直線為圓心到直線的距離剛好好等于半徑（即相切）時.故選D.[專家把脈]計算出見答案中有此結(jié)果,便盲目選出答案.并沒有開方算出[對癥下藥]可設(shè)直線方程為代入圓的方程中,用選C.2.(典型例題)“a=b”j是“直線與圓()充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件[考場錯解]當(dāng)時圓心坐標為圓心到直線的距離為與半徑楊等，故是直線和圓相切的充分人條件