設(shè)計第2章極限問題的解析

第1章緒 1.1簡 微積分有關(guān)知 應(yīng)用求解微積 本章小 第2章極限問題的解析 單變量函數(shù)的極 區(qū)間函數(shù)的極限運 多變量函數(shù)的極 本章小 第3章函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo) 參數(shù)方程的導(dǎo) 多元函數(shù)的偏導(dǎo) 隱函數(shù)的導(dǎo) 多元函數(shù)的Jacobi矩 Hess偏導(dǎo)數(shù)矩 本章小 第4章積分問題的解析 不定積分的推 定積分與無窮積分計 多重積分問題的求 本章小 第5章函數(shù)的級數(shù)展開與級數(shù)求和問題求 單變量Taylor冪級數(shù)展 多變量函數(shù)的Taylor冪級數(shù)展 Fourier級數(shù)展 級數(shù)求和的計 序列求積問 本章小 第6章曲線積分及求 第一類曲線積 曲面積分與語言求 本章小 第7章微積分問題數(shù)學(xué)模型應(yīng)用實例及求 儲油罐的變位識別模 本章總 結(jié) 參考文 致 11.1簡Thethorks公司推出的語言一直是國際科學(xué)界應(yīng)用和影響最廣泛的三大計算機數(shù)學(xué)語言之一，是matrix和labortry兩個詞的組合，意為矩陣工（矩陣，主要面對科學(xué)計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境.從某種角度來說，在純數(shù)學(xué)以外的領(lǐng)域中，語言有著其他兩種計算機數(shù)學(xué)語言themtica和Mple無法比擬的優(yōu)勢和適用面.在很多領(lǐng)域，語言都是科學(xué)研究者首選的計算機數(shù)學(xué)語言，其在高等應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個分支中都有應(yīng)用，包含的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支為微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計以及新的非傳統(tǒng)方法如模糊邏輯與模糊推理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遺傳算法小波分析粗糙集以分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)等.可以.為了簡化涉及數(shù)值運算或繪制圖形方面的程序的編制，的開發(fā)者人CleveMoler及其同事在國家科學(xué)基金的資助下研究開發(fā)調(diào)用LINPACKEISPACKFORTRAN子程序庫，隨著研究的深入，他將這個接口程序改名為.此時的作為一種文化現(xiàn)象開始受到歡迎，并成了應(yīng)用數(shù)學(xué)界的術(shù)語.受到的影響，工程師Little將應(yīng)用到了工程領(lǐng)域并合作開發(fā)出了以C語言編寫與圖形功能為的第二代專業(yè)版.Mathworks公司在1984年正式推出，并繼續(xù)從事的研，經(jīng)過十幾年的發(fā)展和競爭現(xiàn)已逐步風(fēng)靡世界.可靠的數(shù)值運算能是區(qū)別于其他科技應(yīng)用軟件的顯著特點.，的數(shù)值計算功能包括：矩陣的創(chuàng)建和保存、數(shù)值矩陣代數(shù)、乘方分和數(shù)值導(dǎo)數(shù)、用于求積分、優(yōu)化和微分方程的數(shù)值解的功能函數(shù)等.在一代的通用軟件開發(fā)平臺，并為此提供了將源程序編譯為獨立于集成環(huán)境運行的EXE文件，以及轉(zhuǎn)化為C語言源程序的編譯器.高效的數(shù)值計算和符號計算功能可以有效提高用戶進行數(shù)學(xué)計算如今的在圖形與可視化功能方面也發(fā)展迅速.自出現(xiàn)進行標(biāo)注和打印甚至還能進行二維三維的圖形處理.新版本的在原此外，工具包也是的一大特點.中包括數(shù)百個內(nèi)部函存在保證了的開放性除了內(nèi)部函數(shù)所有主包文件和各種構(gòu)造新的工具包，這種開放性也讓廣受歡迎.總體來說，的優(yōu)點在于強大的作圖功能，高度智能化，豐富完善的功能和強大的擴展性正因于此，已經(jīng)成為研究和解決各種具體工程微積分是研究微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，英文名稱是Calculus（拉丁語意為用從微積分稱為一門學(xué)科來說，是在17世紀(jì)，但是積分的思想早在古代就已 ，來填充拋物線的圖形，以求得其面積.這些都是窮盡法的古典例子.在我國， 完全的數(shù)學(xué)證明.微積分的范圍被打打拓寬了.極限不是對微積分基礎(chǔ)的唯一推一點的導(dǎo)數(shù)，可以生成一個新的函數(shù)，叫做原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).引進的常用導(dǎo)數(shù)記號例：y dy2其中dy是上面計算的極限 b面積的代數(shù)解.微積分的基 為af(x)dxF(b)述微積分的科算問題，調(diào)用現(xiàn)有的函數(shù)或自編的函數(shù)，可以直接本章介紹了的發(fā)展、特點和功能，并介紹了微積分的發(fā)展和應(yīng)用，最后介紹了利用求解微積分的必要性.2應(yīng)用語言的符號預(yù)算工具箱，可以很容易地求解極限問題，微分問題，積分問題等微積分基本問題.利用本章介紹的方法讀者可以具備依賴語言及其符號運算工具箱提供的強大函數(shù)直接求解一般微積分運算問假設(shè)已知函數(shù)fx，則極限問題的一般描述L

