戰(zhàn)地黃花考研數(shù)學(xué)講座

(1)

“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時(shí)找到自身的短處，下意識(shí)地有針對(duì)性地采取措施，以求得滿意的結(jié)

果。實(shí)在是一件不容易的事。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的最基本差別，在于概念意識(shí)。數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴(yán)密的定義出發(fā)，在

準(zhǔn)確的概念與嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。形成一棵參天大樹(shù)。

在《高等數(shù)學(xué)》中，出發(fā)點(diǎn)處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微等重要概念。

在《線性代數(shù)》的第一知識(shí)板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識(shí)板塊中，則是矩陣的特征值與特征向

量。

在《概率統(tǒng)計(jì)》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過(guò)，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要學(xué)生

有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒(méi)有概念意識(shí)，記不住概念。更不會(huì)從概念出發(fā)分析解決問(wèn)題?；A(chǔ)層次的概念不熟,

下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，通常只是為了滿足相關(guān)木科專業(yè)的需要。教師們?cè)谑谡n時(shí)往往不會(huì)太重視，而且也沒(méi)時(shí)間來(lái)

進(jìn)行概念訓(xùn)練。

考研數(shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導(dǎo)課上，往往會(huì)有

學(xué)生莫名驚詫，“大一那會(huì)兒學(xué)的不一樣?！痹蚓驮谟趯W(xué)過(guò)的概念早忘完了。

做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運(yùn)算上下足功夫。

按考試時(shí)間與分值來(lái)匹配，一個(gè)4分的選擇題平均只有5分鐘時(shí)間。而這些選擇題卻分別來(lái)自三門數(shù)學(xué)課程，每

個(gè)題又至少有兩個(gè)概念。你可以由此體驗(yàn)選拔考試要求你對(duì)概念的熟悉程度。

從牛頓在碩士生二年級(jí)的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻(xiàn)浩如煙海，知識(shí)千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)

的木科生們所接觸的，只是初等微枳分的?少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記

憶，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單推理。當(dāng)你面對(duì)一個(gè)題目時(shí)，你的自然反應(yīng)是，”這個(gè)題目涉及的概念是---"，而非“在哪兒做過(guò)這道題”,

才能算是有點(diǎn)入門了。

你要考得滿意嗎？基點(diǎn)不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對(duì)基本概念與基本運(yùn)算非常熟悉。

陽(yáng)春三月風(fēng)光好，抓好基礎(chǔ)正當(dāng)時(shí)。

考研數(shù)學(xué)講座(2)筆下生花花自紅

在愛(ài)搞運(yùn)動(dòng)的那些年代里，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)常受到這樣的指責(zé)，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實(shí)際。”

發(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點(diǎn)，不懂得考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)“寫"與"思''同步的重要性。

也許是計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的影響，今天的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，也不太懂得“寫'’的重要性?？佳械膶W(xué)生們，往往拿

著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動(dòng)筆的時(shí)間很少。

數(shù)學(xué)書不比小說(shuō)。看數(shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。

科學(xué)的思維是分層次的思維。求解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實(shí)實(shí)地考慮如何

邁出第一步。

或“依據(jù)已知條件，我首先能得到什么？“(分析法)；

或“要證明這個(gè)結(jié)論，就是要證明什么？“(綜合法)。

在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺(jué)是完全不同的。下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例。

“連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會(huì)怎樣？”

寫成“連續(xù)A+不連續(xù)B=?”后就可能想到，只有兩個(gè)答案，分別填出來(lái)再說(shuō)。(窮盡法)。

如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”移項(xiàng)，則“連續(xù)C一連續(xù)A=不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

有相當(dāng)一些數(shù)學(xué)定義，比如“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)“，其中包含有計(jì)算式。能否掌握并運(yùn)用這些定義，關(guān)鍵就在于是

否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，

題面上有已知條件f-(l)>0,概念深，寫得熟的人立刻就會(huì)先寫出

h趨于0時(shí)，lim(f(l+h)-f(l))/h>0

然后由此自然會(huì)聯(lián)想到，下一步該運(yùn)用極限的性質(zhì)來(lái)推理。而寫不出的人就抓瞎了。

又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aa=Xa,a/0,要是移項(xiàng)寫成

(A-XE)a=0,a#0,

這就表示a是齊次線性方程組(A一在)X=0的非零解，進(jìn)而由理論得到算法。

數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)之一是“發(fā)散性”。一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可能有幾個(gè)轉(zhuǎn)換方式，也許從其中一個(gè)方式會(huì)得到一個(gè)新

的解釋，這個(gè)解釋將導(dǎo)引我們邁出下一步。

車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測(cè)分析邁下步。路只能?

步步走。陳景潤(rùn)那篇名揚(yáng)世界的力+2”論文中有28個(gè)“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。

對(duì)于很多考生來(lái)說(shuō)，不熟悉基本計(jì)算是他們思考問(wèn)題的又一大障礙。

《高等數(shù)學(xué)》感覺(jué)不好的考生，第一原因多半是不會(huì)或不熟悉求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算差，討論函數(shù)的圖形特征，

積分，解微分方程等，反應(yīng)必然都慢。

《線性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達(dá)形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問(wèn)題,

選擇?個(gè)分塊變形就明白了。

《概率統(tǒng)計(jì)》中，要熟練地運(yùn)用二重積分來(lái)計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的各類問(wèn)題。對(duì)于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來(lái)說(shuō)，

二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。

要考研嗎，要去聽(tīng)指導(dǎo)課嗎，一定要自己先動(dòng)筆，盡可能地把基本計(jì)算練一練。

我一直向考生建議，臨近考試的一段時(shí)間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時(shí)間內(nèi)作某年研考的全卷。

中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底?？纯闯煽?jī)多少。不要以為你已經(jīng)看過(guò)這些試卷了。就算你知道題該怎么做,

你一寫出來(lái)也可能會(huì)面目全非。

多動(dòng)筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

考研數(shù)學(xué)講座（3）極限概念要體驗(yàn)

極限概念是微積分的起點(diǎn)。說(shuō)起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。

很久很久以前，西出陽(yáng)關(guān)無(wú)蹤影的老子就體驗(yàn)到，“一尺之竿，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?/p>

近兩千年前，祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長(zhǎng)替帶園周長(zhǎng)以計(jì)算園周率；用分割曲邊梯形為n個(gè)窄曲

邊梯形，進(jìn)而把窄曲邊梯形看成矩形來(lái)計(jì)算其面積。他們都體驗(yàn)到，“割而又割，即將n取得越來(lái)越大，就能得到越

來(lái)越精確的園周率值或面積。”

國(guó)人樸實(shí)的體驗(yàn)延續(xù)了一千多年，最終沒(méi)有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點(diǎn)上率先突破。

極限概念起自于對(duì)“過(guò)程”的觀察。極限概念顯示著過(guò)程中兩個(gè)變量發(fā)展趨勢(shì)的關(guān)聯(lián)。

自變量的變化趨勢(shì)分為兩類，一類是XTXO；一類是XTOO,

“當(dāng)自變量有一個(gè)特定的發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值是否無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)a?”

