現(xiàn)代控制理論第章二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制

第十章二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制在實(shí)際工程問(wèn)題中，二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題具有特別重要的意義。這是由于：二次型性能指標(biāo)具有鮮明的物理意義，它代表了大量工程實(shí)際問(wèn)題中提出的性能指標(biāo)要求；在數(shù)學(xué)處理上比較簡(jiǎn)單，可求得最優(yōu)控制的統(tǒng)一解析表示式；特別可貴的是可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，這一點(diǎn)在工程實(shí)現(xiàn)上具有重要意義。因此二次型性能指標(biāo)的線形系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題被廣泛應(yīng)用到各種工程實(shí)際中，例如：導(dǎo)彈的角度控制、電冰箱的溫度控制等。電冰箱溫度控制導(dǎo)彈角度控制二次型性能指標(biāo)線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題可以描述如下：設(shè)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程及輸出方程為：(10-1)(10-1)式中，為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量。假設(shè)：；不受約束；為理想輸出，與同維數(shù)，并定義為誤差向量。(10-3)這里，權(quán)函數(shù)，為正半定矩陣，為正定矩陣。假定固定。要求尋找最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。性能指標(biāo)為(10-4)這里，被積函數(shù)的第一項(xiàng)代表整個(gè)過(guò)程中誤差的大小。由于的正半定性，決定了這一項(xiàng)的非負(fù)性；被積函數(shù)的第二項(xiàng)代表控制功率的消耗，其積分表示整個(gè)過(guò)程中控制能量的消耗。由于的正定性，決定了這一項(xiàng)總為正，由于這個(gè)原因，對(duì)往往不需再疑義約束，而常設(shè)為自由的；指標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng)表示終值誤差。從理論上講，被積函數(shù)的第一項(xiàng)已經(jīng)包括了終端誤差的萬(wàn)分，但如需特別強(qiáng)調(diào)終值誤差，則可加上此項(xiàng)。矩陣則是用來(lái)權(quán)衡各個(gè)誤差成分及控制分量相對(duì)重要程度的加權(quán)陣。這里，及可以是時(shí)間函數(shù)，以表示在不同時(shí)刻的不以加權(quán)。因此，二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是：要求用較小的控制能量來(lái)獲得較小誤差的最優(yōu)控制。下面，我們將分別討論幾種特殊情況：⑴狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。它對(duì)應(yīng)于及的情況。這時(shí)要求用不大的控制能量以保持狀態(tài)在零值附近。⑵輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題。它對(duì)應(yīng)于的情況。這時(shí)要求用不大的控制能量以保持輸出在零值附近。⑶跟蹤器問(wèn)題。這時(shí)，它要墳用不大的控制能量使輸出量跟蹤。第一節(jié)線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(10-5)終端時(shí)刻固定。要求尋找最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。不受約束，性能指標(biāo)為(10-6)這個(gè)問(wèn)題的求解可以用極小值原理或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，這里，我們應(yīng)用極小值原理來(lái)求解。首先列寫哈密爾頓函數(shù)(10-7)由此可得正則方程(10-8)(10-9)由于控制不受約束，控制方程滿足(10-10)由于的正定性保證了存在，從而才可能存在。由此可得：(10-11)將式（10-11）代入正則方程(10-12)(10-13)這是一組一階線必微分方程，其邊界條件為：及橫截條件(10-14)(10-15)由于橫截條件中與存在線性關(guān)系，而正則方程又是線性的。因此可以假設(shè)，在任何時(shí)刻與均可以存在如下線性關(guān)系；(10-16)對(duì)式（10-16）求導(dǎo)(10-17)將式（8－12）、式（8－16）代入式（8－17）(10-18)將式（8－16）代入式（8－9）(10-19)由此可得：(10-20)上式應(yīng)對(duì)任何均成立，故有該式稱為矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠蹋且粋€(gè)階非線性矩陣微分方程。