【教學(xué)】《誘導(dǎo)公式與對稱》示范教學(xué)北師大新課標(biāo)

誘導(dǎo)公式與對稱新知探究對稱美是形式美的美學(xué)法則之一．人的形體是對稱的，鷹、猛虎、雄獅、孔雀、金魚、知了、蝴蝶等等無一不表現(xiàn)出對稱的形態(tài)．人和動物的對稱能給人以健康的美感，若不對稱則給人以不愉快的印象．對稱美源于自然亦道法自然．

新知探究問題1角的終邊也有對稱的現(xiàn)象，它們存在什么美呢？又隱藏著哪些規(guī)律呢？對稱美．新知探究問題2在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α和－α的終邊與單位圓的交點分別為P和P′．請觀察圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？請將你的發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)語言加以描述，同時與同伴交流．這兩個角的終邊OP，OP′關(guān)于x軸對稱．新知探究追問1：這種對稱說明了什么？任意角α與－α的正弦值、余弦值是什么關(guān)系？點P和P′的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反；sin（－α）＝sinα，cos（－α）＝cosα．新知探究追問2：你能判斷正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性嗎？能，因為sin（－α）＝－sinα，即滿足f（－x）＝－f（x），cos（－α）＝cosα，即滿足f（－x）＝f（x），所以，余弦函數(shù)y＝cosα是偶函數(shù)．所以，正弦函數(shù)y＝sinα是奇函數(shù)；新知探究問題3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點為P，當(dāng)點P沿逆（順）時針旋轉(zhuǎn)π弧度至點P′時，點P′是哪個角的終邊與單位圓的交點？點P′就是角α＋π的終邊與單位圓的交點．不難看出，點P′是點P關(guān)于原點的對稱點．新知探究追問1：設(shè)點P的坐標(biāo)為（u，v），請寫出點P′的坐標(biāo)，探究角α與α＋π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系；并交流你探究的結(jié)果．設(shè)點P的坐標(biāo)為（u，v），則點P′的坐標(biāo)為（－u，－v）．因此，它們的橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反．即：sin（α＋π）＝－sinα，cos（α＋π）＝－cosα，sin（α－π）＝－sinα，cos（α－π）＝－cosα．新知探究追問2：如何化簡sin（3π＋α），cos（7π＋α）？由此你能得出什么結(jié)論？sin（3π＋α）＝sin［2π＋（π＋α）］＝sin（π＋α）＝－sinα，由此得sin［（2k＋1）π＋α］＝－sinα，cos［（2k＋1）π＋α］＝－cosα，k∈Z．cos（7π＋α）＝cos（π＋α）＝－cosα．新知探究問題4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點為P，角（π－α）的終邊與單位圓的交點為P′．那么角α與（π－α）的終邊關(guān)于什么對稱？此時點P和點P′的坐標(biāo)有什么關(guān)系？可以得出角α與（π－α）的終邊關(guān)于y軸對稱，點P和點P′的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反．即sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα．新知探究追問1：角（π－α）的誘導(dǎo)公式，還可以怎么推導(dǎo)？這兩個公式也可以由前兩組公式推出：cos（π－α）＝cos（α－π）＝－cosα．sin（π－α）＝－sin（α－π）＝－（－sinα）＝sinα，新知探究追問2：在學(xué)習(xí)上述公式時，如何體會軸對稱，中心對稱的作用？通過軸對稱，中心對稱“看”出角－α，π±α的正（余）函數(shù)的誘導(dǎo)公式．誘導(dǎo)公式新知探究追問3：比較公式兩邊的函數(shù)名稱，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？左、右兩邊的函數(shù)名稱相同．sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosα練習(xí)練習(xí)：P21練習(xí)第1，2題．初步應(yīng)用例1

畫出下列各組中的兩個角的終邊與單位圓的交點，說出它們的對稱關(guān)系．（1）

與

；（2）

與

；（3）

與

；（4）

與

．新知探究追問：根據(jù)上述的對稱關(guān)系，如何求

的值．初步應(yīng)用例2

（1）sin495°·cos（－675°）；解答：（1）sin495°·cos（－675°）＝sin135°·cos315°＝sin（180°－45°）·cos（360°－45°）＝sin45°·cos45°（2）＝sin（135°＋360°）·cos675°初步應(yīng)用例2

（1）sin495°·cos（－675°）；（2）（2）初步應(yīng)用例3

設(shè)k為整數(shù)，化簡：解答：當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k＝2m（m∈Z），則原式＝初步應(yīng)用例3

設(shè)k為整數(shù)，化簡：當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2m＋1（m∈Z），則原式＝綜上可得，原式＝－1．歸納小結(jié)（2）誘導(dǎo)公式的選擇方法是什么？問題5通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你記住了角－α，π±α的正（余）函數(shù)的誘導(dǎo)公式了嗎？

（1）單位圓在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中起了什么作用？（3）公式右邊的正、負(fù)號有規(guī)律嗎？（1）單位圓在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中起了直觀形象的作用，通過單位圓和對稱關(guān)系，我們推導(dǎo)出角－α，π±α的正（余）函數(shù)的誘導(dǎo)公式；

（2）負(fù)化正，大化小，化成銳角再求值；

（3）有，把α看作銳角時，公式左邊函數(shù)值的符號與右邊的正、負(fù)號相同．歸納小結(jié)問題5通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你記住了角－α，π±α的正（余）函數(shù)的誘導(dǎo)公式了嗎？

（4）設(shè)α為任意角，則2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的終邊與α的終邊有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？（4）它們的對應(yīng)關(guān)系如表：相關(guān)角終邊之間的對應(yīng)關(guān)系2kπ＋α與α終邊相同π＋α與α關(guān)于原點對稱－α與α關(guān)于x軸對稱2π－α與α關(guān)于x軸對稱π－α與α關(guān)于y軸對稱作業(yè)布置作業(yè)：教科書P21練習(xí)3，4，P12習(xí)題A6，9（1）（2），B組1．1目標(biāo)檢測又α是第四象限角，不妨設(shè)y＝－3，r＝5，則x＝4，B已知sin（π＋α）＝

，且α是第四象限角，則cos（α－2π）的值是（）A．B．C．D．解析：∵sin（π＋α）＝

，且sin（π＋α）＝－sinα，∴sinα＝

，∴cos（α－2π）＝cosα＝

．2目標(biāo)檢測②③下列三角函數(shù)，其中n∈Z，則函數(shù)值與sin的值相同的是________（只填序號）．①②③④⑤解析：當(dāng)n＝2m時，∴①不同；∴②，③相同；2目標(biāo)檢測②③下列三角函數(shù)，其中n∈Z，則函數(shù)值與sin的值相同的是________（只填序號）．①②③④⑤∴④不同；∴⑤相同．⑤3目標(biāo)檢測1的值為______．4目標(biāo)檢測化簡下列各式．（1）（2）sin（－960°）cos1470°－cos（－240°）sin（－210°）．解答：（1）4目標(biāo)檢測化簡下列各式．（1）（2）sin（－960°）cos1470°－cos（－240°）sin