f

(2-來說，還可以如下定義單邊極限（或稱左右極限）xLx0

f(xL2xx

f

(2-x從左側(cè)趨近于x0限.極限問題在符號運算工具箱中可以使用limit()函數(shù)直接求出該函L

(f,x,x0

%求極 (2-Llimit（fxx0left'或right')

xf，或’right’選項.下面將通過例子演示求解極限的方法2-1

limx(1a)xsinb 利用語言，應(yīng)該首先申明a、b和x為符號變量，然后定義函數(shù)或序列表達式，最后調(diào)用limit()函數(shù)求出給定函數(shù)的極限，得出的極限為 xa1 x1 xsin

ex3. 利用語言的limit()函數(shù)，可以容易地求出單邊極限為syms用下面的語句還可以繪制出（-0.1,0.1）holdon;可見，對這個例子來說，即使使用limit（f,x,0)回顧原始問題，其中采用x0若關(guān)于xa,函數(shù)f(t)的左右極限相同，則該點稱為第一類間斷點，否則2-3試分別求出tant函數(shù)關(guān)于2 由下面命令可以分別求出函數(shù)的左右極限，分別為L1和L2symst;3n2sin3n2sin n解序列極限的求解方法與函數(shù)極限完全一致：先符號變量，然后利用limit()函數(shù)直接求解.由下面的語句可以得出此0.symsn;2-5試求出極限

n

)tann(x

n(x21)

難，可以申明兩個符號變量——n和x，這樣用下面語句可以直接得出問題的限為exx2symsxn;2-6試求出limxn和limxn. 新版的符號運算工具箱由于支持分段函數(shù)，所以可以較好symsxnreal;得出的結(jié)果均為分段函數(shù)，其中L2這兩個極限的結(jié)果可以解讀成（其中L1結(jié)果最末一個條件似乎有誤，應(yīng)該包括x=0,即-1<x<1),x無極限，x

L2,n0,n有些函數(shù)，如sinxx的極限是不存在的，但可以通過MuPAD函數(shù)例2-7假設(shè)a,b>0,試求出f(t)=asin8x2+bcos(2x-2)函數(shù)在x時極限的區(qū)間. 利用底層的MuPAD命令可以解出該極限的區(qū)間為（-a-b,a+b).symsabpositive,syms函數(shù)的描述需要通過底層MuPAD語句來實現(xiàn)，在此編寫了一個接口函數(shù)Functionf=piecewise(varargin),str=[];fori=1:2:length(varargin),catch,error(’Inputargumentsshouldbegiveninpairs.’),end該函數(shù)的調(diào)用格式為fpie(vr1,vr2,...)vr應(yīng)該成對出nd、or和not表示.該函數(shù)使用了try,catchend-1下標(biāo)舍棄它.1.1sign(x),|x|2-