如果是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限。

“無(wú)限接近”還不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。

學(xué)習(xí)極限概念，首先要學(xué)會(huì)觀察，了解過(guò)程中的變量有無(wú)一定的發(fā)展趨勢(shì)。學(xué)習(xí)體驗(yàn)相應(yīng)的發(fā)展趨勢(shì)。其次才

是計(jì)算或討論極限值。

自然數(shù)列有無(wú)限增大的變化趨勢(shì)。按照游戲規(guī)則，我們還是說(shuō)自然數(shù)列沒(méi)有極限。

自然數(shù)n趨于無(wú)窮時(shí)，數(shù)列1/n的極限是0；x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)1/x的極限是0；

回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗(yàn)判斷是，

x趨于正無(wú)窮時(shí)，正指數(shù)的基函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無(wú)限增大，沒(méi)有極限。

x趨于正無(wú)窮時(shí)，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無(wú)限增大，沒(méi)有極限。

X—O+時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)Inx趨于一8；x趨于正無(wú)窮時(shí)，Inx無(wú)限增大，沒(méi)有極限。

X—>00時(shí)，正弦sinx與余弦conx都周而復(fù)始，沒(méi)有極限。在物理學(xué)中，正弦y=sinx的圖形是典型的波動(dòng)。

我國(guó)《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”sin（1/x）。當(dāng)x趨于0時(shí)它沒(méi)有極限的原因是震蕩。具體

想來(lái)，當(dāng)x由0.01變?yōu)?.001時(shí);只向中心點(diǎn)x=0靠近了一點(diǎn)點(diǎn)，而正弦sinu卻完成了140多個(gè)周期。函數(shù)的圖

形在+1與-1之間上下波動(dòng)140多次。在x=0的鄰近，函數(shù)各周期的圖形緊緊地“擠”在一起，就好象是“電子云”。

當(dāng)年我研究美國(guó)各大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》教材時(shí)，曾看到有的教材竟然把函數(shù)y=sin（1/x）的值整整印了一大頁(yè),

他們就是要讓學(xué)生更具體地體驗(yàn)它的數(shù)值變化。

x趨于0時(shí)（1/x）sin（1/x）不是無(wú)窮大，直觀地說(shuō)就是函數(shù)值震蕩而沒(méi)有確定的發(fā)展趨勢(shì)。1/x為虎作帳，讓

震蕩要多瘋狂有多瘋狂。

更深入一步，你就得體驗(yàn)，在同一個(gè)過(guò)程中，如果有多個(gè)變量趨于0,（或無(wú)限增大。）就可能有的函數(shù)趨于

0時(shí)（或無(wú)限增大時(shí)）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。

考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對(duì)極限有更深刻的體驗(yàn)。

多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語(yǔ)言，（即￡-3語(yǔ)言）。沒(méi)有這套

語(yǔ)言，我們沒(méi)有辦法給出極限定義，也無(wú)法嚴(yán)密證明任何一個(gè)極限問(wèn)題。但是，這套語(yǔ)言是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)

學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來(lái)，考研試卷卜.都沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)要運(yùn)用￡-6語(yǔ)言的題目。研究生入學(xué)考題中，考

試中心往往用更深刻的體驗(yàn)來(lái)考查極限概念。這就是

“若X趨于8時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值f（X）有正的極限,則當(dāng)|X|充分大時(shí)，（你不仿設(shè)定一點(diǎn)X0,當(dāng)|XI>x0

時(shí)，）總有f（x）>0”

*“若x趨于xO忖，相應(yīng)函數(shù)值f（x）有正的極限，則在xO的一個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，f（x）恒正”

這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過(guò)，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個(gè)道理嗎。

除了上述苻號(hào)體驗(yàn)外，能掌握下邊簡(jiǎn)單的數(shù)值體驗(yàn)則更好。

若x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)的極限為0,則x的絕對(duì)值充分大時(shí)，（你不仿設(shè)定一點(diǎn)xO,當(dāng)|x|>x0時(shí)，）函

數(shù)的絕對(duì)值恒小于1

若x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)為無(wú)窮大，則x的絕對(duì)值充分大時(shí)，（你不仿設(shè)定一點(diǎn)xO,當(dāng)Ix1>x0

時(shí)，）函數(shù)的絕對(duì)值全大于1

*若x趨于0時(shí)，函數(shù)的極限為0,則在0點(diǎn)的某個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，或x的絕對(duì)值充分小時(shí);

函數(shù)的絕對(duì)值全小于1

（你不仿設(shè)定有充分小的數(shù)8>0,當(dāng)0<Ix]<3時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值全小于1）

沒(méi)有什么好解釋的了，你得反復(fù)領(lǐng)會(huì)極限概念中“無(wú)限接近''的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由

設(shè)定的點(diǎn)xO,或充分小的數(shù)5>0,并利用它們。

考研數(shù)學(xué)講座（4）“存在”與否全面看

定義，是數(shù)學(xué)的基本游戲規(guī)則。所有的定義條件都是充分必要條件。

即便有了定義，為了方便起見(jiàn)，數(shù)學(xué)工作者們通常會(huì)不遺余力地去尋覓既與定義等價(jià)，又更好運(yùn)用的描述方式。

討論極限的存在性，就有如下三個(gè)常用的等價(jià)條件。

1.海涅定理

觀察x趨于xO的過(guò)程時(shí)，我們并不追溯x從哪里出發(fā)；也沒(méi)有考慮它究竟以怎樣的方式無(wú)限靠近

x.O；我們總是向未來(lái)，看發(fā)展。因而最直觀的等價(jià)條件就是海涅定理：

定理（1）極限存在的充分必要條件是，無(wú)論x以何種方式趨于xO,相應(yīng)的函數(shù)值總有相同的極限A存在。

這個(gè)定理?xiàng)l件的“充分性''沒(méi)有實(shí)用價(jià)值。事實(shí)上我們不可能窮盡x逼近xO的所有方式。很多教科書都沒(méi)有

