福建省高考數(shù)學試卷理科高考

福建省高考數(shù)學試卷理科高考福建省高考數(shù)學試卷理科高考福建省高考數(shù)學試卷理科高考2015年福建省高考數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題（共10小題，每題5分，共50分）2015年一般高等學校招生全

國一致考試（福建卷）數(shù)學（理工類）

1．（5分）若召集A={i，i2，i3，i4}（i是虛數(shù)單位），B={1，﹣1}，則A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．?2．（5分）以下函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A．y=B．y=|sinx|C．y=cosxD．y=ex﹣e﹣x

3．（5分）若雙曲線E：=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|=3，則|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3

4．（5分）為認識某社區(qū)居民的家庭年收入與年開銷的聯(lián)系，隨機查問了該社區(qū)

5戶家庭，獲取以下核算數(shù)據(jù)表：收入x（萬元）元）

依據(jù)上表可得回歸直線方程，此間，據(jù)此預計，該社

區(qū)一戶收入為15萬元家庭年開銷為（）A．11.4萬元B．11.8萬元C．12.0萬元D．12.2萬元

5．（5分）若變量x，y滿意拘束條件則z=2x﹣y的最小值等于（）A．2B．﹣2C．D．

6．（5分）閱覽以以下列圖的程序框圖，運轉相應的程序，則輸出的成就為（）第1頁（共27頁）A．2B．1C．0D．﹣1

7．（5分）若l，m是兩條不相同的直線，m筆直于平面α，則“⊥lm”是“∥lα”的（）

A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件8．（5分）若a，b是函數(shù)f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個不相同的零點，且a，b，﹣2這三個數(shù)可適合排序后成等差數(shù)列，也可適合排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9

9．（5分）已知，若P點是△ABC地址平面內一點，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21

10．（5分）若界說在R上的函數(shù)f（x）滿意f（0）=﹣1，其導函數(shù)f′（x）滿意

f（′x）＞k＞1，則以下定論中必然過失的是（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分.第2頁（共27頁）11．（4分）（x+2）5的張開式中，x2的系數(shù)等于．（用數(shù)字作答）12．（4分）若銳角△ABC的面積為，且AB=5，AC=8，則BC等于．13．（4分）如圖，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（2，4），函數(shù)f（x）

=x2，若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自暗影部分的概率等于．14．（4分）若函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

則實數(shù)a的取值規(guī)模是．

15．（4分）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，此間xk

（k=1，2，?，n）稱為第k位碼元，二元碼是通訊中常用的碼，但在通訊進度

中有時會產(chǎn)生碼元過失（即碼元由0變成1，也許由1變成0）

已知某種二元碼x1x2?x7的碼元滿意以下校驗方程組：

此間運算⊕界說為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通訊進度中僅在第k位產(chǎn)生碼元過失后變成了

1101101，那么使用上述校驗方程組可判斷k等于．

三、回答題

16．（13分）某銀行規(guī)矩，一張銀行卡若在一天內表現(xiàn)3次密碼測試過失，該銀

行卡將被確認，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確

定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決策從中不重復地隨機選

擇1個進行測試．若密碼正確，則完成測試；不然連續(xù)測試，直至該銀行卡被鎖定．第3頁（共27頁）

（1）求當天小王的該銀行卡被確認的概率；

（2）設當天小王用該銀行卡測試密碼次數(shù)為X，求X的散布列和數(shù)學希望．

17．（13分）如圖，在幾許體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，

BE⊥EC，AB=BE=EC=，2G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點．（1）求證：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．18．（13分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）過點，且離心率e為．（1）求橢圓E的方程；

（2）設直線x=my﹣1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點，鑒別點G與以

線段AB為直徑的圓的方向聯(lián)系，并說明原因．

19．（13分）已知函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g（x）=cosx的圖象經(jīng)以下更換得

到：先將g（x）圖象上所有點的縱坐標伸長到本來的2倍，橫坐標不變，再將所獲取的圖象向右平移個單位長度．（1）求函數(shù)f（x）的剖析式，并求其圖象的對稱軸方程；（2）已知對于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）內有兩個不相同的解α，β