yx,|x|

解首先描述分段函數(shù)，然后繪制該函數(shù)曲線.由于符號運算本身的局限性，分段函數(shù)定義的符號變量不能用ezplot()函數(shù)直接繪制.Symsx;x0=-如果|x|1.1在數(shù)學(xué)上表示成-1.1x1.1，也可以將其理解成x1.1且x1.1，這時相應(yīng)的字符串表示應(yīng)該為’x>=1.1andx<=-1.1’.設(shè)有二元函數(shù)f(x,y)，該函數(shù)的累極限定義為

f(xyL2lim

f(x,

(2-xx0

yy0limit()函數(shù)22-92

e1/(y2x2)

x

1)xa2y2]y

y 由于涉及y，在下應(yīng)該假設(shè)y為正數(shù)，所以本例中的問題y以用下面的語句直接解出，其極限值為ea2symsxsymsyLy

f(x,2-10limxy

xyx2

)x20，一般可以認(rèn)為原函數(shù)的二重極限也為0.xy2、yx2symsxy;L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf),L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)limit()函數(shù)，feval()limit()函數(shù)的嵌套使用方法，并結(jié)合例子介紹3如果函數(shù)和自變量都已知，且均為符號變量，則可以用diff()函數(shù)解出給定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù).diff()f1difffxn)，其中，f為給定函數(shù)，x為自變量，這兩個變量均應(yīng)該為符號型的，nn則將自動求取一階導(dǎo)數(shù)；如果f表達式中只有一個符號變量，還可以省略變量x.例3-1給定函數(shù)f(x) sin ，試求x24x

d4f.解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)問題可以很容易地利用符號運算工具箱語句求解.可以首先申明x為符號變量再用語句描述原函數(shù)然后調(diào)用diff()函數(shù)就能直接得出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).symsx;f(x)

x24x3-(x24x3)ezplot()函數(shù)可以直接繪制出原函數(shù)與得出一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的曲線，如圖holdon;4得出的結(jié)果比較冗長，由LATEXx24x

4(2x4)cos(x24x

(2x4)2sin(x24x

sin(x24x

(2x4)3cos(x24x

(2x4)cos(x24x

(2x4)4sin(x24x

(2x4)2sin(x24x

sin(x24ximple()inx或oxollt(imple(f4o(x))ollt(imple(f)in(x)),則可以得出下面給出的更簡潔的結(jié)果44(diff()面給出令一般可以再10s內(nèi)獲得該函數(shù)的100階導(dǎo)函例3-2試推導(dǎo)函數(shù)F(t)t2f(t)sint的2階導(dǎo)函數(shù)，并得出f(t)et 直接推導(dǎo)出F(t)3symst;d3F(t)

d3f(t)[dt3

d2f

cost

df

sintf(t)cost]t

d2f

df

cost6f(t)sint]

df

sint6f(t)cosf(tet31y(t)2et(t2costt2sint6tcost3cost3sint)13-3H(x)

e4x 3x24x 4x22 語言的diff()函數(shù)可以直接用于已知矩陣函數(shù)H(x)的導(dǎo)數(shù)計算，即對H(x)的每個元素hi,j(x)直接求導(dǎo)，構(gòu)成新的導(dǎo)數(shù)矩陣N(x).symsH=[4*sin(5*x),exp(-4*x^2);3*x^2+4*x+1,sqrt(4*x^2+2)]H(x)

500cosH(x)

512x3e4x224212

(2x21)5/

(2x21)3/2dn若已知參數(shù)方程y=f(t),x=g(t),

可以由遞 求dy

f'g'd2y

f'

d(dy

dtg'

g'

dt

g'dny

dn1ydt(dxx1)

1y'并沒有提供可以直接用于參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)求取的函數(shù)，所以functionIfmod(n,1)~=0,error(’nshouldpositiveinteger,pleasecorrect’)else,ifn==1,result=diff(y,t)/diff(x,t);3-4y