點(diǎn)出這一定理，只是把它的“必要性''獨(dú)立成為極限的一條重要性質(zhì)。即唯一性定理：

“如果函數(shù)（在某一過(guò)程中）有極限存在，則極限唯二”

唯一性定理的基本應(yīng)用之一，是證明某個(gè)極限不存在。

2.用左右極限來(lái)描述的等價(jià)條件

用E-S語(yǔ)言可以證得一個(gè)最好用也最常用的等價(jià)條件：

定理（2）極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。

這是在三類考研試題中出現(xiàn)概率都為1的考點(diǎn)。考研數(shù)學(xué)年年考連續(xù)定義，導(dǎo)數(shù)定義。本質(zhì)上就是考查極限存

在性。這是因?yàn)?/p>

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，等價(jià)于函數(shù)在此點(diǎn)左連續(xù)，右連續(xù)。

函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，等價(jià)于函數(shù)在此點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。

山于初等函數(shù)有較好的分析性質(zhì)?？碱}往往會(huì)落實(shí)到分段函數(shù)的定義分界點(diǎn)或特殊定義點(diǎn)上?？忌欢ㄒ獙?duì)分

段函數(shù)敏感，一定要學(xué)會(huì)在特殊點(diǎn)的兩例J分別考察函數(shù)的左右極限。

（3）突出極限值的等價(jià)條件

考數(shù)學(xué)一，二的考生，還要知道另一個(gè)等價(jià)條件：

定理（3）函數(shù)f（x）在某一過(guò)程中有極限A存在的充分必要條件是，f（x）-A為無(wú)窮小。

從“距離”的角度來(lái)理解，在某一過(guò)程中函數(shù)f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，自然等價(jià)于

：函數(shù)值f（x）與數(shù)A的距離|f（x）-A|無(wú)限接近于0

如果記a=f（x）-A,在定理?xiàng)l件下得到一個(gè)很有用的描述形式轉(zhuǎn)換：

f（x）=A+a（無(wú)窮?。?/p>

考研題目經(jīng)常以下面三個(gè)特殊的“不存在”為素材。"存在”與否全面看。有利于我們理解前述等價(jià)條件。

我用exp（）表示以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，（）內(nèi)填指數(shù)。

例1x趨于0時(shí)，函數(shù)exp(1/x)不存在極限。

分析在原點(diǎn)x=0的左側(cè)，x恒負(fù)，在原點(diǎn)右側(cè)，x恒正。所以

x從左側(cè)趨于0時(shí)，指數(shù)1/x始終是負(fù)數(shù)，故左極限f(0-0)=0,

x從右側(cè)趨于0時(shí)，函數(shù)趨向+oo,由定理(2),函數(shù)不存在極限。也不能說(shuō)，x趨于0時(shí)，exp(1/x)

是無(wú)窮大。

但是，在這種情形下，函數(shù)圖形在點(diǎn)x=0有豎直漸近線x=0

例2x趨于0時(shí)，“震蕩因子”sin(1/x)不存在極限。俗稱震蕩不存在。

分析用海涅定理證明其等價(jià)問(wèn)題，“x趨于+8時(shí)，sinx不存在極限?！?/p>

分別取x=n7r及x=2im兩個(gè)數(shù)列，n趨于+8時(shí)，它們都趨于+如相應(yīng)的兩列正弦函數(shù)值卻分別有極限

0與1,不滿足唯一性定理(定理(1))。故sinx不存在極限。(構(gòu)造法！)

例3x趨于oo時(shí)，函數(shù)y=arctgx不存在極限。

分析把oo視為一個(gè)虛擬點(diǎn)，用定理(2)。由三角函數(shù)知識(shí)得，

x趨于+oo時(shí)，函數(shù)極限為兀/2,x趨于-8時(shí)，函數(shù)極限為一/2,

故，函數(shù)y=arctgx不存在極限。

請(qǐng)注意，證明過(guò)程表明，函數(shù)y=arctgx的圖形有兩條水平漸近線。即

—8方向有水平漸近線y=—K/2；+8方向則有有y=兀/2

例4當(dāng)xf1時(shí),函數(shù)f(x)=(exp(1/(x7)))(x平方-IMxT)的極限

(A)等于2(B)等于0(C)為oo(D)不存在但不為8

b］分析考查x-l時(shí)函數(shù)的極限，通常認(rèn)為x不取1；而x*時(shí)，可以約去分母(x-1),讓函數(shù)的

表達(dá)式化為f(x)=(x+l)exp(l/(x-1))

左極限f(1-0)=0,x從右側(cè)趨于1時(shí)，函數(shù)趨向+oo，(選(D))

(畫外音：多爽啊。這不過(guò)是“典型不存在1”的平移。)

例5f(x)=(2+exp(1/x))/(1+exp(4/x))+sinx/IxI,求x趨于0時(shí)函數(shù)的極限。

分析絕對(duì)值函數(shù)y=|x|是典型的分段函數(shù)。x=0是其定義分界點(diǎn)。?看就知道必須分左右計(jì)算。如果

很熟悉“典型不存在1”，這個(gè)5分題用6分鐘足夠了。實(shí)際上

X10-時(shí)，limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1

x—>0+時(shí)，exp(1/x)—>+oo,前項(xiàng)的分子分母同除以exp(4/x)再取極限

limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1

由定理(2)得X—>0時(shí)，limf(x)=1

例6曲線y=exp(l/x平方)arctg((x平方+x+l)/(x-l)(x+2))的漸近線共有

(A)l條.(B)2條。(C)3條。(D)4條。選(B)

分析先觀察x趨于8時(shí)函數(shù)的狀態(tài)，考查曲線有無(wú)水平漸近線；再注意函數(shù)結(jié)構(gòu)中，各個(gè)因式的分母

共有三個(gè)零點(diǎn)。即0,1和一2；對(duì)于每個(gè)零點(diǎn)xO,直線x=xO都可能是曲線的豎直漸近線，要逐個(gè)取極限來(lái)判斷。

實(shí)際上有

x—>oo時(shí)，limy=it/4,曲線有水平漸近線y=n/4

其中，xf?時(shí)，limexp(l/x平方)=1；im((x平方+x+l)/(x—l)(x+2))=1(分子分母同除以"x平方”)