（i）求實數(shù)m的取值規(guī)模；（ii）證明：cos（α﹣β）=﹣1．第4頁（共27頁）20．（7分）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）證明：當x＞0時，f（x）＜x；

（2）證明：當k＜1時，存在x0＞0，使得對恣意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（3）確認k的所有也許取值，使得存在t＞0，對恣意的x∈（0，t），恒有|f（x）|

（3）確認k的所有也許取值，使得存在t＞0，對恣意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．

四、選修4-2：矩陣與更換21．（7分）已知矩陣A=，B=（1）求A的逆矩陣A﹣1；（2）求矩陣C，使得AC=B．五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22．（7分）在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．在極坐標系（與平面直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸），直線l的方程為ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）

（1）求圓C的一般方程及直線l的直角坐標方程；

（2）設圓心C到直線l的間隔等于2，求m的值．六、選修4-5：不等式選講23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值為4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．第5頁（共27頁）2015年福建省高考數(shù)學試卷（理科）參照答案與試題剖析

一、選擇題（共10小題，每題5分，共50分）2015年一般高等學校招生全

國一致考試（福建卷）數(shù)學（理工類）

1．（5分）若召集A={i，i2，i3，i4}（i是虛數(shù)單位），B={1，﹣1}，則A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．?

【剖析】使用虛數(shù)單位i的運算性質化簡A，爾后使用交集運算得答案．

【回答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．應選：C．

【談論】此題察看了交集及其運算，察看了虛數(shù)單位i的運算性質，是基礎題．2．（5分）以下函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A．y=B．y=|sinx|C．y=cosxD．y=ex﹣e﹣x

【剖析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的界說進行鑒別即可．【解答】解：A．函數(shù)的定義域為[0，+∞），定義域對于原點不對稱，故A為非奇非偶函數(shù)．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），則f（x）為偶函數(shù)．C．y=cosx為偶函數(shù)．

﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），則f（x）為奇函數(shù)，D．f（﹣x）=e應選：D．

【談論】此題首要察看函數(shù)奇偶性的鑒別，依據(jù)函數(shù)奇偶性界說是辦理此題的關鍵．

3．（5分）若雙曲線E：=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E第6頁（共27頁）上，且|PF1|=3，則|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3

【剖析】確認P在雙曲線的左支上，由雙曲線的界說可得定論．

【回答】解：由題意，雙曲線E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在雙曲線的左支上，

∴由雙曲線的界說可得|PF2|﹣|PF1|=6，|

∴由雙曲線的界說可得|PF2|﹣|PF1|=6，|

∴由雙曲線的界說可得|PF2|﹣|PF1|=6，|

∴由雙曲線的界說可得|PF2|﹣|PF1|=6，|

∴由雙曲線的界說可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．應選：B．

【談論】此題察看雙曲線的規(guī)范方程，察看雙曲線的界說，歸于基礎題．

4．（5分）為認識某社區(qū)居民的家庭年收入與年開銷的聯(lián)系，隨機查問了該社區(qū)

5戶家庭，獲取以下核算數(shù)據(jù)表：收入x（萬元）元）

依據(jù)上表可得回歸直線方程，此間，據(jù)此預計，該社

區(qū)一戶收入為15萬元家庭年開銷為（）A．11.4萬元B．11.8萬元C．12.0萬元D．12.2萬元

【剖析】由題意可得和，可得回歸方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由題意可得=（）=10，=（）=8，代入回歸方程可得=8﹣×，∴回歸方程為，把x=15代入方程可得×，應選：B．第7頁（共27頁）

【談論】此題察看線性回歸方程，波及平均值的核算，屬基礎題．

5．（5分）若變量x，y滿意拘束條件則z=2x﹣y的最小值等于（）A．2B．﹣2C．D．

【剖析】由拘束條件作出可行域，由圖獲取最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，數(shù)形結合得答案．

【回答】解：由拘束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值為2×（﹣1）﹣=．應選：D．

【談論】此題察看了簡單的線性規(guī)劃，察看了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．

6．（5分）閱覽以以下列圖的程序框圖，運轉相應的程序，則輸出的成就為（）第8頁（共27頁）A．2B．1C．0D．﹣1

【剖析】模擬執(zhí)行程序框圖，按次寫出每次循環(huán)獲取的i，S的值，當i=6時滿意條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為0．