(t

,x

cos(t

,

d3. 由前面給出的函數(shù)調(diào)用格式，可以立即得出所需的高階導(dǎo)數(shù)symst;d3y

t

t

(ct

t

t

t t

t)5的符號運算工具箱中并未提供求取偏導(dǎo)數(shù)的專門函數(shù)，這些偏導(dǎo)數(shù)仍然可以通過diff(函數(shù)直接實現(xiàn).假設(shè)已知二元函數(shù)f(x,y)若想求mnf/(xmynf1=diff(diff(f,x,m),y,n),或3-5zf(xyx22x)ex2y2xy的一階偏導(dǎo)數(shù)，并用 用下面的語句可直接求出z/x與z/symsxz(x,y)ex2y2xy(2x22x3x2y4x2z(x,y)x(x2)(2yx)ex2y2x(3,2),y(2,22[x0,y0]=meshgrid(-3:.2:2,-Surf(x0,y0,z0,30),zlim([-0.3quiver()函數(shù)繪制出引力線，該引力線可以疊印在由comtour()函數(shù)繪制出的等值線上，如圖3所示.其中，引力西安回執(zhí)函數(shù)的詳細信息可以由docquiver命令進一步列出.contour(x0,y0,z0,30),holdon; 4f(x,y,3-6f(xyzsinx2y)ex

由下面的語句申明自變量及函數(shù)，則可以用語句立即得出symsxyF4zexyz

2

yxyx

已知隱函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為f(x1,x2,...,xn)0，則可以通過隱函數(shù)對相關(guān)變 求出xi/xj

f(x1,x2,...,xn)/f(x1,x2,...,xn)/

(3-fxixjdiff()函F1difffxjdifffxi）對二元函數(shù)f(x,y)來說，如果求出了yxF1(xy（，2

F(x, F(x,F2(x,y)

n

(x, (x,Fn(x,y)

(3- 上述命令用語言可以很容易地實現(xiàn)，后面將通過例子演示.此外，上1容易地編寫出隱函數(shù)fnfnyxn1function mod(n,1)~=0,error(’nshouldpositiveinteger,pleasecorrect’)else,F1=-simple(diff(f,x)/diff(f,y));dy=F1;例3-7考慮3-15f(xyx22x)ex2y2xy0， 3yx和x3 symsx可以得出偏導(dǎo)數(shù)為y

F1(x,y)

3x36x24x42x(x2y)(x2)

122下 求x2這些語句可以求出y 3x4F2(x,y)2 -54x9(324(52y2264y(64y4384y3816y2416y(192y4768y3672y23F3(x,y)x33-8x2xyy23 利用下面的語句可以直接求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，另外，由x2xyy23， 上 令可以得F2xy,F x2 其中，使用的subs()命令有時似乎替換得不完全，F(xiàn)41944(x2F4

(x2 多元函數(shù)的Jacobi假設(shè)有nmy1f1(x1,x2,...,xnyf(x,x,...,x ymfm(x1,x2,...,xnyi對xjy1/

y1/

y1/xnJ

/

/

/xnn

(3-mm

/

/

/xn該矩陣又稱為Jacobi的概念.Jacobi矩陣可以由的符號運算工具箱中的jacobian()函數(shù)直接得，其調(diào)用格式為J=jacobian(y,x),其中，x是自變量構(gòu)成的向量，y是由各個函數(shù)n例3-9已知球面坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的變換xrsincos,yrsinsin,zrcos試求出函數(shù)向量[x,y,z]對自變量向量[r,,的Jacobi矩陣解3Jacobisymsrthetaphi;x=r*sin(theta)*cos(phi);J=jacobian([x;y;z],[rthetaphi])可以得出JacobiJsinsin