考查"嫌疑點(diǎn)”1和一2時(shí)，注意運(yùn)用“典型不存在3”，

f(1-0)=~en/2；f(1+0)=en/2,x=1不是曲線的豎直漸近線。

類似可以算得x=-2不是曲線的豎直漸近線。

XT0時(shí)，前因式趨向+00；后因式有極限arctg(-1/2),x=0是曲線的豎直漸近線。

啊，要想判斷準(zhǔn)而快，熟記“三個(gè)不存在看了上面幾例，你有體會(huì)嗎？

*還有兩個(gè)判斷極限存在性的定理(兩個(gè)充分條件)：

定理(4)夾逼定理——若在點(diǎn)xO鄰近(或|x|充分大時(shí))恒有g(shù)(x)Wf(x)@(x),月.x—xO(或xTOO)

時(shí)limg(x)=limh(x)=A則必有l(wèi)imf(x)=A

定理(5)單調(diào)有界的序列有極限。(或單增有上界有極限，或單減有下界有極限。)

加上講座(3)中的““近朱者赤，近墨者黑“定理共計(jì)六個(gè)，可以說(shuō)是微分學(xué)第一組基本定理。

考研數(shù)學(xué)講座(5)無(wú)窮小與無(wú)窮大

微積分還有一個(gè)名稱，叫“無(wú)窮小分析

1.概念

在某一過(guò)程中，函數(shù)f(x)的極限為0,就稱f(x)(這一過(guò)程中)為無(wú)窮小。

為了回避『5語(yǔ)言，一般都粗糙地說(shuō)，無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。

無(wú)窮小是個(gè)變量，不是0；y=0視為“常函數(shù)”，在任何一個(gè)過(guò)程中都是無(wú)窮小。不過(guò)這沒(méi)啥意義。

依據(jù)極限定義，無(wú)窮大不存在極限。但是在變化過(guò)程中變量有絕對(duì)值無(wú)限增大的趨勢(shì)。為了記述這個(gè)特點(diǎn)，歷

史上約定，“非法地”使用等號(hào)來(lái)表示無(wú)窮大。(潛臺(tái)詞：并不表示極限存在。)比如

x從右側(cè)趨于0時(shí)，limlnx=_co；x從左側(cè)趨于兀/2時(shí)，Iimtgx=+oo

無(wú)窮大與無(wú)界變量是兩個(gè)概念。無(wú)窮大的觀察背景是過(guò)程，無(wú)界變量的判斷前提是區(qū)間。無(wú)窮小和無(wú)窮

大量的名稱中隱含著它們(在特定過(guò)程中)的發(fā)展趨勢(shì)。在適當(dāng)選定的區(qū)間內(nèi)，無(wú)窮大量的絕對(duì)值沒(méi)有上界。

y=tgx(在x—TT/2左陽(yáng)I］時(shí))是無(wú)窮大。在(0,兀/2)內(nèi)y=tgx是無(wú)界變量

x趨于0時(shí)，函數(shù)y=(1/x)sin(1/x)不是無(wú)窮大，但它在區(qū)間(0,1)內(nèi)無(wú)界。

不仿用高級(jí)語(yǔ)言來(lái)作個(gè)對(duì)比。任意給定一個(gè)正數(shù)E,不管它有多大，當(dāng)過(guò)程發(fā)展到?定階段以后，無(wú)窮大量的

絕對(duì)值能全都大于E：而無(wú)界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少能找到一點(diǎn)，此點(diǎn)處的函數(shù)絕對(duì)值大于E。

2.運(yùn)算與比較

有限個(gè)無(wú)窮小量的線性組合是無(wú)窮??；“8—00”則結(jié)果不確定。

乘積的極限有三類可以確定：

有界變量?無(wú)窮小=無(wú)窮小無(wú)窮小?無(wú)窮小=(高階)無(wú)窮小無(wú)窮大?無(wú)窮大=(高階)無(wú)窮大

其它情形都沒(méi)有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式

例10作數(shù)列x=1,0,2,0,3,0,0,n,0,---

y=0,1f0,2,0,3,0,—,0,n,0,—

兩個(gè)數(shù)列顯然都無(wú)界，但乘積xy是零數(shù)列。這表示可能會(huì)有無(wú)界?無(wú)界=有界

兩個(gè)無(wú)窮小的商求極限，既是典型的未定式計(jì)算，又有深刻的理論意義。即“無(wú)窮小的比較如果極限為1,

分子分母為等價(jià)無(wú)窮小；極限為0,分子是較分母高階的無(wú)窮??；極限為其它實(shí)數(shù)，分子分母為同階無(wú)窮小。

無(wú)窮大有類似的比較。

無(wú)窮小(無(wú)窮大)的比較是每年必考的點(diǎn)。

x趨于0時(shí)，a=xsin(1/x)和。=x都是無(wú)窮小，且顯然有IaI<Ip|；但它們的商是震蕩因子sin(1/x),

沒(méi)有極限。兩個(gè)無(wú)窮小不能比較。這既說(shuō)明了存在性的重要，又顯示了震蕩因子sin(1/x)的用途。能夠翻閱《分析中

的反例》的同學(xué)可以在其目錄頁(yè)中看到，很多反例都用到了震蕩因子。

回到基本初等函數(shù)，我們看到

x趨于+8時(shí)，y=x的H次方，指數(shù)n>0的基函數(shù)都是無(wú)窮大。且習(xí)慣地稱為M階無(wú)窮大。

(潛臺(tái)詞：這多象汽車的1檔，2檔，,啊。)

x趨于+oo時(shí)，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都是無(wú)窮大；底數(shù)小于1的都是無(wú)窮小。

X趨于+8或X趨于0+時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是無(wú)窮大。

X趨于00時(shí)，sinx及COSX都沒(méi)有極限。正弦，余弦，反三角函數(shù)(在任何區(qū)間上)都是有界變量。

請(qǐng)?bào)w驗(yàn)一個(gè)很重要也很有趣的事實(shí)。

(1)x—>+oo時(shí)，lim(x的n次方)/fexp(x)=0,這表明：

“X趨于+00時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp(x)是比任意高次方的塞函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大?！?/p>

或者說(shuō)，“x趨于+oo時(shí)，函數(shù)exp(-x)是任意高階的無(wú)窮小。”

(2)x-*+oo時(shí)，limlnV(x的6次方)=0；6是任意取定的一個(gè)很小的正數(shù)。這表明：

“x趨于+oo時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)Inx是比x的6次方都還要低階的無(wú)窮大?！?/p>

