大學高等數(shù)學第一章函數(shù)(模擬題精講)

第

函

數(shù)

函的念性絕值與等（

a0

，

b0

）（1）

xxxxyxyxy（2）

（調(diào)和平均值幾何平均值算均值）一般地，

n111

n

x1

xn

x1

x2

n

xnx1

x2

xn（3）

max

ababbab；min2222函概與質(zhì)對變量

xD

的每一個確定值，變量某確定規(guī)則f都有且只有一確定與之對應，則稱變量

是變量

x

的函數(shù)，記為

y

xD

。注意：定義域

和對應規(guī)則

f

是函數(shù)相等的兩要素。（1）無關(guān)性

y

D（2）單調(diào)性

12

1

2)1)1

單單

；

)12))12

格單增嚴格單減（3）奇偶性

為軸為注意數(shù)的奇偶性是相對于對區(qū)間而言定域于點稱不/偶函數(shù)。（4）周期性若

，

T0

，則稱為

的周期。（5）有界性若

xD，M，0，則

在有界。常用有界函數(shù)：

1，cosx1,)

；x

，

x

，

；

x

，

，

(,)復函0/8

xx設

y定義域為

f

，

u

的值域為

，且

D

f

Z

（空集yf

為

的復合函數(shù)。反數(shù)

設

y定義域為yf定域為Z

值域為Z值域為D

注意：正反函數(shù)的圖形對稱于直x

；嚴格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；ff1x

xZ

f

；

f1x

f初函由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四運算和有限次復合而成的個析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)?；境醯群瘮?shù)：冪函數(shù)

（為實數(shù)函y（

a0，1

函數(shù)

a

a0

a1

y

cosx

tanx

；反三角函數(shù)

y，xx，.６.分段數(shù)冪指數(shù)分段函數(shù)一般不屬于初等函數(shù)，為一般在其定義域內(nèi)不能用一個解析式表示；冪指函數(shù)

x

一般不屬于初等函數(shù)，因為它無用初等函數(shù)復合而成；但若規(guī)定x0

，則

x

x

e

，是初等函數(shù)。

典例解例

已知不等式

2xx1

，用區(qū)間表示不等式的解集分解不等式應先去掉絕對值符號，由于

，

x1

分別為

2x1

，

x1

的零值點，于是將區(qū)間劃分為

1)，[2

，(1,，再考慮各小區(qū)間x取值范圍及端點，最后綜合得出結(jié)論。112x1x(,)x2(,)22解1

2x1x12x11x

11(,1),1)22x(

2xx1(1,)x2(1,),2,解2

22

20x(,2,1/8

函定域求法解思（1）分式的分母

0

，對數(shù)的真數(shù)

0

，偶次方根下的表達式

0

，反正弦、反余弦號內(nèi)的表達式絕對值

；（2）復合函數(shù)的定義域簡函的義所成不式的。例求函數(shù)的定義域（1）

1x1x2)yarcsin4x3x4

；解

1x141x2)0x20x3x40

51224

(2,4)

4,5（2）已知

的定義域是

0,1

，試求

a)a)的域解

的定義域：

0xa1ax1

aa)

的定義域：

0xa1ax1a)義域：

xa,1aa當

1aa

，

1時，定義域為空集；當1aa，

時，定義域為

a,1a

；a,1a故取交集定義域為函解式求法解思（1）將已知變量湊成與

f()

內(nèi)的中間變量一致的形式，利用數(shù)的無關(guān)特性求解；（2）對f()內(nèi)變量代換，利用無關(guān)特性與原方程聯(lián)立求解。（3

f

的表達式求

的一般方法是令

u

，從中解出

1

將其代入

f

中可得

例

求下列函數(shù)解析式（2）已知

，b,求

；解

令

11代入原式得)，則t2/8

1)x11)sin()xx

11)a2b2x（3）已知

lnx

4

1)

；解111x1)lnxx41)lnx22412

ln

11122

ln

11x

2令

111，則lnln222x2解2將

x

111換成，lnxln(，原相得2x411x1)ln(1)22x11111)x2ln2x422x令

111，則lnln222x2例求下列函數(shù)解析式（1）已知

)

221

，

的定義域為

x0

，且

fex

，求

解

令

ulnx，xe

，

11

，且

f

，則2(x)1x11e1e2(x)2(x)11ex21ex

（

x0

）（2）已知

x1lnx0

，求

解

令

u，xu，

u

u10u

e

x0xx0利定確函數(shù)有特解思（1）若

0，

為奇函數(shù)；3/8

（2若

是

的周期則

f

的周期為

Ta

若

，

分別是以

1

，21

)周期的函數(shù)，則2

的周期為

1

，

2

的最小公倍數(shù)。（3）將函數(shù)取絕對值，由不等的縮放法或求函數(shù)的最值確定函數(shù)的有界性；（4）若

1

且))，)/)22121

，則可確定

單增性。例

設

Fy)FF求

1a

x

，

的偶性解

設

11x1ax1x，g(21aa)ax)ax

由于

Fy)FF，y0，，F(xiàn)0FFF0

F(x)F即

F奇函數(shù)，故

11a

x

為偶函數(shù)。例

設

在

上定義，證明：

可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，且表示法唯一分

若

(

，

(

，則有

，x)，此引入助函數(shù)證設

12122

f(f(故為數(shù)，為函，且

1x)2

f(唯一性：設另有偶函數(shù)

1

及奇函數(shù)

1

使得

1

1

則1111x)((111解得

1

，

1

，即表示法唯一。例（1）

證下函為期數(shù)并其小周x4/8

2222解1由期為2，所求周期為

解2（2）

x3)x32))3y

T解

))x222

)

例11

設

在

(,)

上有定義，證明：（1）若

y圖形關(guān)于直線

a對則a)；（2）若

y圖形關(guān)于直線

x1

，

x2

對稱，則

是周期的偶函數(shù)。分（）若

y的關(guān)于直線

a

對稱點為

與

,y)

，則x2ax，yx)反之，若

，則

y關(guān)線

a

對稱證）必要性：

xR

，有

，則充分性：若

fxR有a)，fafa（2）由題設知

f(1

，

2)，故

ff1f(22)f(x)f11是以2周期的偶函數(shù)例12

判斷下列函數(shù)的有界性（1）

2x2122x22解

由

ab，x2x，2x2x22x215/8

2x211x2x222

2x21322x222例13

設

1

（

0,0

（1）若

是

0,

的單減函數(shù)，則

f(f(（2）若

是

(0,的減函數(shù)，則

f(（3）

a0

）證）由題設知，01，01

xx，，x0,由于

單減，有

，

，則f(（2）由于

x)單減，有，xxxxx

，則f(

，

x)

f(（3）令

xab

，

b，ba

，則例14求函數(shù)的函數(shù)分：分數(shù)的反函數(shù)，要注意不同取值范圍對應原來函數(shù)的值域（2）

y

1213

20x11x2解

當

0x1，

的值域為

1x2y1當

1x2

時，

的值域為y

x3y26/8

故

x

121y1243y21y3

y

12x1x1243x