rcos

rsincos

對一個給定的nf(x1x2xnHess 12f/1

2f/x

2f/xx12nn12nn H

2f/x

2f/

2f/x

(3-2 22f/x 2f/x 2f/x2 n可見，該Hess矩陣實際上就是標(biāo)量函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣.新版hessian()Hess矩陣，調(diào)用格式為H=hessian(f,x),其中向量x[x1,x2,...,xn].早期版本的符號工具箱并未供hessian()H=jacobian(jacobian(f,x),x)直接求解例3-10重新考慮例3-5中給出的二元函數(shù)，試求其Hess矩陣. 下面語句可以直接求取該函數(shù)的Hess矩陣symsx得出的結(jié)果（或早期版本嵌套調(diào)用jacobian()函數(shù)）2 4x2(2x2)(2xy)2x2(2xx2)(2xy)2Hexyxy2x(2x2)(x2y)x2(2xx2)(x2y)(2x2x(2x2)(x2y)x2(2xx2)(x2y)(2xx(x2)(x24xy4y2 偏導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)的Jacobi矩陣以及Hess偏導(dǎo)數(shù)矩陣的算法，并介紹了diff()函數(shù)，diff()函數(shù)的嵌套使用方法，jacobian()函數(shù)以及hessian(f,x)函數(shù)。最后通過4bF(x)f(x)dx,af(x)dx,f(x1,x2,...,xn)dxn

(4-f(被稱為被積函數(shù).第一個積分表達式稱為不定積分，函數(shù)稱為原函數(shù).第二個積分式稱為定積分.第三個積分稱為多重積分.在傳統(tǒng)微積分學(xué)課程中，求解不定積分問題通常需要靈活熟練地掌握和運用各種不同的積分度上取決于用戶的經(jīng)驗和技巧.接下來側(cè)重于介紹基于的積分問題客觀求解方法.int()函數(shù)，可以直接用來求取符號函數(shù)的不定積分.F=in(f,x).f中只有一個變量，則調(diào)用語句中的x可以省略.值得的是，該函數(shù)得出的結(jié)果F(x)是積分原函數(shù)，實際的不定積分應(yīng)該是F(x)+C構(gòu)成的函數(shù)族，其中，C是任意常數(shù).對于此類的函數(shù)，符號工具箱提供的int()函數(shù)可以用計算機代替4-13-1diff()f(x)函數(shù)的一階導(dǎo)解ymsx;y1=diff(y);y0=in(y1)

sinx2(x

sin2(x

4次積分，則可以用下面語句判定正確性.

，(x1)(x原函數(shù)完全一致，故說明對給定的例子來說，得出的結(jié)果是正確的4-2x3

axdx

x(43 43

3x)sin2ax(

3x2

)cos2axC4 用語言的符號運算工具箱可以直接得出下面的化簡結(jié)4symsax;f

(2a4x43cos2ax6a2x2cos2ax4a3x3sin2ax6axsin2ax右側(cè)的表達式也輸入到工作空間，將二者相減并進行化簡，從而得其差為316a4%認(rèn)為題中的等式得證.4-3f(xex22g(xxsinax4ex22的積分問題 首先考慮f(x)ex2/2的不定積分求解.用語言可以給出下面symsx;

/2erf(x

2).殊符號函數(shù)erf(x2xet2dt.0由vpa()函數(shù)求取其具體數(shù)值.再考慮一真正不可積的函數(shù)g(x)xsin(ax4)ex2/2，用語句可以symsax;found解析解不存在如果求出了某個函數(shù)f(x)的不定積分為F(x)+(,b)等于IF(b)-F()..rf(x)分不可直接求解，但需要得出rf(1.5).在語言中仍然可以使用int()函數(shù)來求解定積分或無窮積分問題該函數(shù)的具體調(diào)用格式為I=int(f,x,a,b)，其中，x為自變量，(a,b)為定積分的積分區(qū)間，求解無窮積分時，允許將a、b設(shè)置成-Inf或Inf，如果得出的結(jié)果不是確切的數(shù)值，還可以試著用vpa()函數(shù)得出定積分的解.有時，定積分可以依賴定積分直接求解.如果f(x)的不定積分原函數(shù)為F(x)，則其在(a,b)區(qū)間的定積分可以由F(b)-F(a)求出.4-4f(xex22a=0,b=1.5或時的定解若要求解該問題，需要給出如下的語symsx;I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5),vpa(I1)

I1

/2erf

2/4)

I2

/

2x24-5試求解函數(shù)邊界的定積分問題I(tcost(2x23x1)2dx解:提供的int()函數(shù)還可以求解函數(shù)積分區(qū)域的定積分問題，題的定積分可以由下面的語句直接求解.對本例來說直接使用int()函數(shù)求symsxf=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2;I1=int(f)I(t)