在數(shù)學(xué)專業(yè)方向，通常稱幕函數(shù)(x的n次方)為“緩增函數(shù)”；稱exp(—x)為“速降函數(shù)”。

只需簡(jiǎn)單地連續(xù)使用洛必達(dá)法則就能求出上述兩個(gè)極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果

只知道極限值而不去體驗(yàn)，那收獲真是很小很小。

例11函數(shù)f(x)=xsinx(A)當(dāng)xT8時(shí)為無(wú)窮大。(B)在(-8,+oo)內(nèi)有界。

(C)在(-8,+oo)內(nèi)無(wú)界。(D)在時(shí)有有限極限。

分析這和y=(1/x)sin(1/x)在x趨于0時(shí)的狀態(tài)一樣。(選(C))

例12設(shè)有數(shù)列Xn,具體取值為

若n為奇數(shù),Xn=（n平方+Yn）/n；若n為偶數(shù)，Xn=1/h

則當(dāng)n—oo時(shí)，Xn是（A）無(wú)窮大量（B）無(wú)窮小量（C）有界變量（D）無(wú)界變量

分析一個(gè)子列（奇下標(biāo)）為無(wú)窮大，一個(gè)子列是無(wú)窮小。用唯一性定理。選（D））

請(qǐng)與“典型不存在1”對(duì)比。本質(zhì)相同。

例13已知數(shù)列Xn和Yn滿足n-8時(shí)，limXnYn=0,貝ij

（A）若數(shù)列Xn發(fā)散，數(shù)列Yn必定也發(fā)散。（B）若數(shù)列Xn無(wú)界，數(shù)列Yn必定也無(wú)界。

（C）若數(shù)列Xn有界，數(shù)列Yn必定也有界。（D）若變量1/Xn為無(wú)窮小量，則變量Yn必定也是無(wú)窮小

量。

分析盡管兩個(gè)變量的積為無(wú)窮小，我們卻無(wú)法得到其中任何一個(gè)變量的信息。例10給了我們一個(gè)很好的

反例。對(duì)本題的（A）（B）（C）來(lái)說(shuō)，只要Yn是適當(dāng)高階的無(wú)窮小，就可以保證limXnYn=0

無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大。故（D）中條件表明Xn為無(wú)窮大。要保證limXnYn=0,Yn必須為無(wú)窮

小量。應(yīng)選答案（D）。

考研數(shù)學(xué)講座（6）微觀分析始連續(xù)

微分學(xué)研究函數(shù)。函數(shù)是描述過(guò)程的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

由六類基本初等函數(shù)通過(guò)有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所生成的，且由一個(gè)數(shù)學(xué)式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初

等函數(shù)。

大學(xué)數(shù)學(xué)還讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩類，，分段函數(shù)，，?；蚴窃诓煌亩x區(qū)間內(nèi)，分別由不同的初等函數(shù)來(lái)表示的函

數(shù)；或者是有孤立的特別定義點(diǎn)的函數(shù)。

微分學(xué)研究函數(shù)的特點(diǎn)，是先做微觀分析。即討論函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性。再通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)宏觀

地研究函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性等。

1.函數(shù)的連續(xù)性

定義——設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)xO的鄰近有定義。當(dāng)x趨于x0時(shí)，如果函數(shù)有極限.且極限值等于函數(shù)值f

（x0）,就稱函數(shù)f在點(diǎn)xO連續(xù)。否則，稱函數(shù)f在點(diǎn)xO間斷。xO是它的間斷點(diǎn)。

“函數(shù)f在點(diǎn)xO的鄰近有定義”意味著，如果函數(shù)在點(diǎn)xO沒(méi)有定義，那xO只是函數(shù)的一個(gè)孤立的無(wú)定義點(diǎn)。

也就是函數(shù)的一個(gè)天然的間斷點(diǎn)。函數(shù)y=1/x在原點(diǎn)就是這樣的。

“有極限”意味著存在。在分段函數(shù)情形，要立即轉(zhuǎn)換成“左右極限存在且相等?！?/p>

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義等式，“左極限=右極限=中心點(diǎn)函數(shù)值“，最多可以得出兩個(gè)方程。如果在這里

出題：“用連續(xù)定義求參數(shù)值。''則函數(shù)可以含一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)。

如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)連續(xù)，就稱函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。

最值定理——在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大，最小值。

“有”，意味著至少有兩點(diǎn)，相應(yīng)的函數(shù)值分別為函數(shù)值域中的最大，最小數(shù)。

介值定理——如果數(shù)c能被夾在連續(xù)函數(shù)的兩個(gè)值之間，則c一定屬于此函數(shù)的值域。

請(qǐng)?bào)w會(huì)我的描述方式，這比教科書上寫的更簡(jiǎn)明。

介值定理的一個(gè)特殊推論是，連續(xù)函數(shù)取正取負(fù)必取零。從理論上講，求方程F（x）=0的根，可以轉(zhuǎn)化為討論

函數(shù)F的零點(diǎn)。

例16試證明，如果函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，則它的值域也是一個(gè)閉區(qū)間。

分析函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，f必有最大值M=f（xl）,最小值m=f（x2）,閉區(qū)間［m,M］內(nèi)的任

-數(shù)c,自然就夾在f的兩個(gè)最值之間，因而屬于f的值域。即f的值域就是這個(gè)閉區(qū)間。

例17試證明連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)間不變號(hào)。

（潛臺(tái)詞：沒(méi)有零點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)定號(hào)。）

分析如果此連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)間變號(hào)。則它取正取負(fù)必取零。與已知矛盾;

（潛臺(tái)詞：函數(shù)究竟恒正還是恒負(fù)，選個(gè)特殊點(diǎn)算算。）

例18函數(shù)f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，其值域恰好也是［a,b］,試證方程f（x）=x在區(qū)間［a,b］上有解。

分析作F=f（x）-x,它顯然在已知閉區(qū)間上連續(xù)。且有F（a）＞0而F（b）＜0

如果有一等號(hào)成立，則結(jié)論得證。否則，用介值定理。

（潛臺(tái)詞：要尋找反號(hào)的兩個(gè)函數(shù)值，當(dāng)然該先把已知點(diǎn)拿去試試。）

2.間斷點(diǎn)分類

連續(xù)的對(duì)立面是間斷。人們把函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類。

若函數(shù)在某點(diǎn)間斷，但函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限都存在。就稱此點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn)。

若函數(shù)在某點(diǎn)間斷，且至少有個(gè)單側(cè)極限不存在，就稱此點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn)。