(10-21)它是一個(gè)階非線性矩陣微分方程。比較式（10-15）及式（10-16），可知式（10-21）的邊界條件為：(10-22)由黎卡提微分方程解出后，代入式（8－11），可得最優(yōu)控制規(guī)律為：(10-23)下面對(duì)以上結(jié)論作幾點(diǎn)說(shuō)明：⑴優(yōu)控制規(guī)律是一個(gè)狀態(tài)線性反饋規(guī)律，它能方便地實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。這一點(diǎn)在工程上具有十分重要的意義。閉環(huán)最優(yōu)控制的結(jié)構(gòu)原理圖如圖10-1。圖10-1閉環(huán)最優(yōu)控制結(jié)構(gòu)圖⑵可以證明（略），是一個(gè)對(duì)稱陣。由于它是非線性微分方程之解，通常情況下難求得解析解，一般都需由計(jì)算機(jī)求出其數(shù)值解，并且由于具邊界條件在終端處。因此需要逆時(shí)間方向求解，并且必須在過(guò)程開始之前就將解出，存入計(jì)算機(jī)以供過(guò)程中使用。由于黎卡提微分方程與狀態(tài)及控制變量無(wú)關(guān)，因此在定常系統(tǒng)情況下，預(yù)先算出可能的。⑶是時(shí)間函數(shù)，由此得出結(jié)論，即使線性系統(tǒng)是時(shí)不變的，為了實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，反饋增益應(yīng)該是時(shí)變的，而不是常值反饋增益。這一點(diǎn)與經(jīng)典控制方法的結(jié)論具有本質(zhì)的區(qū)別。⑷將最優(yōu)控制及最優(yōu)狀態(tài)軌線代入指標(biāo)函數(shù)，最后可求得性能指標(biāo)的最小值為：（證明略）。(10-24)例10-1設(shè)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：初始條件為：不受約束，固定，性能指標(biāo)為：最求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。解:本例相應(yīng)的具有關(guān)矩陣為：設(shè)：將代入式根據(jù)等號(hào)兩邊矩陣的對(duì)應(yīng)元素就相等，可得下列方程：已知為對(duì)稱矩陣，故，上式可變成：已知，上列方程的終端邊界條件為：上式的求解一般由計(jì)算機(jī)進(jìn)行，將的解代入式（10-23）可得最優(yōu)控制為：第二節(jié)時(shí)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題為常值矩陣，并滿足為正半定的，為正定的。求最優(yōu)點(diǎn)控制，使性能指標(biāo)為最小。設(shè)線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為(10-25)這里，為常值矩陣，不受約束，性能指標(biāo)為(10-26)這里仁討論丑的問(wèn)亦題與英第二橋節(jié)相岔比，勒有以冤下幾棵點(diǎn)不段同：系統(tǒng)步是時(shí)辜不變牢的，辣性能催指標(biāo)將的權(quán)柔矩陣導(dǎo)為常水值矩諸陣。2.端時(shí)刻。在前節(jié)討論已知，即使線性系統(tǒng)是時(shí)不變的，求得的反饋增益矩陣是時(shí)變的，這使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)大為復(fù)雜。終端時(shí)刻取作無(wú)窮大，目的是期望能得到一個(gè)常值反饋增益矩陣。3.終值權(quán)矩陣，即沒(méi)有終端性能指標(biāo)。這是因?yàn)槿藗兛傇陉P(guān)注系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的響應(yīng)，當(dāng)時(shí)，這時(shí)的終值性能指標(biāo)就沒(méi)有多大實(shí)際意義了，并且終端狀態(tài)容許出現(xiàn)任何非零值時(shí)，由于積分限為，都會(huì)引起必須指標(biāo)趨于無(wú)窮。4.要求受控制系統(tǒng)完全可控，以保證最優(yōu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在前節(jié)討論控制區(qū)間為有限時(shí)，即使出現(xiàn)某些狀態(tài)的不可控制情況，其以性能指標(biāo)的影響通?？偸怯邢薜模虼俗顑?yōu)控制仍然可以存在。但是，當(dāng)控制區(qū)間為無(wú)限時(shí)，如果出現(xiàn)狀態(tài)不可控，則不論采取什么控制，都將使性能指標(biāo)趨于無(wú)窮大，也就無(wú)法比較各種控制的優(yōu)劣了。在注己意到誤以上逗幾點(diǎn)帝差別芳后，祖就可甜按照屑前節(jié)艘所述危方法曉來(lái)求舒解最防優(yōu)控費(fèi)制了談，可截以得遮到相茂似的越結(jié)果伏如下牽：最優(yōu)控制存在并唯一，其形式為(10-27)為黎長(zhǎng)提微分方程（10-21）之解，但因?yàn)檫@時(shí)，其邊界條件應(yīng)為：(10-28)性能指標(biāo)的最小值為(10-29)下面，著重討論一個(gè)黎卡提微分方程解的性質(zhì)。