2cost

cost

2e2t

e2t1多重積分問題也可以在語言環(huán)境中直接求解，但需要根據(jù)實際情有解析解，而需要采用數(shù)值方法求解原始的積分問題.之后介紹4-6已知下面的三元函數(shù)F(x,y,z),試求出F(x,y

zexyz

2

22

222

224

2y)解對該函數(shù)進行積分.先對zyx積分兩次，經(jīng)過化簡，則得出結(jié)果為f1ex2yz2sinx2y.symsxyzxxy，仍可以得出一致的結(jié)果4-7試求解三重定積分問題24zex2yz200 用如下的定積分求解語句可以立即計算出所需的三重積symsxy這時得出的結(jié)果為(e21)(ln4Ei(4,其中，EulerEi(z)Ei(z)zett1dt.值解這樣，原始問題的精確數(shù)值解可以由vpa(ans得出，其結(jié)果為 本章通過不定積分，定積分和無窮積分三個方面介紹不定積分的解，介紹了int()函數(shù)的用法，并通過例子具體介紹不同問題的算法.5單變量Taylor如果在x=0點附近進行Taylorf(x)aaxax2...a

(5- 其中，系數(shù)ai可以由下面的求ai

d

f(x),i

該冪級數(shù)展開又稱為Maclaurin級數(shù)，若關(guān)于x=af(x)b1b2(xa)

其中，各個系數(shù)bibi

d

f(x),i

為%關(guān)于x=a點進行k次Taylor以省略.K6項.aa=0的Taylor級數(shù)展開.早期版本的taylor()函數(shù)調(diào)用格式與此不同，為F=taylor(f,x,k,a).下面將通過例子演示Taylor冪級數(shù)展開的方法.5-13-11f(xsinxx24x3Maclaurin9x=2x=ataylor冪 先用下面的語句輸入已知的函數(shù)，這樣就可以調(diào)用taylor()函數(shù)導(dǎo)出其Maclaurin冪級數(shù)展開的前9項為

59 symsx;多變量函數(shù)的Taylorf(xf(x1x2xn的Taylorf(x)

f(a)[(

an

]f

xa1[(

a)

a)]2f

(5-2！

1n1n

n

1[(

a)

a)]kf

1n1n

n

aa1a2an為Taylor冪級數(shù)展開的中心點.Ptaylor(f,[x1,x2,...,xn],[a1,a2,...,an],Order，k)其中，k-1為展開的最高階次，f為原多變量函數(shù)例5-3試求函數(shù)f(x,y)(x22x)ex2y2xy的各種Taylor冪級數(shù)展開. 使用給出的函數(shù)就可以立即得出關(guān)于原點的Taylor冪級數(shù)展開symsx7F(x,y)73

(y

1)x62

(2

y

7(3

2

2y(2

y

(y5

y2424

2y (636

2

現(xiàn)在求取關(guān)于x=1,y=asymsF=taylor(f,[x,y],[1,a],’Order’,3),F(x,y)ea2a1[(a1)(a2)2](x1)2ea2a1(2a1)(a2ea2a1(ay)2[(2aea2a1(ay)(xF(x)1ea2a1 14a24ax2f(x)，x[LL],T=2Lf(xf(KTx，k

