【教學(xué)】《正切函數(shù)》示范教學(xué)北師大新課標(biāo)

正切函數(shù)“東升西落照蒼穹，影短影長角不同”．隨著太陽高度的變化，地面物體的影子的長度也隨之變化，在這些變化之中蘊(yùn)藏著物體影子長度與光線角度之間的關(guān)系，這個關(guān)系是什么呢？前面我們已經(jīng)研究了正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，那么正切函數(shù)又有什么特定的性質(zhì)呢？新知探究正切函數(shù)新知探究根據(jù)函數(shù)的定義，比值

是x的函數(shù)，稱為x的正切函數(shù)，記作y＝tanx，其定義域為新知探究問題1正切函數(shù)的定義與初中所學(xué)的定義有什么區(qū)別與聯(lián)系？初中所學(xué)是

時的正切函數(shù)，本節(jié)所學(xué)的正切函數(shù)是定義為

，范圍大了．新知探究問題2在平面直角坐標(biāo)系的單位圓中，如何求下列角α的正切函數(shù)值？（1）利用正弦函數(shù)的定義求解；（1）

；（2）（2）利用公式tanα＝

計算．新知探究問題3如圖，在角α終邊上任取一點Q（x，y）（x≠0），請思考，如何求角α的正切函數(shù)值？xyOQ(x,y)α教材例1．新知探究追問：問題3中的角α是任意角，角α是否有可能落在坐標(biāo)軸上？根據(jù)正切函數(shù)公式tanα＝

可知，角α的終邊不能落在y軸，可以落在x軸．新知探究問題4請利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式．tan（－α）＝

＝－tanα，其它依次類推．新知探究正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式tan（π－α）＝－tanα；tan（kπ＋α）＝tanα（k∈Z）；tan（－α）＝－tanα；tan（π＋α）＝tanα；

新知探究追問：前面我們學(xué)習(xí)過π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，并總結(jié)出“奇變偶不變，符號看象限”的記憶口訣．對正切函數(shù)能適用嗎？因為tanα＝

，所以口訣對正切函數(shù)依然適用．新知探究問題5求下列函數(shù)值：教材例3．（1）

；（2）

；（3）

．新知探究問題6請類比畫正弦函數(shù)圖象的方法，畫出正切函數(shù)y＝tanx的圖象．★資源名稱：【數(shù)學(xué)探究】正切函數(shù)的圖象★使用說明：本資源為“正切函數(shù)的圖象”知識探究，通過交互式動畫的方式，運(yùn)用了本資源，可以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加教學(xué)效果，提高教學(xué)效率．注：此圖片為“動畫”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．新知探究追問1：正切函數(shù)y＝tanx是周期函數(shù)嗎？如果是，你準(zhǔn)備選取哪一個周期畫它的圖象？正切函數(shù)y＝tanx是周期函數(shù)，可以選區(qū)間

畫正切函數(shù)的圖象．新知探究追問2：畫正切函數(shù)的圖象，怎么取點？取哪些點？并嘗試用它們畫出正切函數(shù)的簡圖等．可以取關(guān)于原點對稱的特殊點，如新知探究追問3：畫正弦曲線有五個關(guān)鍵點，觀察正切圖象，畫正切函數(shù)有關(guān)鍵點嗎？有，通過圖象的特點，可用“三點兩線法”，這三點是

，（0，0），

，兩線是直線x＝±為漸近線．新知探究追問4：你能描述正切曲線的特征嗎？是間斷的，它沒有對稱軸，只有對稱中心．正切曲線是被互相平行的直線x＝kπ＋

（k∈Z）所隔開的無窮多支曲線組成的，新知探究問題7請觀察正切函數(shù)圖象，說說正切函數(shù)的性質(zhì)．從定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等對函數(shù)圖象特征作出解釋．新知探究追問1：能否說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)？但不能說正切函數(shù)在其整個定義域內(nèi)是增函數(shù)．不能．正切函數(shù)y＝tanx在每段區(qū)間

（k∈Z）上是增函數(shù)，新知探究追問2：正切函數(shù)有最值嗎？因為正切函數(shù)的值域是R，所以正切函數(shù)沒有最值．練習(xí)練習(xí)：教材第63頁第1，2，3題．初步應(yīng)用例1

畫出下列函數(shù)的圖象，并求出定義域、周期和單調(diào)區(qū)間．（1）y＝tan2x；（2）教材例4．初步應(yīng)用追問：畫出函數(shù)

的圖象，并通過圖象討論該函數(shù)的性質(zhì)．值域是R；解答：取點

，（0，1），然后畫圖．xyO函數(shù)

的定義域是周期是π；是非奇非偶函數(shù)；單調(diào)增區(qū)間是初步應(yīng)用例2

比較下列各組函數(shù)值的大?。海?）教材例5．（2）新知探究追問：如何確定函數(shù)y＝tanωx（ω＞0）的周期？類比正（余）弦函數(shù)求周期的方法，T＝

．歸納小結(jié)（2）函數(shù)y＝tanx的周期是多少？y＝｜tanx｜的周期呢？問題8本節(jié)課講解了有關(guān)正切函數(shù)的定義、圖象畫法以及正切函數(shù)的性質(zhì)？（1）正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以簡單記為什么？（3）對于形如y＝Atanωx＋φA，ω，φ為非零常數(shù)的函數(shù)性質(zhì)和圖象的研究，是哪個函數(shù)為基礎(chǔ)的？（1）在記憶時可簡單記為“奇變偶不變，符號看象限”，即k·±α中，如果k為奇數(shù)，則正切變余切，至于符號取決于角k·±α所在的象限．歸納小結(jié)（2）函數(shù)y＝tanx的周期是多少？y＝｜tanx｜的周期呢？問題8本節(jié)課講解了有關(guān)正切函數(shù)的定義、圖象畫法以及正切函數(shù)的性質(zhì)？（1）正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以簡單記為什么？（3）對于形如y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ為非零常數(shù)）的函數(shù)性質(zhì)和圖象的研究，是哪個函數(shù)為基礎(chǔ)的？（2）

y＝tanx的周期是π，y＝｜tanx｜的周期也是π．（3）應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象為基礎(chǔ)，運(yùn)用整體思想和換元法求解．如果ω＜0，一般先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進(jìn)行求解．作業(yè)布置作業(yè)：教科書P62練習(xí)4，5，6P8習(xí)題6，7B2．1目標(biāo)檢測A的值為（）A．B．C．D．解析：2目標(biāo)檢測A函數(shù)

在一個周期內(nèi)的圖象是（）A．B．C．D．解析：當(dāng)

時，

＝0，排除C，D；當(dāng)

時，

，無意義，故排除B；故選A．3目標(biāo)檢測函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為_________________________．解析：由已知由

，得

（k∈Z），所以函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為

（k∈Z）．

（k∈Z）４目標(biāo)檢測設(shè)函數(shù)f（x）＝（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，對稱中心；（2）作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的簡圖．解析：（1）∵ω＝

，∴最小正周期令

（k∈Z），得x＝kπ＋

（k∈Z），∴f（x）的對稱中心是

（k∈Z）．４目標(biāo)檢測設(shè)函數(shù)f（x）＝（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，對稱中心；（2）作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的簡圖．（2）令

，則x＝令

，則x＝令

，則x＝令

，則x＝令