第一類間斷又分為兩種。左右極限不相等，跳躍間斷；左右極限相等，可去間斷。若考題要求你去掉某個(gè)可去

間斷點(diǎn)時(shí)，你就規(guī)定極限值等于此點(diǎn)的函數(shù)值，讓其連續(xù)。

對(duì)于第二類間斷，我們只學(xué)了兩個(gè)特例。即

x=0是震蕩因子y=sin(1/x)的震蕩間斷點(diǎn)。(畫外音：請(qǐng)聯(lián)想“典型不存在(2)”)

x=0是函數(shù)y=exp(l/x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。(畫外音：請(qǐng)聯(lián)想”典型不存在(1)”)

只要函數(shù)在xO的?個(gè)單彳則為無(wú)窮大，xO就是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。x=xO是圖形的豎直漸近線。

考題中經(jīng)常把問(wèn)題平移到別的點(diǎn)去討論。

例19確定y=exp(l/x)arctg((x+1)/(x—1))的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明其類型。

分析函數(shù)的解析表達(dá)式中，分母有零點(diǎn)0,1(潛臺(tái)詞：兩個(gè)嫌疑犯啊。)

在點(diǎn)0,前因子的右極限為正無(wú)窮，后因子連續(xù)非零，故0點(diǎn)是無(wú)窮間斷點(diǎn).

在點(diǎn)1,前因子連續(xù)非零，后因子的左極限是一兀/2,右極限為兀/2,第一類間斷。

三個(gè)特殊的“不存在”記得越熟，計(jì)算左右極限就越快。要有?個(gè)基本材料庫(kù)，典型的知識(shí)首先在基本材料范

圍內(nèi)滾瓜爛熟，你就會(huì)走得踏實(shí)走得遠(yuǎn)。

例20設(shè)函數(shù)f(x)=x^a+exp(bx))在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，且x—?—8時(shí)，極限limf(x)=0；則常數(shù)a,b

滿足

(A)a<0,b<0(B)a>0,b>0(C)a<0,b>0(D)a>0,b<0

分析初等函數(shù)的表達(dá)式中若有分母，則分母的零點(diǎn)是其天然沒(méi)有定義的點(diǎn)，也就是函數(shù)的一個(gè)天然間斷

點(diǎn)。

已知函數(shù)連續(xù)，則其分母不能為0,而指數(shù)函數(shù)exp(bx)的值域?yàn)?0,+oo),故a^O

又，x--8時(shí)，極限limf(x)=0表明，f(x)分母是較分子x高階的無(wú)窮大，即要指數(shù)函數(shù)

exp(bx)為無(wú)窮大,只有bv為應(yīng)選(D)?

(畫外音：一個(gè)4分題，多少概念與基礎(chǔ)知識(shí)綜合！典型的考研題！漂亮的考研題！)

*例21已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上處處有定義，且單調(diào)。若f(x)有間斷點(diǎn)，則只能是第一類間斷點(diǎn)。

分析(構(gòu)造法)不仿設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上單增，但是有間斷點(diǎn)xO；我們得證明f在點(diǎn)xO的左右極限

都存在。

已設(shè)f在區(qū)間單增，余下的問(wèn)題是尋找其上界或下界。事實(shí)上有

XTXO一時(shí)，f單增，顯然f(b)是它的一個(gè)上界。故左極限存在。

x->xO+時(shí)，自變量從右向左變化，相應(yīng)的f值單減。顯然f(a)是其一個(gè)下界。右極限也存在。

構(gòu)造法是微積分自己的方法。它的要點(diǎn)是，實(shí)實(shí)在在地梳理函數(shù)的構(gòu)造及其變化，山此推理獲得所要結(jié)果。

考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)(7)導(dǎo)數(shù)定義是重點(diǎn)

選定一個(gè)中心點(diǎn)xO,從坐標(biāo)的角度講，可以看成是把原點(diǎn)平移；從物理角度說(shuō)，是給定一個(gè)初始點(diǎn)；從觀察角度議,

是選好?個(gè)邊際點(diǎn)。微量分析考慮的問(wèn)題是：在xO點(diǎn)鄰近，如果自變量x有一個(gè)增量Ax,則函數(shù)相應(yīng)該有增量

Ay=f(xO+Ax)—f(xO),我們?nèi)绾伪硎?，研究及估?jì)這個(gè)Ay呢？

最自然的第一考慮是“變化率中國(guó)人把除法稱為“歸一法"。無(wú)論Ax的絕對(duì)值是多少，Ay/Ax總表示，“當(dāng)自變量變

化一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值平均變化多少?！?/p>

定義令A(yù)x趨于零，如果增量商Ay/Ax的極限存在，就稱函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)。稱極限值為函數(shù)在點(diǎn)xO的導(dǎo)數(shù)。記

為

Ax—0,lim(Ay/Ax)=f'(xO)

或Ax-0,lim((f(xO+Ax)—f(xO))/(x—xO))=f'(xO)

或x—xO,lim((f(x)—f(xO))/(x—xO))=f，(xO)

理解1你首先要熟悉“增量”這個(gè)詞。它代表著一個(gè)新的思維方式。增量Ay研究好了，在X0鄰近，f

(x)=f(xO)+Ay,函數(shù)就有了一個(gè)新的表述方式。

回頭用“增量”語(yǔ)言說(shuō)連續(xù)，則

“函數(shù)在點(diǎn)xO連續(xù)”等價(jià)于“Ax趨于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Ay?定趨于0”

理解2要是以產(chǎn)量為自變量x,生產(chǎn)成本為函數(shù)y,則Ay/Ax表示，在已經(jīng)生產(chǎn)xO件產(chǎn)品的狀態(tài)下，再生產(chǎn)

一件產(chǎn)品的平均成本。導(dǎo)數(shù)則是點(diǎn)xO處的“邊際成本”。

(畫外音：“生產(chǎn)”過(guò)程中諸元素的磨合，自然會(huì)導(dǎo)致成本變化。)

如果用百分比來(lái)描述增量，則(Ay/y)/(Ax/x)表示，在xO狀態(tài)下，自變量變化一個(gè)百分點(diǎn)，函數(shù)值平均變化多

少個(gè)百分點(diǎn)。如果Ax趨于零時(shí)極限存在，稱其(絕對(duì)值)為y對(duì)x的彈性。

理解3如果函數(shù)f在區(qū)間的每一點(diǎn)處可導(dǎo)，就稱f在此區(qū)間上可導(dǎo)。這時(shí)，區(qū)間上的點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成一

個(gè)新的函數(shù)。稱為f的導(dǎo)函數(shù)。簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)概念由此得到深化。

