二元選擇模型

二元選擇模型1第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

在實際中，還會經(jīng)常遇到因變量受到某種限制的情況，這種情況下，取得的樣本數(shù)據(jù)來自總體的一個子集，可能不能完全反映總體。這時需要建立的經(jīng)濟(jì)計量模型稱為受限因變量模型（limiteddependentvariablemodel)。這兩類模型經(jīng)常用于調(diào)查數(shù)據(jù)的分析中。2第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五§13.1二元選擇模型

在離散選擇模型中，最簡單的情形是在兩個可供選擇的方案中選擇其一，此時被解釋變量只取兩個值，稱為二元選擇模型（binarychoicemodel）。在實際生活中，我們經(jīng)常遇到二元選擇問題。例如，在買車與不買車的選擇中，買車記為1，不買記為0。是否買車與兩類因素有關(guān)系：一類是車本身所具有的屬性，如價格、型號等；另一類是決策者所具有的屬性如收入水平、對車的偏好程度等。如果我們要研究是否買車與收入之間的關(guān)系，即研究具有某一收入水平的個體買車的可能性。因此，二元選擇模型的目的是研究具有給定特征的個體作某種而不作另一種選擇的概率。

3第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

為了深刻地理解二元選擇模型，首先從最簡單的線性概率模型開始討論。線性概率模型的回歸形式為：

（7.1.1）其中：N是樣本容量；k是解釋變量個數(shù)；xj為第j個個體特征的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽車的價格；x3表示消費(fèi)者的偏好等。設(shè)yi表示取值為0和1的離散型隨機(jī)變量：

式（7.1.1）中ui為相互獨(dú)立且均值為0的隨機(jī)擾動項。1、

線性概率模型及二元選擇模型的形式

4第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五令pi=P(yi=1)，那么

1-pi=P(yi=0)，于是（7.1.2）又因為E(ui)

=0，所以E(yi)

=xi，xi=(x1i,

x2i,…,xki),

=(1

,

2,…,k)，從而有下面的等式：（7.1.3）

5第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五式(7.1.3)只有當(dāng)xi的取值在(0,1)之間時才成立，否則就會產(chǎn)生矛盾，而在實際應(yīng)用時很可能超出這個范圍。因此，線性概率模型常常寫成下面的形式：

(7.1.4)此時就可以把因變量看成是一個概率。那么擾動項的方差為：

(7.1.5)或

(7.1.6)

6第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

由此可以看出，誤差項具有異方差性。異方差性使得參數(shù)估計不再是有效的，修正異方差的一個方法就是使用加權(quán)最小二乘估計。但是加權(quán)最小二乘法無法保證預(yù)測值?在(0,1)之內(nèi)，這是線性概率模型一個嚴(yán)重的弱點。由于上述問題，我們考慮對線性概率模型進(jìn)行一些變換，由此得到下面要討論的模型。假設(shè)有一個未被觀察到的潛在變量yi*，它與xi之間具有線性關(guān)系，即

(7.1.7)其中：ui*是擾動項。yi和yi*的關(guān)系如下：

(7.1.8)7第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

yi*大于臨界值0時，yi=1；小于等于0時，yi=0。這里把臨界值選為0，但事實上只要xi包含有常數(shù)項，臨界值的選擇就是無關(guān)的，所以不妨設(shè)為0。這樣

(7.1.9)其中：F是ui*的分布函數(shù)，要求它是一個連續(xù)函數(shù)，并且是單調(diào)遞增的。因此，原始的回歸模型可以看成如下的一個回歸模型：

(7.1.10)即yi關(guān)于它的條件均值的一個回歸。8第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

分布函數(shù)的類型決定了二元選擇模型的類型，根據(jù)分布函數(shù)F的不同，二元選擇模型可以有不同的類型，常用的二元選擇模型如表7.1所示：

表7.1常用的二元選擇模型

ui*對應(yīng)的分布分布函數(shù)F相應(yīng)的二元選擇模型標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Probit模型邏輯分布Logit模型極值分布Extreme模型9第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五二元選擇模型一般采用極大似然估計。似然函數(shù)為

(7.1.11)即

(7.1.12)

對數(shù)似然函數(shù)為

(7.1.13)13.2二元選擇模型的估計問題10第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五對數(shù)似然函數(shù)的一階條件為

(7.1.14)其中：fi表示概率密度函數(shù)。那么如果已知分布函數(shù)和密度函數(shù)的表達(dá)式及樣本值，求解該方程組，就可以得到參數(shù)的極大似然估計量。例如，將上述3種分布函數(shù)和密度函數(shù)代入式(7.1.14)就可以得到3種模型的參數(shù)極大似然估計。但是式(7.1.14)通常是非線性的，需用迭代法進(jìn)行求解。二元選擇模型中估計的系數(shù)不能被解釋成對因變量的邊際影響，只能從符號上判斷。如果為正，表明解釋變量越大，因變量取1的概率越大；反之，如果系數(shù)為負(fù)，表明相應(yīng)的概率將越小。

