《平衡條件的應(yīng)用》

第4節(jié)平衡條件的應(yīng)用之臨界問(wèn)題臨界狀態(tài)是指某種物理現(xiàn)象（或物理過(guò)程）轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N物理現(xiàn)象（或物理過(guò)程）的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，它既有前一種物理現(xiàn)象（或物理過(guò)程）的特點(diǎn)，又具有后一種種物理現(xiàn)象（或物理過(guò)程）的特點(diǎn)，起著承前啟后的轉(zhuǎn)折作用．臨界狀態(tài)是物理問(wèn)題中常遇到的一種情景．由于臨界狀態(tài)的存在使得某些問(wèn)題的物理情景變得豐富多彩，找出“恰好出現(xiàn)”與“恰好不出現(xiàn)”的臨界點(diǎn)的相關(guān)條件是處理臨界問(wèn)題的關(guān)鍵．例1：一質(zhì)量為m的物塊在水平力F的作用下靜止在粗糙的固定斜面上，如圖所示，在F稍微逐漸增大的過(guò)程中，物塊仍靜止不動(dòng)，關(guān)于物塊所受的靜摩擦力下列說(shuō)法可能正確的是（）

A．增大B．先增大后減小

C．先減小后增大D．減小[分析]本題中由于不知道斜面傾角α及F與物塊質(zhì)量間的大小關(guān)系，所以一時(shí)無(wú)法判斷物塊受到的靜摩擦力的變化情況．假設(shè)物塊不受靜摩擦力的作用，是本題的臨界點(diǎn)，找出此臨界點(diǎn)的相關(guān)條件即臨界條件是解題的關(guān)鍵．[解答]假設(shè)物塊不受靜摩擦力作用，這時(shí)水平力為F0，則物塊在水平力F0、重力mg和支持力FN作用下恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示，F(xiàn)0cosα=mgsinα．假設(shè)F從F0開(kāi)始稍微逐漸增大到F1，則F1cosα>mgsinα，物塊有沿斜面向上的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，靜摩擦力Ff1方向沿斜面向下，即靜摩擦力從零開(kāi)始逐漸增大到Ff1，故選項(xiàng)A可能正確．假設(shè)F從F2（設(shè)F2小于F0）開(kāi)始稍微逐漸增大到F0，則mgsinα>F2cosα，物塊有沿斜面向下的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，靜摩擦力Ff2方向沿斜面向上，所以當(dāng)F從F2逐漸增大到F0時(shí)，靜摩擦力就從Ff2減小到零，故選項(xiàng)D可能正確．假設(shè)F從F1逐漸增大到F2，則靜摩擦力先由Ff1減小到零，后由零增大到Ff2，所以選項(xiàng)C可能正確，B錯(cuò)誤．答案ACD．[規(guī)律小結(jié)]①臨界問(wèn)題一般是給出一定的條件（或范圍），卻隱去了物理現(xiàn)象或物理過(guò)程中的臨界狀態(tài)，解題者要根據(jù)題給條件或現(xiàn)象自己去判斷存在這一臨界狀態(tài)，從而來(lái)解題．對(duì)這種問(wèn)題，解題能力要求較高．②解決臨界問(wèn)題的一般步驟：（1）用假設(shè)法求出臨界條件．（2）比較題給條件與臨界條件的關(guān)系，確定物理現(xiàn)象或物理過(guò)程加以求解．注意：解答這類題型，應(yīng)從靜摩擦力是被動(dòng)力入手，靜摩擦力可能為零，可能方向沿斜面向上、也可能方向沿斜面向下。本題極易認(rèn)為物塊在F作用會(huì)有沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，F(xiàn)稍微逐漸增大的過(guò)程中靜摩擦力增大而只選A。例2：質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，并放在傾角為α的光滑斜面上，斜面體位于水平面上，如圖所示?，F(xiàn)用水平力F向左推斜面體，在斜面體從圖示位置開(kāi)始向左緩慢移動(dòng)的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是（）