【回答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得i=1，S=0S=cos，i=2不知足條件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不知足條件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不知足條件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不知足條件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6

滿意條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為0，應選：C．

【談論】此題首要察看了循環(huán)構造的程序框圖，正確按次寫出每次循環(huán)獲取的i，

S的值是解題的要害，歸于基礎題．

7．（5分）若l，m是兩條不相同的直線，m筆直于平面α，則“⊥lm”是“∥lα”的（）第9頁（共27頁）

A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件

【剖析】使用直線與平面平行與筆直聯(lián)系，鑒別兩個出題的充要條件聯(lián)系即可．

【回答】解：l，m是兩條不相同的直線，m筆直于平面α，則“⊥lm”也許“∥lα”也可能l?α，反之，“∥lα”必然有“⊥lm”，

所以l，m是兩條不相同的直線，m筆直于平面α，則“⊥lm”是“∥lα”的必要而不充分條件．應選：B．

【談論】此題察看空間直線與平面筆直與平行聯(lián)系的使用，充要條件的鑒別，基

本知識的察看．8．（5分）若a，b是函數(shù)f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個不相同的零點，且a，b，﹣2這三個數(shù)可適合排序后成等差數(shù)列，也可適合排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9【剖析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系獲取a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個數(shù)可適合排序后成等差數(shù)列，也可適合排序后成等比數(shù)列列對于a，b的方程組，求得a，b后得答案．【解答】解：由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2這三個數(shù)可適合排序后成等差數(shù)列，也可適合排序后成等比數(shù)列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9．應選：D．

【談論】此題察看了一元二次方程根與系數(shù)的聯(lián)系，察看了等差數(shù)列和等比數(shù)列

的性質，是基礎題．第10頁（共27頁）

9．（5分）已知，若P點是△ABC地址平面內一點，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21

【剖析】建系，由向量式的幾許意義易得P的坐標，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4?+t），由基本不等式可得．

【回答】解：由題意成立以以下列圖的坐標系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，當且僅當4t=即t=時取等號，∴的最大值為13，應選：A．

【談論】此題察看平面向量數(shù)量積的運算，波及根本不等式求最值，屬中檔題．第11頁（共27頁）

10．（5分）若界說在R上的函數(shù)f（x）滿意f（0）=﹣1，其導函數(shù)f′（x）滿意

f（′x）＞k＞1，則以下定論中必然過失的是（）A．B．C．D．

【剖析】依據(jù)導數(shù)的見解得出＞k＞1，用x=代入可鑒別出（f）

＞，即可鑒別答案．

【回答】解；∵f（′0）=f（′x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，當x=時，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，

所以f（）＜，必然出錯，另解：設g（x）=f（x）﹣kx+1，g（0）=0，且g′（x）=f（′x）﹣k＞0，

g（x）在R上遞加，

k＞1，對選項逐一鑒別，可得C錯．應選：C．

【談論】此題察看了導數(shù)的見解，不等式的化簡運算，歸于中檔題，理解了變量的代換問題．二、填空題：本大題共5小題，每題4分，共20分.11．（4分）（x+2）5的張開式中，x2的系數(shù)等于80．（用數(shù)字作答）

【剖析】先求出二項式張開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，即可求得張開式中的x2項的系數(shù)．第12頁（共27頁）【解答】解：（x+2）5的張開式的通項公式為Tr+1=?x5﹣r?2r，令5﹣r=2，求得r=3，可得張開式中x2項的系數(shù)為=80，故答案為：80．

【談論】此題首要察看二項式定理的使用，二項式系數(shù)的性質，二項式張開式的

通項公式，求張開式中某項的系數(shù)，歸于基礎題．12．（4分）若銳角△ABC的面積為，且AB=5，AC=8，則BC等于7．

【剖析】使用三角形的面積公式求出A，再使用余弦定理求出BC．

【回答】解：由于銳角△ABC的面積為，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案為：7．

【談論】此題察看三角形的面積公式，察看余弦定理的運用，比較基礎．13．（4分）如圖，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（2，4），函數(shù)f（x）