用定義算得各個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為“求導(dǎo)公式添上"和，差，積，商求導(dǎo)法則”與“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則”，我們

就可以計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例24設(shè)函數(shù)f(x)=(n—>oo)lim((1+x)/(1+x2n)),討論函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，其結(jié)論為

(A)不存在間斷點(diǎn)(B)存在間斷點(diǎn)x=l(C)存在間斷點(diǎn)x=0(C)存在間斷點(diǎn)x=-l

分析這是用極限定義的函數(shù)，必須先求出f(x)的解析表達(dá)式，再討論其連續(xù)性。

任意給定一點(diǎn)x,(視為不變。)此時(shí)，把分母中的x2n項(xiàng)看成是(x2)n,這是自變量為n的指數(shù)函數(shù)。令n-8求

極限計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值。

鑒于指數(shù)函數(shù)分為兩大類，要討論把x給定在不同區(qū)間所可能的影響。

(潛臺(tái)詞：函數(shù)概念深化，就在這變與不變。哲學(xué)啊！)算得

-1<X<1時(shí)，f(x)=1+x；f(l)=l；f(-l)=o

而x<—1或x>1時(shí)，恒有f(x)=0,觀察得X—1時(shí)，limf(x)=2；應(yīng)選(B)。

理解4運(yùn)用定理(2),“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等?！眲t

“函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)”等價(jià)于“左，右導(dǎo)數(shù)存在且相等”。

討論分段函數(shù)在定義分界點(diǎn)xO處的可導(dǎo)性，先看準(zhǔn)，寫下中心點(diǎn)函數(shù)值f(xO),然后分別在xO兩值］算左導(dǎo)數(shù)，右

導(dǎo)數(shù)。

例25

(1)h趨于0+時(shí)，lim(f(h)-f(O))/h存在不等價(jià)于函數(shù)在0點(diǎn)可導(dǎo)，因?yàn)樗皇怯覍?dǎo)數(shù)。

(2)h趨于0時(shí)，lim(f(2h)—f(h))/h存在不等價(jià)于函數(shù)在0點(diǎn)可導(dǎo)，因?yàn)榉肿又械暮瘮?shù)增量不是相對(duì)于中心點(diǎn)

函數(shù)值的增量。

請(qǐng)對(duì)比：如果f(x)函數(shù)在0點(diǎn)可導(dǎo)，則h-0時(shí)，

lim(f(2h)-f(h))/h=lim(f(2h)-f(0)+f(0)-f(h))/h

=2lim(f(2h)-f(0))/2h-lim(f(h)-f(0))/h

=2「(0)-f，(0)=ff(0)

(畫外音：我把上述恒等變形技術(shù)稱為“添零項(xiàng)獲得增量考試中心認(rèn)為你一定會(huì)這個(gè)小技術(shù)。

(2)中的不等價(jià)，要點(diǎn)在于，即便(2)中的極限存在，f(x)在0點(diǎn)也可能不可導(dǎo)。你可以作上述恒等變形，但是,

你無(wú)法排除“不存在一不存在=存在”的可能性。)

例26若函數(shù)f(x)滿足條件f(1+x)=af(x),且f((O)=b,數(shù)a#),厚0,貝U

(A)f(x)在x=l不可導(dǎo)。(B)f,(l)=a(C)f,(l)=b(D)f,(l)=ab

分析將已知f，(O)=b還原為定義lim(f(0+h)-f(0))/h=b,

要算f'⑴，考查lim(f(l+h)-f(D)/h

如何向「(0)的定義式轉(zhuǎn)化？！只能在已知恒等式上功夫。

顯然f(l+h)=af(h)；而f(1)=f(1+0)=af(0)

lim(f(l+h)-f(D)/h=lima(f(h)-f(0))/h=ab應(yīng)選(D)。

*理解5可導(dǎo)的定義式，是兩個(gè)無(wú)窮小的商求極限，自然也就是兩個(gè)無(wú)窮小的比較。于是可以說(shuō)，

連續(xù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的充分必要條件是，x—xO時(shí)，函數(shù)增量Ay是與Ax同階，或較Ax高階的無(wú)窮

小。

考研的小題目中，經(jīng)常在原點(diǎn)討論可導(dǎo)性，且往往設(shè)函數(shù)在原點(diǎn)的值為零。我稱這為“雙特殊情形這時(shí)，要討論的

增量商簡(jiǎn)化為f(x)/x,聯(lián)想一下高低階無(wú)窮小知識(shí)，可以說(shuō)，“雙特殊情形”下函數(shù)在原點(diǎn)可導(dǎo)，等價(jià)于x趨于0

時(shí)，函數(shù)是與自變量x同階或比x高階的無(wú)窮小。

如果函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，你?眼就能得出結(jié)論。

例27設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且恒滿足If(x)|Wx平方，則點(diǎn)x=0必是f(x)的(A)

間斷點(diǎn)。(B)連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)。(C)可導(dǎo)點(diǎn)，且「(0)=0(D)可導(dǎo)點(diǎn)，且『(0)，0

分析本題中實(shí)際上有夾逼關(guān)系0WIf(x)|<x2,在x=0的某鄰域內(nèi)成立。這就表明

f(0)=0,且|f(x)/x|WIx|由夾逼定理得，「(0)=0,應(yīng)選(C)。

例28設(shè)有如下定義的分段函數(shù)f(x),x>0時(shí),f(x)=(1—cosx/^x，xgO時(shí)，f(x)=x2g(x)

其中，g(x)為有界函數(shù)，則f(x)在點(diǎn)x=0(A)不存在極限(B)存在極限，但不連續(xù)。

(C)連續(xù)但不可導(dǎo)。(D)可導(dǎo)。

分析山定義得中心點(diǎn)函數(shù)值f(0)=0；本題在“雙特殊情形”下討論。

x>0時(shí)，顯然f(x)是比x高階的無(wú)窮小。右導(dǎo)數(shù)為0

xWO時(shí)，f(x)/x=xg(x),用夾逼法可判定左導(dǎo)數(shù)為0；應(yīng)選(D)。

*理解6運(yùn)用定理(3),若f(x)函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)，即有已知極限

AXTO,lim(Ay/Ax)=f'(xO)

于是Ay/Ax=f<xO)+a(x)(無(wú)窮小)；即Ay=ff(xO)Ax+a(x)Ax

由此即可證明，函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)，則一定在xO連續(xù)。

“如果分母是無(wú)窮小，商的極限存在，則分子也必定是無(wú)窮小。'‘經(jīng)濟(jì)類的考生可以這樣來(lái)體驗(yàn)“可導(dǎo)一定連續(xù)考數(shù)學(xué)

