華中師范大學微分幾何試題答案

師范大學學年二學期期考試（卷）答案課程名稱微分何

課編號任課師型

空

計

證

應

總分10701010100得得

評人

一填空題：共5，每題2分共分．曲線伏雷內(nèi)公式為2．設曲的參數(shù)表示為r(uvEGF

，則|ruv

用一基本量表示為3．曲面的斯方程為RLLLLmijkijmj4．曲面的科達齊方程為ij

ikj

l

()ikljijlk5．第二類克氏符號ij

l

(

ilj

jli

ij

)得

評人

二計算題：共3，70）1．圓柱螺線的參數(shù)表示為rtt,t)

。算它在點的切線、密切平面、法平面方程以及在任意點處的曲率和撓率。（35分）解：r(0),r

,r

，所以切線：

Y0

，即

法平面：(

，Y

YZ密切平：11

，即r

,0}rt

。|r|

2,r

ttr

|

，2．算拋面xy2的第一基本形式第二基本形式、高斯率、平均率、臍點（35）解：rx,

2

y

2

，{1,0,,r{0,1,yxy

，所以有rxx

21y2

，r

，

21x2在點有II

，由此得y

，即唯一的臍點是原點。得

評人

三證明（共1題，若曲的兩族漸近交于一定，則主率之比常數(shù)。證明：取漸進網(wǎng)為曲紋標網(wǎng)，則v曲線與曲線夾為常數(shù)，且v

曲方向的法曲率為零。根歐拉公式cossin22

得分

評人

四應用題：（共1題，）用高-波涅理明極小曲上不存在簡單閉測地線。解：1kk由于測地線上g由高斯-波涅公式有

。矛盾師范大學學年二學期期考試（卷）課名稱微幾何

課編號任課師題

敘

填

計

證

總分10303030100得得

評人

一敘述題：共4，每題5分共分1．高斯定理：斯曲率是內(nèi)蘊量，或K1212

/2．斯-涅公式：

i

其中是i

的第i

個

i內(nèi)的角，角的度．i得

評人

二填空題：共5，每空6分共分3．設曲線xt,

t

sint,

t

，當

時切線方程為。y4．設曲面的參數(shù)表示為(u,v2。EG

，則|u

|用第基本量示為22666333226663335．曲線sint,yt,t

在原點的向量為(0,,)22

，主法向量為,,)3

、副向量為)333

。得分人三、計算：（共，每題分共）6．圓螺線的參表示為rcost,sint,bt。計算它的曲率和率。解tcosb

，rsin,0)

，rt,0)

，|ra2

2，r

absina

2

，|r

|

b24．所以有

aa

，．▌a7．算正面rcosvuv,)

的高斯曲率、平均曲率。解,sinvu

，rsinv,ua)v

，r(0,0,0)

，rv,cosv,0)

，rcos,sinv

，ijkrcosvav,u)sinvv

，

r|rr|

asinv,,22

，ru

，F(xiàn)ru

，Grvv

，r

，Mruv

2

，r

，grudvuvugrudvuvuKEGF2(2

)

，分人四、證明：（共，每題分共）8證如果測地線是近線，則它必是直線。如果測地線是曲率線，則它必定是平面曲線。明由如果曲線是測地線（）且是漸近線ng（，則，所以曲線直線。n（由伏雷內(nèi)公式有β于線是測地，有β綜合這個等式有曲線是曲率線，所以是變換即中主曲率。再由變換的義(rrvuvuvuv▌

，所以。9．明球racosuav,asinu)

上線的地曲為us

vs

，其中曲線與球面上線（-曲線）的夾角。明線是曲線，以曲線與-曲線的夾角。直接計算得，，22。為rrrrrvsincosvs|r||r|EGuv

，另方面，由鏈法有r。較這兩得sdd

v

，E。d代入劉維公式得師范大學學年二學期期考試（卷）答案課程名稱微幾何

課編號任課師、周振榮題型

簡述

填空

計算

證明

總分分分得分評閱人

一簡述題：共3，每題5分共分1．什么叫內(nèi)蘊量請舉兩個內(nèi)蘊量的例。答由第一基本形式?jīng)Q定的量叫內(nèi)蘊量。如高斯曲率、曲面區(qū)域的面積。2．請敘述面的基定理．答給定兩個二次型Iuij

ij

和IIij

ij

，中。如果

ijij

i,j與L滿足高、科達齊方程則存在曲面S:r(u,v)ij

，得第基本式是I，第二基本形式是II；果忽略空間位置差別，樣的曲面是唯一的。3．第二基本形式II

嗎什么答II

。是因為r

，邊微得r

。再由二本形式的義即得。得分評閱人

二填空題：共4，每空5分共分r3(r2r3(r24．有曲線xt,tt,t

，則當時切線程為xyz

。5．設曲面:r(u,)的第一基形式為Iusinh2dv2，則其上的曲線u從到的弧長為sinhv|。（這里t112

e

t

2

）6．設曲面:r(u,)在某點處的一基量為F，第二基本量為,MN，曲面該點方向)2)的法曲率為kn

a5

。7．設曲面:r(u,)在某點處的二基量為N則曲面在該點的漸方向為)(1:。分人三、計算：（共，每題分共）8．求曲線r(t)coshat)