A．細(xì)線對(duì)小球拉力先變小后變大

B．細(xì)線對(duì)小球拉力先變大后變小

C．斜面對(duì)球的支持力始終變大

D．斜面對(duì)球的支持力始終變小[分析]在斜面體從圖示位置開(kāi)始向左緩慢移動(dòng)的過(guò)程中，小球受到重力mg、線的拉力F1和斜面體的支持力F2而平衡．設(shè)線與豎直方向的夾角為θ．思路一：用解析法求解，在△OG′F2中，重力mg的平衡力G′恒定，α不變，可以利用正弦定理，列出方程，求出F1、F2與θ角之間的關(guān)系式討論求解．思路二：本題屬于三個(gè)共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題可以用圖解法解，但由于G′和α角均不變，使得θ緩慢變大的過(guò)程中，線的拉力會(huì)出現(xiàn)最小值．[解答]解法一：在△OG′F2中，由正弦定理得eq\F(F1,sinα)=eq\F(F2,sinθ)=eq\F(mg,sin[180°-(α+θ)])解得F1=eq\F(sinα,sin(α+θ))mg①F2=eq\F(sinθ,sin(α+θ))mg②由①式可知，當(dāng)α+θ=90°即線與斜面平行時(shí)，線的拉力F1有最小值，所以θ緩慢變大的過(guò)程中，線的拉力先變小后變大，選項(xiàng)A正確．若0°≤α+θ≤90°，由于y=sinx在區(qū)間[0°，90°]上是增函數(shù)，由右圖可知，x值越大，y值隨x值的增大反而增大得越慢，所以在θ緩慢變大的過(guò)程中，sinθ比sin(α+θ)增大得快些，所以eq\F(sinθ,sin(α+θ))變大，由②式可知F2變大；若90°≤α+θ≤180°，由于y=sinx在區(qū)間[90°，180°]上是減函數(shù)，所以在θ緩慢變大的過(guò)程中，sin(α+θ)變小，而sinθ卻變大，而由②式可知F2變大．綜上，在θ緩慢變大的過(guò)程中，斜面體的支持力F2變大，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．解法二：斜面體從圖示位置向左緩慢移動(dòng)使θ緩慢變大的過(guò)程中，F(xiàn)1、F2的變化情況如圖所示，由于G′、α均不變，根據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中垂直線段最短”可知，當(dāng)F1⊥F2即線與斜面平行時(shí)，F(xiàn)1最小且為Fmin．所以θ緩慢變大的過(guò)程中，斜面對(duì)球的支持力大小從F2→F2′→F2″即逐漸變大，線對(duì)球的拉力大小從F1→Fmin→F″即先變小后變大．答案AC．[規(guī)律小結(jié)]①本題的臨界點(diǎn)是細(xì)線與斜面平行時(shí)細(xì)線對(duì)小球的拉力有最小值，屬于隱性臨界問(wèn)題．②比較以上兩種解法，可以看出用圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題，可以避免正交分解、列方程、解方程和討論力的函數(shù)關(guān)系的繁瑣過(guò)程；用解析法求解要求數(shù)學(xué)知識(shí)掌握熟練，且解題過(guò)程繁瑣．③若合力的大小和方向不變，其中一個(gè)分力F1是方向不變，另一個(gè)分力F2大小和方向都在變化，則分力F2存在著最小值，這類問(wèn)題可以用圖解法快速找出臨界點(diǎn)加以討論．注意：解答這類題型，關(guān)鍵要分析小球受到的力中哪個(gè)力是恒力，哪個(gè)力是方向在變，哪個(gè)力是大小方向都在變。由于小球的重力是恒力，支持力與拉力的夾角不斷變大，本題會(huì)因沒(méi)有考慮拉力存在最小值，極易認(rèn)為支持力和拉力都變大而只選C。同步訓(xùn)練：1、在圓弧形的桿子PQ上用兩根繩子AC、BO系住一個(gè)重為G的物體當(dāng)保持AO與豎直方向的夾角α保持不變，逐漸增大BO與豎直方向間的夾角β時(shí)，AO、BO繩子上的拉力F1，F(xiàn)2的變化情況是（）