一，二的同學(xué)則應(yīng)將此結(jié)論作為一個(gè)練習(xí)題。

把導(dǎo)數(shù)定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟，你就既不會(huì)感到它抽象，也不會(huì)感到有多難?？佳械念}目設(shè)計(jì)都很有水

平，如果彳刖重考概念，題目中的函數(shù)結(jié)構(gòu)通常都比較簡(jiǎn)單-

不要怕定義。就當(dāng)是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規(guī)則熟記于心。

考研數(shù)學(xué)講座(8)求導(dǎo)熟練過(guò)大關(guān)

函數(shù)在一點(diǎn)xO可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值也就是函數(shù)圖形在點(diǎn)(xO,f(xO))處的切線斜率。從這個(gè)意義出發(fā)，我們有時(shí)把函

數(shù)可導(dǎo)說(shuō)成是“函數(shù)光滑

1典型的不可導(dǎo)

可導(dǎo)一定連續(xù)。函數(shù)的間斷點(diǎn)自然是不可導(dǎo)點(diǎn)。這是平凡的。我們感興趣的是函數(shù)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)。

最簡(jiǎn)單也最實(shí)用的反例是絕對(duì)值函數(shù)y=Ix|?這是一個(gè)分段函數(shù)。還原成分段形式后，在點(diǎn)x=0兩側(cè)分別用定義

計(jì)算，易算得右導(dǎo)數(shù)為1,左導(dǎo)數(shù)是一1

進(jìn)一步的反例是y=IsinxI在點(diǎn)x=0和y=IInxI在點(diǎn)x=1連續(xù)而不可導(dǎo)。

從圖形變化上去看一個(gè)連續(xù)函數(shù)取絕對(duì)值，那是件非常有趣的事情。

連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間不變號(hào)。如果恒正，每?個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值就是自己。在這兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)圖形不變。

如果恒負(fù)，每一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值都是它的相反數(shù)。這兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)圖形由x軸下面對(duì)稱地反射到了x軸上方。

y=sinx在原點(diǎn)的左側(cè)鄰近為負(fù)，右側(cè)鄰近為正。它的圖形在原點(diǎn)右側(cè)段不變，將左側(cè)段對(duì)稱地反射到上半平面，就是

y=Isinx|的圖形。反射使得圖形在原點(diǎn)處形成一個(gè)尖角，不光滑了。

這是否是一個(gè)普遍規(guī)律？不是！比如y=x3與y=|x3|在x=0點(diǎn)都可導(dǎo)。

函數(shù)y=x3的圖形叫“立方拋物線”。在點(diǎn)x=0,函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0,圖形有水平的切線橫穿而過(guò)。(潛臺(tái)詞：真有特色啊,

突破了我們?cè)械那芯€印念。)要是取絕對(duì)值，圖形的原點(diǎn)左側(cè)段對(duì)稱地反射到上半平面，但水平的切線保持不變。新

函數(shù)仍然光滑。這里的關(guān)鍵在于，函數(shù)值為0,導(dǎo)數(shù)值也為0,x=0是立方函數(shù)的重零點(diǎn)。

綜合上述，在f(x)恒為正或恒為負(fù)的區(qū)間匕曲線y=|f(x)|和曲線y=f(x)的光滑性是一致的。

只有在f(x)的零點(diǎn)處，才可能出現(xiàn)曲線y=f(x)光滑而曲線y=|f(x)|不光滑的狀況。

數(shù)學(xué)三的考卷上有過(guò)這樣的4分選擇題。

例31f(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，則|f(x)|在x=a不可導(dǎo)若函數(shù)的充分必要條件是

(A)f(a)=0且「(a)=0(B)f(a)=0且f<a)彳0

(C)f(a)>0且「(a)>0(D)f(a)>0且「(a)<0

分析如果沒(méi)有思路，首先聯(lián)想y=x與y=|x|即可排除(A)；

俗語(yǔ)說(shuō)，連續(xù)函數(shù)“一點(diǎn)大于0,則一段大于0"；相應(yīng)絕對(duì)值就是自己。(C)(D)顯然都錯(cuò)；只有選(B)。

(畫外音：如果用代數(shù)語(yǔ)言，f(x)可導(dǎo)，f(a)=0,而「(a),0,則點(diǎn)a是f(x)的單零點(diǎn)。這道題該算擦邊題。)

2.討論深化

我在講座(2)中舉例，“連續(xù)A+不連續(xù)B=?”

如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”則“連續(xù)C一連續(xù)A=不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

推理的關(guān)鍵在于，逆運(yùn)算減法可行。

自然類似有：可導(dǎo)A+不可導(dǎo)B=不可導(dǎo)C。比如y=x+Isinx|在點(diǎn)x=0不可導(dǎo)。

例32函數(shù)f(x)=IsinxI+Icosx|的不可導(dǎo)點(diǎn)是(？)

分析函數(shù)為“和”結(jié)構(gòu)。無(wú)論是Isinx|的不可導(dǎo)點(diǎn)或|cosxI的不可導(dǎo)點(diǎn)，都是f的不可導(dǎo)點(diǎn)。即

x=knx=krt+TT/2,k=0,±1,±2,...

更深化的問(wèn)題是：可導(dǎo)Ax(連續(xù))不可導(dǎo)B,是可導(dǎo)還是不可導(dǎo)？

比如y=xIx|在點(diǎn)0可導(dǎo)嗎？

與“和”的情形相比，積的逆運(yùn)算不一定可行。當(dāng)且僅當(dāng)A加時(shí)，才有C/A=B所以

結(jié)論1,若f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且f(x0)聲0,g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)不可導(dǎo)，則積函數(shù)尸f(x)g(x)在點(diǎn)x0，?

定不可導(dǎo)。

結(jié)論2(*例33)已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，函數(shù)g(x)在點(diǎn)x=a連續(xù)而不可導(dǎo)，試證明

函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)的充分必要條件是f(a)=0.

證明先證充分性，設(shè)f(a)=0貝F(a)=0

令h—>0,Fz(a)=lim(F(a+h)—F(a))/h=limf(a+h)g(a+h)/h

=(lim(f(a+h)—f(a))/h)limg(a+h)

=「(a)g(a)

再用反證法證必要性。設(shè)函數(shù)F(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)而f(a),0.,則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a的

某鄰域內(nèi)恒