的曲率撓率，中cosht

et2

，t

e

t

2

。解參數(shù)曲率式)

r

和撓率式)

r

以及有|

|

，|

|

a2cosht

，r

▌

2，9．算拋物面xy2的斯曲率和平均曲率．1Gug1Gug解面的數(shù)表為x2y2)，則r2xx

，r2y)y

，rxx

，rr(0,0,0)

，r(0，ijkr0xx,,1)1

，n

rrxy|rr|xy

(y42

，rxx

，rxyx

，ry2，rxx

242y

，

，Nryy

4

2

2

2

，K

LNEG

44y222))x

4y

，F(xiàn)MEGF2

4x2yxy

．．求位于正螺面rucosuav上的圓螺線x,ysinvzav00

的測曲率。解F所以正交網(wǎng)。圓柱螺是曲線由劉爾定有。2直接計得G22，所以u20

。得分人、證明題：（共2題每10分，共20分）11．求證直紋面的高斯曲率等號成立的充要條件是直紋面展。明的參數(shù)示為r(u)b(u)。由此得ru

b

，r(u)v

，r，n

a

F2

，L

(F

，

(EGF2

，。所以K

(b(EGF2)

，等式成立的充條件是(b，即曲面是可展曲面。12．設有曲面rr)，其單位法量是，高斯曲率是K證明rruv

。明n是切向量，所以nrr。uvuvu設nruuv

。兩邊與rr作內(nèi)積得uvnr)rr)r)uvuuv由拉格朗公式得。

。師范大學學年二學期期考試（卷）答案課程名稱微幾何

課編號任課師榮題

簡

填

計

證明分值204520100得分得分人一、簡述題：（共3題，每題分，15）1．什么叫內(nèi)蘊量請舉兩個內(nèi)蘊量的例。答由第基本形式?jīng)Q定的量叫內(nèi)蘊。如高斯曲率、曲區(qū)域的面積。2．請敘述曲線的基本定理．答給兩個函數(shù)k(其中k，則在曲:r(s)

，使得其曲率是k

，撓是如果忽略空間的位置差別，這樣的曲線是一。3．敘述第二基本形式的定義。答IILdu

2

MdudvNdv

2，中rrruv

。得分人二填空題：共4，每空5分共）4．設有曲線

t

cost

t

sint,

t

，則當t

時切線方程y

。5．設曲面:r(u,)

的一基形式Iu2dv2，則上的曲線u

從v1

到v2

的長為|sinhsinhv|。（這里t12

e2

）6．設曲面:r(u,)

在點處第一基本量為F

，二基本量L,M

，曲面該點方向(d(1:

的曲率為kn

a5

。7．設曲面:rr(uv某點處第一類本量為，且曲面在該點切向量r,r相互行，則F在該點等于。u得分人三、計算：（共，每題分共）8．螺線的參表示為costasint,)。計算它的曲率和撓率。解tcosb

，r

sint,0)

，rt,0)

，|ra2，r

absina2)

，|r

|

b

2

4．所以有

aa

，．▌a9．算拋物面xy2的斯曲率和平均曲率．解面的參數(shù)示為r2y，r2y)，r2xyx

2

，則rxx

，rr(0,0,0)

，r2)，yyijkrr0,y01

，n

rrxy|rr|xy

(y42

，rxx

，rxyx

，ryy

2，Lr

4

2

2

2

，0xy

，1Gug1GugNryy

24y2

，K

LNEG

44y222))x

4y

，F(xiàn)MEGF2

4x2yxy

．．求位于正螺面rucosvuav上的圓螺線xv,ysinzav00

的測曲率。解F所以正交網(wǎng)。圓柱螺是曲線由劉爾定有。2直接計得G22，所以u0

2

。得分人四、證明題：（共2，每題10分共20分）11．求證直紋面的高斯曲率K，等號成立的充要條件是直紋面可展。證直紋面的參數(shù)表示為r(bu)

。由此得ru

b

，r(u)v

，r

br，vv

EGF2

，L

(

a

F

，M

EGF2

，。所以所以所以KEG

(b(2

)

，等式成立的充條件是(b

，即曲面是可曲面。12．設有曲面rru)，其單位法量是，高斯曲率是K。證明rruv

。明n是切向量，所以nrr。uvuvu設nruuv

。兩邊與rr作內(nèi)積得uvnr)rr)r)uvuuv由拉格朗公式得。

。得分人四、證明題：（共2，每題10分共20分）11．求證直紋面的高斯曲率K，等號成立的充要條件是直紋面可展。明的參數(shù)表示為r(u)(u)