=x2，若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自暗影部分的概率等于．

【剖析】分別求出矩形和暗影部分的面積，使用幾許概型公式，回答．

【回答】解：由已知，矩形的面積為4×（2﹣1）=4，第13頁（共27頁）

暗影部分的面積為=（4x﹣）|=，|

暗影部分的面積為=（4x﹣）|=，

由幾許概型公式可得此點取自暗影部分的概率等于；故答案為：．

【談論】此題察看了定積分求曲邊梯形的面積以及幾許概型的運用；要害是求出

暗影部分的面積，使用幾許概型公式回答．14．（4分）若函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

則實數(shù)a的取值規(guī)模是（1，2]．

【剖析】當x≤2時，查驗滿意f（x）≥4．當x＞2時，分類談論a的規(guī)模，依

據(jù)函數(shù)的單一性，求得a的規(guī)模，概括可得定論．【解答】解：由于函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

故當x≤2時，滿意f（x）=6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）=3+logax在它的定義域上單一遞加，當x＞2時，由f（x）=3+logax≥4，∴l(xiāng)ogax≥1，∴l(xiāng)oga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+logax在它的定義域上單一遞減，f（x）=3+logax＜3+loga2＜3，不知足f（x）的值域是[4，+∞）．綜上可得，1＜a≤2，故答案為：（1，2]．

【談論】此題首要察看分段函數(shù)的使用，對數(shù)函數(shù)的單一性和特別點，歸于中檔題．

15．（4分）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，此間xk

（k=1，2，?，n）稱為第k位碼元，二元碼是通訊中常用的碼，但在通訊進度

中有時會產(chǎn)生碼元過失（即碼元由0變成1，也許由1變成0）第14頁（共27頁）

已知某種二元碼x1x2?x7的碼元滿意以下校驗方程組：

此間運算⊕界說為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通訊進度中僅在第k位產(chǎn)生碼元過失后變成了

1101101，那么使用上述校驗方程組可判斷k等于5．

【剖析】依據(jù)二元碼x1x2?x7的碼元滿意的方程組，及“⊕”的運算規(guī)矩，將k的

值從1至7逐一考證即可．

【回答】解：依題意，二元碼在通訊進度中僅在第k位產(chǎn)生碼元過失后變成了1101101，①若k=1，則x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

爾后由校驗方程組，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，則x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

爾后由校驗方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，則x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

爾后由校驗方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，

爾后由校驗方程組，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，

爾后由校驗方程組，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，

故k=5符合題意；⑥若k=6，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，

爾后由校驗方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=7，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，

爾后由校驗方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；綜上，k等于5．故答案為：5．

【談論】此題屬新界說題，要害是弄懂新界說的意義或規(guī)矩，事實上，此題中的運算符號“⊕”可看作是兩個數(shù)差的絕對值運算，知道了這一點，考證就不是難事了．第15頁（共27頁）

三、回答題

16．（13分）某銀行規(guī)矩，一張銀行卡若在一天內表現(xiàn)3次密碼測試過失，該銀

行卡將被確認，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確

定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決策從中不重復地隨機選

擇1個進行測試．若密碼正確，則完成測試；不然連續(xù)測試，直至該銀行卡被鎖定．

（1）求當天小王的該銀行卡被確認的概率；

（2）設當天小王用該銀行卡測試密碼次數(shù)為X，求X的散布列和數(shù)學希望．

【剖析】（1）依據(jù)概率的公式即可求當天小王的該銀行卡被確認的概率；

（2）隨機變量X的取值為：1，2，3，分別求出對應的概率，即可求出散布列和

希望．

【回答】解：（1）設“當天小王的該銀行卡被確認”的事情為A，則P（A）=．

（2）有也許的取值是1，2，3又則P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，

所以X的散布列為：X123PEX=1×+2×+3×=．

【談論】本小題首要察看分步計數(shù)原理、隨機變量的散布列、數(shù)學希望等基礎知

識，察看運算求解才能、使用認識，察看必然與或然思想．

17．（13分）如圖，在幾許體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，

BE⊥EC，AB=BE=EC=，2G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點．第16頁（共27頁）（1）求證：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．