f(x)a0

cosnxb

a

Lf(x)cosnxdx,n L

(5-b1Lf(x)sinnxdx,n L Fourier級數(shù)，而anbnFourier系數(shù).x(ab 計算出周期L=(b-a)/2,xxxLa,f(x映射成(-區(qū)間上的函數(shù)，可以對之進行FourierxxLa映射回x數(shù)即可Fourier系數(shù)與級數(shù)的現(xiàn)成函數(shù).其實由上述不難編寫出解析或數(shù)值的Fourier級數(shù)求解函數(shù).其中解析函數(shù)如下Funcion[F,A,B]=fseries(f,x,varargin)ifa+b,f=subs(f,x,x+L+a);B=[];F=A/2;forn=1:pA=[A,an];B=[B,bn];Ifa+b,F=subs(F,x,x-L-a);default_vals()這個函數(shù)后面還將用到.FunctionIfnargout^=length(vals),error(’numberofargumentsmismatch’);Else,nn=length(varargin)+1;fori=nn:nargout,該函數(shù)的調(diào)用格式為[F,A,B]=fseries(f,x,p,a,b),其中，f為給定函數(shù)，x為自變量，p6，a、bx的區(qū)間，可以省略其默認(rèn)值[,]，A,B為Fourier系數(shù)向量，F(xiàn)為展開式.5-4yx(xx2x0,2的Fourier級數(shù)展開 上述給定函數(shù)的Fourier級數(shù)展開可以很自然地用下面的語句得syms12項的Fourierf(x)12sinx3sin2x4sin3x3sin4x

sin5x1sin6x

f(x)

.n1n3sin12Fourier級數(shù)展開對原函數(shù)的擬合情況，可見，ezplot(f,[-pi,3*pi]),holdon,symsum()可以用于已知通項的有窮或無窮級數(shù)求和.該函數(shù)調(diào)用格式為Ssymsumfkkk0knfk為級數(shù)的通項，k為k0和kninf.該函數(shù)nknSk

(5-fk表達式中只含有一個變量，則在函數(shù)調(diào)用時可以省略k量例5-5計算有限項級數(shù)求和S20212223 用數(shù)值計算方法可以由下面語句得出結(jié)果為formatlong;

由于數(shù)值計算中使用了double16以得出的記過不是很精確.symsum()函數(shù)，或至少將2定義為符號量，就可以用sum()函數(shù)求解.對原始問題稍擴展一201項的級數(shù)求和可以用下面的語句精確求出為，0602751算法無法精確做到的sum(sym(2).^[0:200])%symsk;5-6 1 4

7 如果想借助的符號運算工具箱則可以立即得出結(jié)果為syms此級數(shù)求和亦可以用數(shù)值方法求得.假設(shè)求 項的和這時可以0.33333332222165double小數(shù)位. formatlong;s1達到10-6m107時，通項值10-15只有16位，所以計算通項時16位后的數(shù)字加到累加量上就了，這就是數(shù)值5-7J

.n0(2n1)(2x 出結(jié)果.這里給出的求和問題中含有變量x，所以僅靠數(shù)值運算的方式不可能得最簡結(jié)果為2atanh(1/(2x+1))，并給出收斂條件x>0或x<-1.symsnx;Ezplot(2*atanh(1/2*x+1))),hold例5-8試求解級數(shù)與極限綜合問題lim[(11111)

語言的符號運算工箱直接求解.從題中給出的式子可ymum(1/m,1,)由下面的語句求解symsmn;limit(symsum(1/m,m,1,n)-該語句得出的結(jié)果為Euler常數(shù)，其值可以由精確地顯示出來，如vpa(ans,70)命令 lnn樣做前后為無窮大，求極限的結(jié)果將是不定式NaN.5-9

1)sin

2)sin2(1n1)sin(n1)

k解從上面給出的問題可見，級數(shù)的通項為a(1k/n2)sin(k/n2)k且k1,2,n1,S2symsnk;bPfnb

新版的符號運算工具箱提供了求解函數(shù)symprod()直接求取序列求Psymprod(fnna,b). k5-10試求出序列的有限項乘積Pn(13kk 由下面的語句可以立即得出該序列的有限項乘積與無窮乘積symskn;

3)(n

3i))(n

3i)(n

3 ，P n(n 5-11 1

-135

-

nn 這個問題是級數(shù)求和問題，其通 為(1)n[(2k1)/(2k)]，kn0,1,,故由下面的語句可以直接得出原問題的解為S

2/symskn,S=symsum((-1)^n*symprod((2*k-5-12

x/nP n 下面語句可以直接得出原問題的symsn

x為負(fù)整P

/(x

其他，其中為Euler常Taylor冪級數(shù)展開，F(xiàn)ourier級數(shù)展開，級數(shù)求和的計算以及序列求積等幾個方面介紹了函數(shù)級數(shù)問題的求解，并介紹了taylor()函數(shù)symsum()函數(shù)的用法，并通過例子詳細介紹了具體的算法.第6章曲線積分及求I1

f(x,y,

(6-若x、y、z均由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)f()(dx)2((dx)2(dy)2(dz簡記作ds x2y2z2 其中，f(x,yzfP(xyzQ(xyzR(xyzd亦為向量，若曲線可以由參數(shù)方程表示成t的函數(shù)，記作x(t),y(t),z(t)ds dxd dt