11第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

例13.1二元選擇模型實例

考慮Greene給出的斯佩克特和馬澤歐（1980）的例子，在例子中分析了某種教學(xué)方法對成績的有效性。因變量（GRADE）代表在接受新教學(xué)方法后成績是否改善，如果改善為1，未改善為0。解釋變量（PSI）代表是否接受新教學(xué)方法，如果接受為1，不接受為0。還有對新教學(xué)方法量度的其他解釋變量：平均分?jǐn)?shù)（GPA）和測驗得分（TUCE），來分析新的教學(xué)方法的效果。12第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

（1）模型的估計

估計二元選擇模型，從EquationSpecification對話框中，選擇Binary估計方法。在二元模型的設(shè)定中分為兩部分。首先，在EquationSpecification區(qū)域中，鍵入二元因變量的名字，隨后鍵入一列回歸項。由于二元變量估計只支持列表形式的設(shè)定，所以不能輸入公式。然后，在Binaryestimationmethod中選擇Probit，Logit，Extremevalue選擇三種估計方法的一種。以例7.1為例，對話框如圖7.2所示。13第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五圖7.2二元選擇模型估計對話框14第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

例7.1的估計輸出結(jié)果如下：15第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

參數(shù)估計結(jié)果的上半部分包含與一般的回歸結(jié)果類似的基本信息，標(biāo)題包含關(guān)于估計方法（ML表示極大似然估計）和估計中所使用的樣本的基本信息，也包括達(dá)到收斂要求的迭代次數(shù)。和計算系數(shù)協(xié)方差矩陣所使用方法的信息。在其下面顯示的是系數(shù)的估計、漸近的標(biāo)準(zhǔn)誤差、z-統(tǒng)計量和相應(yīng)的概率值及各種有關(guān)統(tǒng)計量。16第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五在回歸結(jié)果中還提供幾種似然函數(shù)：①loglikelihood是對數(shù)似然函數(shù)的最大值L(b)，b是未知參數(shù)的估計值。②Avg.loglikelihood是用觀察值的個數(shù)N去除以對數(shù)似然函數(shù)L(b)，即對數(shù)似然函數(shù)的平均值。③Restr.Loglikelihood是除了常數(shù)以外所有系數(shù)被限制為0時的極大似然函數(shù)L(b)。④LR統(tǒng)計量檢驗除了常數(shù)以外所有系數(shù)都是0的假設(shè)，這類似于線性回歸模型中的統(tǒng)計量，測試模型整體的顯著性。圓括號中的數(shù)字表示自由度，它是該測試下約束變量的個數(shù)。17第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五⑤Probability（LRstat）是LR檢驗統(tǒng)計量的P值。在零假設(shè)下，LR檢驗統(tǒng)計量近似服從于自由度等于檢驗下約束變量的個數(shù)的2分布。⑥McFaddenR-squared是計算似然比率指標(biāo)，正像它的名字所表示的，它同線性回歸模型中的R2是類似的。它具有總是介于0和1之間的性質(zhì)。18第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

利用式(7.1.10)，分布函數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Probit模型，例7.1計算結(jié)果為(7.1.15)z=(-2.93)(2.34)(0.62)(2.39)

利用式(7.1.15)的Probit模型的系數(shù)，本例按如下公式給出新教學(xué)法對學(xué)習(xí)成績影響的概率，當(dāng)PSI=0時：

(7.1.19)

當(dāng)PSI=1時：

(7.1.20)

式中測驗得分TUCE取均值(21.938)，平均分?jǐn)?shù)GPA是按從小到大重新排序后的序列。

19第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五圖7.1新教學(xué)法對學(xué)習(xí)成績影響的概率20第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

（2）估計選項

因為我們是用迭代法求極大似然函數(shù)的最大值，所以O(shè)ption選項可以從估計選項中設(shè)定估計算法與迭代限制。單擊Options按鈕，打開對話框如圖7.3所示。圖7.3Options對話框21第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五

Option對話框有以下幾項設(shè)置：①穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差

(RobustStandardErrors)對二元因變量模型而言，EViews允許使用準(zhǔn)-極大似然函數(shù)（Huber/White）或廣義的線性模型（GLM）方法估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。察看RobustCovariance對話框，并從兩種方法中選擇一種。②初始值

EViews的默認(rèn)值是使用經(jīng)驗運(yùn)算法則而選擇出來的，適用于二元選擇模型的每一種類型。③

估計法則

在Optimizationalgorithm一欄中選擇估計的運(yùn)算法則。默認(rèn)地，EViews使用quadratichill-climbing方法得到參數(shù)估計。這種運(yùn)算法則使用對數(shù)似然分析二次導(dǎo)數(shù)的矩陣來形成迭代和計算估計的系數(shù)協(xié)方差矩陣。還有另外兩種不同的估計法則，Newton-Raphson也使用二次導(dǎo)數(shù)，BHHH使用一次導(dǎo)數(shù)，既確定迭代更新，又確定協(xié)方差矩陣估計。

22第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期五（3）預(yù)測從方程工具欄選擇Procs/Forecast（FittedProbability/Index），然后單擊想要預(yù)測的對象。既可以計算擬合概率，，也可以計算指標(biāo)的擬合值。像其他方法一樣，可以選擇預(yù)測樣本，顯示預(yù)測圖。如果解釋變量向量xt包括二元因變量yt的滯后值，選擇Dynamic選項預(yù)測，EViews使用擬合值得到預(yù)測值；而選擇Static選項，將使用實際的（滯后的）yt-1