【剖析】解法一：（1）取AE的中點H，連結HG，HD，經(jīng)過證明四邊形HGFD是

平行四邊形來證明GF∥DH，由線面平行的判斷定理可得；

（2）以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向成立空間直角坐標系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夾角的余弦值可得．

解法二：（1）如圖，取AB中點M，連結MG，MF，經(jīng)過證明平面GMF∥平面ADE來證明GF∥平面ADE；（2）同解法一．

【回答】解法一：（1）如圖，取AE的中點H，連結HG，HD，∵G是BE的中點，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中點，四邊形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四邊形HGFD是平行四邊形，∴GF∥DH，又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如圖，在平面BEG內，過點B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，

以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向成立空間直角坐標系，則A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F(xiàn)（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴為平面BEC的法向量，設=（x，y，z）為平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）第17頁（共27頁）

由筆直聯(lián)系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為．

解法二：（1）如圖，取AB中點M，連結MG，MF，又G是BE的中點，可知GM∥AE，且GM=AE又AE?平面ADE，GM?平面ADE，∴GM∥平面ADE．

在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點可得MF∥AD．又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．第18頁（共27頁）

【談論】此題察看空間線面方向聯(lián)系，察看空間想象才能、推理證明才能、運算

求解才能，建系求二面角是辦理問題的要害，屬難題．18．（13分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）過點，且離心率e為．（1）求橢圓E的方程；

（2）設直線x=my﹣1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點，鑒別點G與以

線段AB為直徑的圓的方向聯(lián)系，并說明原因．

【剖析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出橢圓E的方程．（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為H（x0，y0）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根與系數(shù)的關系中點坐標公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差

|GH|2﹣即可鑒別出．|

|GH|2﹣即可鑒別出．

|GH|2﹣即可鑒別出．G

|GH|2﹣即可鑒別出．

|GH|2﹣即可鑒別出．H

|GH|2﹣即可鑒別出．|

|GH|2﹣即可鑒別出．

|GH|2﹣即可鑒別出．2

|GH|2﹣即可鑒別出．﹣

|GH|2﹣即可鑒別出．即

|GH|2﹣即可鑒別出．可

|GH|2﹣即可鑒別出．判

|GH|2﹣即可鑒別出．斷

|GH|2﹣即可鑒別出．出

|GH|2﹣即可鑒別出．．

|GH|2﹣即可鑒別出．

|GH|2﹣即可鑒別出．解法二：（1）同解法一．第19頁（共27頁）（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2），則=，=．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，計算

=即可得出∠AGB，爾后鑒別出方向聯(lián)系．

【回答】解法一：（1）由已知得，解得，∴橢圓E的方程為．（2）設點A（x1y1），B（x2，y2），AB中點為H（x0，y0）．由，化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB為直徑的圓外．解法二：（1）同解法一．（2）設點A（x1y1），B（x2，y2），則=，=．第20頁（共27頁）由，化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，

爾后==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共線，∴∠AGB為銳角．故點G在以AB為直徑的圓外．

【談論】本小題首要察看橢圓、圓、直線與橢圓的方向聯(lián)系、點與圓的方向聯(lián)系、

向量數(shù)量積運算性質等基礎知識，察看推理證明才能、運算求解才能，察看數(shù)形

結合思想、化歸與轉變思想、函數(shù)與方程思想，歸于難題．

19．（13分）已知函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g（x）=cosx的圖象經(jīng)以下更換得

到：先將g（x）圖象上所有點的縱坐標伸長到本來的2倍，橫坐標不變，再將所獲取的圖象向右平移個單位長度．（1）求函數(shù)f（x）的剖析式，并求其圖象的對稱軸方程；（2）已知對于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）內有兩個不相同的解α，β

（i）求實數(shù)m的取值規(guī)模；（ii）證明：cos（α﹣β）=﹣1．【剖析】（1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得：f（x）=2sinx，進而可求對稱軸方程．（2）（i）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡剖析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）第21頁（共27頁）

（此間sinφ=，cosφ=），爾后可求||＜1，即可得解．|

（此間sinφ=，cosφ=），爾后可求||＜1，即可得解．|

（此間sinφ=，cosφ=），爾后可求||＜1，即可得解．＜1，即可得解．（ii）由題意可得sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．當1≤m＜時，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），當﹣＜m＜0時，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin2（β+φ）﹣1，進而得證．