一般情況下，曲線的形狀大致如圖10-2所示。可能看到，曲線具有以下性質(zhì)：圖10-2曲線大致形狀2.在接近終端時(shí)變化比較劇烈。3.但在遠(yuǎn)離終端時(shí)，慢慢趨于某個(gè)常值。1.時(shí)，。由此，可以把曲線看作以作為起始時(shí)刻，作為起始值，逆時(shí)間方向進(jìn)行的一個(gè)過(guò)程。當(dāng)離終端時(shí)刻足夠遠(yuǎn)時(shí)，這個(gè)過(guò)程已經(jīng)逐漸衰減并趨于其。由于的過(guò)渡過(guò)程存在于靠近終端區(qū)域，因此最優(yōu)系統(tǒng)的有限控制區(qū)間總是遠(yuǎn)離終端的，從而實(shí)際可以采用穩(wěn)態(tài)值，即。這里顯然滿足時(shí)的黎卡提微分方程(10-30)上式稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。這是一個(gè)非線性代數(shù)方程，求解式（10-30）可得穩(wěn)態(tài)值。這了保證最優(yōu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須是正定的（證明略）。這樣，得到了所期望的結(jié)果，即：最優(yōu)控制為狀態(tài)線性反饋，并且反饋增益為常值。由此可以構(gòu)成線性時(shí)不變的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使結(jié)構(gòu)大為簡(jiǎn)化，這一點(diǎn)在工程實(shí)現(xiàn)上具有很大實(shí)用意義。閉環(huán)最優(yōu)控制的結(jié)構(gòu)圖如圖10-3所示。圖10-3最優(yōu)控制的結(jié)構(gòu)圖例10-2設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為不受約束，性能指標(biāo)為：尋求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。解:本例的有關(guān)矩陣為：可見及矩陣均為正定的，并因此系統(tǒng)可控，故存在唯一的最優(yōu)控制。首先由黎卡提代數(shù)方程求解上式給出方程：由此解得：為了保證的正定性要求，最后解得代入，可得第三俗節(jié)富線慮線連器續(xù)系缸統(tǒng)輸陷出調(diào)躁節(jié)器昆問(wèn)題設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：(10-31)式中為正半定矩陣，為正定矩陣，要求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。不受約束，固定，性能指標(biāo)為：(10-32)這類問(wèn)題可以首先把它轉(zhuǎn)化成等效的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，然后利用第三節(jié)的結(jié)果來(lái)求最優(yōu)控制規(guī)律。將代入性能指標(biāo)，得：(10-33)與狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題相比，可以發(fā)現(xiàn)其唯一差別是：在指標(biāo)函數(shù)中的權(quán)函數(shù)有了變換，即由分別替換了及。因此，只要這種變換成立，則狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題的所有結(jié)果在這里都能適用。在狀態(tài)調(diào)節(jié)器的討論中已知，為使最優(yōu)控制存在，要求權(quán)矩陣，對(duì)稱并為正半定的。對(duì)稱并為正定的。目前情況下，陣未變，因此為使最優(yōu)控制存在，相應(yīng)地要求矩陣為對(duì)稱并為正半定的，這就是變換成立的條件。為此，我們引入以下定理。定理：如果及為正半定的，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)（8－31）為完全可觀測(cè)時(shí)，矩陣是正半定的。證明：如果系統(tǒng)完全可觀測(cè)，則滿足即以上矩陣包含個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。于是，即任一狀態(tài)向量唯一地與輸出向量相對(duì)應(yīng)。已知為正半定的，則，將代入，故，該式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)為完全可觀測(cè)時(shí)，對(duì)任何均成立，由此可知，亦是正半定的。同理可證得亦是正半定的。