(6-則兩個向量的點乘可以由兩個向量直接得出，這樣就可以利用6-1試求出曲線積分

xyx2y2

dx

xyx2y2

dy，lx2y2a2 若想按圓周曲線進行積分，則可以寫出參數(shù)方程(0t2,這樣，用下面的方法可以直接求出曲線積分為symssymsapositive;x=a*cos(t);6-2試求出曲線積分的值(x22xy)dxy22xy)dy，llyx2(1x1) 其實，曲線給出的方程已經(jīng)是關(guān)于x的參數(shù)方程，且x對x的導(dǎo)數(shù)顯然為1，故可以用下面的語句求出曲線積分的值為-14/15symsy=x^2;F=[x^2-2*x*y,y^2-2*x*y];ds=[1;diff(y,x)]; 第一類曲面積I[x,y,I[x,y,f(x,1f2f2(6-其中，xy例6-3試求出SxyzdSS是由四個平面x=0,y=0,z=0x+y+z=a 記這四個平面為S1,S2,S3,S4,則原積分可以由

S1S2S300，所以只需S4S4平面的數(shù)學(xué)表示為z=a-x-yIsymsx

3a5/120symsapositive;給出，則曲面積分可以由下面 求

I[x(u,v),y(u,v),z(u,

EGF2Ex2y2z2,Fx

y

z

，Gx2y2z

u u

例6-4(x2yzy2x=ucosv,y=usinv,z=v的0ua,0v2

其中S為螺旋曲面 由上述可以立即得出積分結(jié)果a2I12(2a(a21)3/2a28

symsusymsapositive;例6-5試求(x2y2ds，其中l(wèi)yxyx2l 應(yīng)該用下面的指令繪制出給定的兩條曲線，如圖4所示.x=0:.0.01:1.2;y1=x;y2=x.^2;plot(x,y1,x,y2),holdon,ii=find(x<=1);yy=[y2(ii),y1(ii(end):-1:1)];symsx;

I3

2

5

第二類曲面積 IdVP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,

(6-S SSzf(x,y給出，被積函數(shù)P,QRdVdydzdxdzdxdy]TIS[P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cos其中，zf(x,y

(6-1f1f2f

-

,cos

f

,cos 1f21f2f 1f2f 1f2f IPfxdxdyQfydxdzA2A2B2CCA2B22

(6-A2A2B2C

,cos

,cosAyuzvzuyvBzuxvxuzv,Cxuyvyuxv

z6-5試求出曲面積分(xyz)dydzSa2b2

1 可以引入?yún)?shù)方程x=asinucosv,y=bsinusinv,z=ccosu,且0u20v2，200CRdudv，RxyzCxuyvyu可以用下面的語句求出所需的曲面積分為2abc3symsusymsabcpositive;面積分四個方面介紹了曲線與曲面積分的求解，并通過例子介紹了如此類問題轉(zhuǎn)化為一般積分的算法，并通過語言的符號運算工具箱求第7章微積分問題數(shù)學(xué)模型應(yīng)用實例及求在本章中，主要以2010高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目A題：儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定問題，來介紹微積分問題的求解在數(shù)學(xué)模背景資料與條1234（端平頭的橢圓圓柱體4.1011cm123儲油罐截面示意圖4問題分我們需要掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用罐體無變位和傾斜角為4.101cm柱體傾斜角為4.10個模型與excel附件表格1求解出差值從而確定罐體變位對罐容表的影響1cm基本假假設(shè)縱向傾斜角符號說S——側(cè)面面積a——橢圓長半軸bH模型的建立于未變位時模