【回答】解：（1）將g（x）=cosx的圖象上所有點的縱坐標伸長到本來的2倍（橫坐標不變）獲取y=2cosx的圖象，再將y=2cosx的圖象向右平移個單位長度后獲取y=2cos（x﹣）的圖象，故f（x）=2sinx，

爾后函數(shù)f（x）=2sinx圖象的對稱軸方程為x=k（k∈Z）．（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依題意，sin（x+φ）=在區(qū)間[0，2π）內有兩個不相同的解α，β，當且僅當||

＜1，故m的取值規(guī)模是（﹣，）．（ii）由于α，β是方程sin（x+φ）=m在區(qū)間[0，2π）內的兩個不相同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．當1≤m＜時，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；當﹣＜m＜1時，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=．

【談論】本小題首要察看三角函數(shù)的圖象與性質、三角恒等更換等基礎知識，考

查運算求解才能、抽象概括才能、推理證明才能，察看函數(shù)與方程思想、分類與

全體思想、化歸與轉變思想、數(shù)形結合思想．20．（7分）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）證明：當x＞0時，f（x）＜x；

（2）證明：當k＜1時，存在x0＞0，使得對恣意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；第22頁（共27頁）

（3）確認k的所有也許取值，使得存在t＞0，對恣意的x∈（0，t），恒有|f（x）|

（3）確認k的所有也許取值，使得存在t＞0，對恣意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．【剖析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求導獲取F′（x）≤0，說明F（x）在[0，+∞）上單一遞減，則x＞0時，f（x）＜x；（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0時，G′（x）＞0，說明G（x）在（0，+∞）上單一遞加，存在x0＞0，使得對隨意x∈（0，x0），恒有（fx）＞g（x）；當0＜k＜1時，由G（′x）=0，求得．取

，對恣意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上單一遞加，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）；

（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左面去絕對值，當|

（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左面去絕對值，當|

（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左面去絕對值，當

k＞1時，使用導數(shù)求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，滿意題意的t不存在．|

k＞1時，使用導數(shù)求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，滿意題意的t不存在．|

k＞1時，使用導數(shù)求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，滿意題意的t不存在．

當k＜1時，由（2）知存在x0＞0，使得對恣意的恣意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求導數(shù)剖析知足題意的t不存在．當k=1，由（1）知，當x∈（0，+∞）時，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），則有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）上單一遞減，故H（x）＜H（0）=0，說明當x＞

0時，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，現(xiàn)在，滿意t＞0的實數(shù)t存在．|

0時，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，現(xiàn)在，滿意t＞0的實數(shù)t存在．|

0時，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，現(xiàn)在，滿意t＞0的實數(shù)t存在．【解答】（1）證明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，則有F′（x）=﹣1=﹣，∵x≥0，∴F′（x）≤0，∴F（x）在[0，+∞）上單一遞減，∴當x∈（0，+∞）時，有F（x）＜F（0）=0，∴x＞0時，f（x）＜x；（2）證明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），則有G′（x）=﹣k=，當k≤0時，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上單一遞加，第23頁（共27頁）∴G（x）＞G（0）=0，

故對恣意正實數(shù)x0均滿意題意．當0＜k＜1時，令G′（x）=0，得．

取，對恣意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上單

調遞加，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．

綜上，當k＜1時，總存在x0＞0，使得對恣意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）解：當k＞1時，由（1）知，對于隨意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），則有，故當時，M′（x）＞0，M（x）在[0，

）上單一遞加，

故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴滿意題意的t不存在．|

故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴滿意題意的t不存在．|

故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴滿意題意的t不存在．

當k＜1時，由（2）知存在x0＞0，使得對恣意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．

現(xiàn)在|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，|

現(xiàn)在|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），則有，故當時，N′（x）＞0，N（x）在[0，

）上單一遞加，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，記x0與中較小的為x1，

則當x∈（0，x1）時，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故滿意題意的t不存在．|

則當x∈（0，x1）時，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故滿意題意的t不存在．|

則當x∈（0，x1）時，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故滿意題意的t不存在．第24頁（共27頁）當k=1，由（1）知，當x∈（0，+∞）時，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（