利用虛狀態(tài)嗓調(diào)節(jié)蘭器問(wèn)螺題的蠟結(jié)果晝得出績(jī)的輸晨出調(diào)儀節(jié)器繞問(wèn)題巧的結(jié)馳論如蔥下：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是完全可觀測(cè)時(shí)，則存在唯一的最優(yōu)控制為：(10-34)其中，滿足(10-35)(10-36)幾點(diǎn)賞說(shuō)明廉：⑴輸出調(diào)節(jié)呂的最優(yōu)控制規(guī)律，并不是輸出量的線性反饋，而仍是狀態(tài)的線性反饋，此點(diǎn)反映了一個(gè)本質(zhì)問(wèn)題，即構(gòu)成最優(yōu)控制需要的是全部狀態(tài)信息，輸出量?jī)H僅反映了狀態(tài)各分量的線性組合，但是它無(wú)法提供各個(gè)狀態(tài)分量全部信息，因此從原理上講，僅由輸出反饋時(shí)，沒(méi)有充分利用全部信息，從而不能構(gòu)成最優(yōu)控制。⑵當(dāng)并系統(tǒng)為定常時(shí)的輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題，只要系統(tǒng)是完全可控并可觀的，可以類似地利用時(shí)的定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)果，即：最優(yōu)控制存在并唯一，其形式為：為以下黎卡提代數(shù)方程正定解；最小性能指標(biāo)為：(10-37)例10-3設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不受約束，性能指標(biāo)為：要求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。解:顯然，系統(tǒng)是可控及可觀測(cè)的。并，滿足正定要求。將以上系統(tǒng)數(shù)代黎卡提代數(shù)方程：解得：為保證的正定性，取最后得最優(yōu)控制為：第四記節(jié)晉線性案連續(xù)狡系統(tǒng)囑跟蹤龍器問(wèn)底題設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：(10-38)(10-39)系統(tǒng)完全可觀測(cè)，理想輸出為，與同維數(shù)。不受約束，固定，性能指標(biāo)為要求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為最小。(10-40)跟蹤器的任務(wù)是消耗不大的控制能量的情況下，能使準(zhǔn)確地跟蹤。則得辱正則碰方程筒為：我們用極小值原理來(lái)求解。首先建立哈密爾頓函數(shù)(10-41)其邊界條件為：及橫截條件為：(10-44)(10-42)(10-43)由于不受約束，控制方程成立(10-45)由此得：(10-46)同樣，我們根據(jù)正則方程為線性方程及終端條件與及成線性關(guān)系，假設(shè)這里，是與有關(guān)的未知函數(shù)。(10-47)對(duì)比式（10-44）可知(10-48)(10-49)對(duì)式（10-47）求導(dǎo)，得(10-50)將式（10-43）和式（10-47）代入式（10-50），最后得：(10-51)將式（10-42）及(10-52)代入式（10-51），最后整理得(10-53)上式應(yīng)對(duì)任何時(shí)刻、任何狀態(tài)及成立，故等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)應(yīng)相等，由此可得：(10-54)(10-55)其邊界條件為：(10-56)(10-57)下面，對(duì)式（10-54）和式（10-55）作一些討論。式（10-54）與輸出調(diào)節(jié)器中所得的黎卡提微分方程完全一樣。式（10-55）是以作為輸入的一階線性微分方程。由于其邊界條件是終端值，需要逆時(shí)間方向求角，又因它為非齊次方程，因此要求預(yù)先知道的全部信息。但是，在很多實(shí)際工程問(wèn)題中，這往往是做不到的，這是一個(gè)過(guò)于苛刻的要求，正由于這一點(diǎn)，跟蹤器的應(yīng)用范圍受到了限制。由式（10-54）、式（10-55）解得及，代入式（10-52），即可求得最優(yōu)控制，它包括了兩部分，一部分為狀態(tài)的線性函數(shù)，它與輸出調(diào)節(jié)器中完全一樣。另一部分則為的線性函數(shù)，它由給定的所形成。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)理想輸出為常值、終端時(shí)刻極大但不等于無(wú)窮大時(shí)，可以導(dǎo)出一個(gè)近似的最優(yōu)控制規(guī)律，它是有很大的實(shí)用意義。雖然這個(gè)近似規(guī)律對(duì)于終端時(shí)刻等于無(wú)窮大時(shí)在理論上并不成立。但工程應(yīng)用上已足夠精確。下面，不作推導(dǎo)地給出結(jié)果如下：系統(tǒng)完全可以控并完全可觀測(cè)設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為(10-58)(10-59)理想輸出足夠大，性能指標(biāo)為(10-60)則其最優(yōu)控制存在唯一，其形式為(10-61)其中滿足(10-62)滿足當(dāng)足夠大時(shí)的時(shí)不變跟蹤器結(jié)構(gòu)圖如圖10-4所示。(10-63)例10-4設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為系統(tǒng)理想輸出為不受約束，足夠大，性能指標(biāo)為要求最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)為