A．F1、F2都變大

B．F1變小，F(xiàn)2變大

C．當(dāng)α+β<90°時(shí)，F(xiàn)1變大，F(xiàn)2變小

D．當(dāng)α+β>90°時(shí)，F(xiàn)1、F2都變大2、傾角為α≤30°的斜面上，O處的軸上安一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的光滑擋板，如圖．當(dāng)擋板與斜面夾θ角緩慢增大的過(guò)程中光滑斜面對(duì)球的支持力和球?qū)醢宓淖饔昧θ绾巫兓浚ǎ?/p>

A．擋板對(duì)小球壓力先變小后變大

B．擋板對(duì)小球壓力先變大后變小

C．斜面對(duì)球的支持力始終變大

D．斜面對(duì)球的支持力始終變小3、重為G的物體放在傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用力拉物體勻速上升，如圖所示，問(wèn)F與斜面的夾角α為多大時(shí)最省力？F最小為多大？υθ快艇4、在電視節(jié)目中，我們常常能看到一種精彩的水上運(yùn)動(dòng)—滑水板運(yùn)動(dòng)，如圖所示，運(yùn)動(dòng)員在快艇的水平牽引作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設(shè)滑板是光滑的，若運(yùn)動(dòng)員與滑板的總質(zhì)量為m，滑板的滑水面積為S，水的密度為ρ，理論研究表明：當(dāng)滑板與水平方向的夾角為θ（板前端抬起的角度)時(shí)，水對(duì)滑板的作用力大小FN=ρSυ2sin2θ，方向垂直于板面(式中的υ為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積)，求為使滑板能在水面上滑行，快艇的水平牽引滑板的最小速度υminυθ快艇[參考答案]1、CD[提示]用圖解法求解．臨界條件是F1⊥F2時(shí)F2有最小值．2、AD[解析]θ緩慢增大的過(guò)程中，F(xiàn)1、F2的變化情況如圖所示，根據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中垂直線段最短”可知，當(dāng)F2⊥F1即擋板與斜面垂直時(shí)，F(xiàn)2最小且為Fmin．所以θ緩慢增大的過(guò)程中，斜面對(duì)球的彈力大小從F1→F1′→F1″即始終變小，擋板對(duì)球的彈力大小從F2→Fmin→F2″即先變小后變大．3、[解析]解法一：常規(guī)法．對(duì)物體，由平衡條件得

FN=Gcosθ–Fsinα，F(xiàn)f=Fcosα-Gsinθ，而Ff=μFN，整理得F=EQ\F(G(sinθ+μcosθ),μsinα+cosα)設(shè)tanβ=μ，則F=EQ\F(G(sinθ+tanβcosθ),tanβsinα+cosα)=EQ\F(Gsin(θ+β),cos(α-β))當(dāng)α=β=arctanμ時(shí)，cos(α-β)=1有最大值，即當(dāng)α=arctanμ時(shí)，F(xiàn)有最小值Fmin=Gsin(θ+β)=Gsin(θ+arctanμ)解法二：用圖解法．由于Ff=μFN，且Ff⊥FN，所以Ff與FN關(guān)系最密切，先將Ff與FN合成，四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡求解，而Ff與FN的合力FfN方向始終保持不變，因?yàn)閠anβ=eq\F(Ff,FN)=μ，而重力不變，可以用圖解法求解．臨界條件為F⊥FfN時(shí)F有最小值．FFNmgθ4、[解析]選取滑板和運(yùn)動(dòng)員為研究對(duì)象，受力平衡，則eq\A(EQ\F(mg,cosθ))=FN=ρSυ2sin2θ

即牽引速度為υ=EQ\A()\R(\F(mg,ρSsin2θcosθ))

令K=sin2θcosθ，則有K2=EQ\A(EQ\F(1,2))sin2θsin2θ(2cos2θ)，

由于sin2θ+sin2θ+(2cos2θ)=2(sin2θ+cos2θ)=2為定值，

由均值不等式