直線(xiàn)專(zhuān)題與直線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題-【題型分類(lèi)歸納】2

直線(xiàn)專(zhuān)題：與直線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題一、距離公式1、點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)，間的距離公式為：.2、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.3、直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離公式：兩條平行直線(xiàn)，，它們之間的距離為：二、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)1、實(shí)質(zhì)：軸（直線(xiàn)）是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)段的中垂線(xiàn)2、（1）當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為三、線(xiàn)段和與差的最值問(wèn)題解題思路1、定直線(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的最小值，直線(xiàn)將其中一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，使兩點(diǎn)在直線(xiàn)異側(cè)，三點(diǎn)共線(xiàn)最短；2、定直線(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差的最大值，直線(xiàn)將其中一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，使兩點(diǎn)在直線(xiàn)同側(cè)，三點(diǎn)共線(xiàn)最短.題型一兩點(diǎn)間距離最值問(wèn)題【例1】設(shè)的最小值為_(kāi)______.【答案】【解析】從幾何意義看，+表示點(diǎn)到點(diǎn)和距離的和，其最小值為和兩點(diǎn)間的距離.故答案為：【變式1-1】已知x，y∈R，，則S的最小值是（）A．0B．2C．4D．【答案】B【解析】表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(－1，0)與點(diǎn)B(1，0)的距離之和，如圖所示：由圖象知：，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，等號(hào)成立，所以S取得最小值為2．故選：B【變式1-2】已知實(shí)數(shù)x，y，則的最小值是______.【答案】【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)，，，，，則.因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)A是OC與BD的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立）．所以的最小值是．故答案為：【變式1-3】已知點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，則m的最小值為（）A．5B．6C．D．【答案】C【解析】表示點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和．因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以m的最小值為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，即．此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn).故選：C【變式1-4】直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（）A．2B．C．D．4【答案】B【解析】因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，故選：B.題型二點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題【例2】已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)，則點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】聯(lián)立方程，解得：，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值為AB的長(zhǎng)，且.【變式2-1】若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離為（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】由題意得：點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離為原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即，故選：C【變式2-2】設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（）A．B．4C．D．8【答案】C【解析】，所以表示直線(xiàn)上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以最小值為.故選：C.【變式2-3】設(shè)直線(xiàn)，為直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，該距離的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即，則的最小值為.故選：A.【變式2-4】已知點(diǎn)在直線(xiàn)上的運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以的最小值為．故選：A題型三線(xiàn)段和的最值問(wèn)題【例3】已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的最小值為（）A．6B．C．D．【答案】B【解析】點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)系軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，.故選：B.【變式3-1】已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為（）A．B．9C．D．10【答案】C【解析】依題意，若關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，解得，∴，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，如圖，在直線(xiàn)上任取點(diǎn)C，連接，顯然，直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，∴，故的最小值為.故選：C【變式3-2】設(shè)，求的最小值是_______.【答案】【解析】，即d可看作點(diǎn)和到直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離之和，作關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，由題意得，解得故，則.【變式3-3】已知點(diǎn)M，N分別在直線(xiàn)：與直線(xiàn)：，且，點(diǎn)，，則|的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，由，所以，設(shè)，則表示直線(xiàn)上的點(diǎn)與連線(xiàn)的距離之和，所以的最小值為.故選：C【變式3-4】唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A．B．5C．D．【答案】D【解析】由關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，可得，即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，又所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：D題型四線(xiàn)段差的最值問(wèn)題【例4】已知點(diǎn)，，在軸上找一點(diǎn)使最大，則的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如下圖所示：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，則.當(dāng)、、三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，由三角形三邊關(guān)系得；當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，即，在直線(xiàn)的方程中，令，解得，即點(diǎn).故選：D.【變式4-1】直線(xiàn)分別交軸和于點(diǎn)，為直線(xiàn)上一點(diǎn)，則的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】依題意可知，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，即求的最大值，，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，即與原點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值為，也即的最大值是.故選：A【變式4-2】已知點(diǎn)，，直線(xiàn)，點(diǎn)P為直線(xiàn)l上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】如圖，作B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)，則，解得，所以．因?yàn)榕c