名師高中數(shù)學(xué)人教A版必修總體集中趨勢的估計

1、定義:一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.2、計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟:第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).3、根據(jù)頻率分布直方圖（頻率分布表）計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)：首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計算，其次估計百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得．溫故知新小王去某公司應(yīng)聘.公司經(jīng)理說，我們這里報酬不錯,月平均工資是3000元,技術(shù)員A說，我的工資是1500元,在公司算中等收入，小王感覺待遇不錯，第二天就去上班了.一周后，小王發(fā)現(xiàn)了問題，去找經(jīng)理，“經(jīng)理，你說的不對，我已問過其他技術(shù)員，沒有一個技術(shù)員的工資超過3000元.經(jīng)理說：“沒錯，平均工資確實是每月3000元.不信可看看公司的工資報表.”小王糊涂了，這是怎么回事呢？員工總工程師工程師技術(shù)員A技術(shù)員B技術(shù)員C技術(shù)員D技術(shù)員E技術(shù)員F見習(xí)技術(shù)員G工資90007000280027001500120012001200400下表是該公司月工資報表:經(jīng)理是否忽悠了小王？為什么呢？思考1.什么叫平均數(shù)？有什么意義？定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，計算公式為：意義：代表該組數(shù)據(jù)的平均水平.思考2.什么叫中位數(shù)？有什么意義？定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的。意義：反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢.思考3.什么叫眾數(shù)？有什么意義？定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有，反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢.思考4.什么叫極差？有什么意義？定義：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差。意義：表示該組數(shù)據(jù)的離散程度.√√×舉一反三（1）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9眾數(shù)是：3和8（2）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9眾數(shù)是：3（1）、1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位數(shù)是：5中位數(shù)是：42、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)3、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)4.在一次中學(xué)生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。

解：在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是

最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；

答：17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征，例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量，而不是產(chǎn)量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能會更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等.

在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。下面我們通過具體實例進一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計總體的集中趨勢.思考5.什么叫方差？有什么意義？定義：方差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離，一般用s2表示，計算公式思考5.什么叫方差？有什么意義？定義：方差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離，一般用s2表示，計算公式意義：反應(yīng)了數(shù)據(jù)的離散程度，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.思考5.什么叫方差？有什么意義？定義：方差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離，一般用s2表示，計算公式思考6.什么叫標準差？有什么意義？定義：標準差等于方差的算數(shù)平方根，計算公式：意義：反應(yīng)了數(shù)據(jù)的離散程度，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.例1某公司員工的月工資情況如表所示：月工資/元80005000400020001000800700600500員工/人

1

2

4

6

12

8

20

5

2(1)分別計算該公司員工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).(2)公司經(jīng)理會選取上面哪個數(shù)來代表該公司員工的月工資情況？稅務(wù)官呢？工會領(lǐng)導(dǎo)呢？解：（1）該公司員工的月工資平均數(shù)為即該公司員工月工資的平均數(shù)為1373元.中位數(shù)為800元，眾數(shù)為700元.(2)公司經(jīng)理為了顯示本公司員工的收入高，采用平均數(shù)1373元作為月工資的代表；而稅務(wù)官希望取月工資中位數(shù)800元，以便知道目前的所得稅率對該公司的多數(shù)員工是否有利；工會領(lǐng)導(dǎo)則主張用眾數(shù)700元作為代表，因為每月拿700元的員工數(shù)最多.頻率分布直方圖的關(guān)系頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與

我們以前面學(xué)過的調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，所得到的頻率分布直方圖為例，來研究樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等數(shù)字特征與樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的關(guān)系。0.52.521.543.534.5頻率組距1如圖為100位居民的月均用水量的樣本頻率分布直方圖：思考1：圖中最高的小長方形的含義是什么？由此你是否能得出眾數(shù)是幾？圖中最高的小長方形的含義是樣本數(shù)據(jù)落在[2，2.5）的最多，所以眾數(shù)一定在[2，2.5）內(nèi)，因為在[2，2.5）內(nèi)的數(shù)據(jù)較多，于是通常取該區(qū)間的兩個端點的平均數(shù)作為眾數(shù)，即眾數(shù)是2.25

2.25重要結(jié)論1：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標

我們已經(jīng)會用頻率分布直方圖來求樣本的眾數(shù)。那么如何求中位數(shù)？0.52.521.543.534.5頻率組距1如圖為100位居民的月均用水量的樣本頻率分布直方圖：思考2：根據(jù)中位數(shù)的定義知道：在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，由此你是否能求出中位數(shù)是幾？∵中位數(shù)左邊的數(shù)據(jù)個數(shù)與右邊的數(shù)據(jù)個數(shù)是相等的∴中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值

0.52.521.543.534.5頻率組距10.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四個小長方形的面積和=0.49后四個小矩形的面積和=0.26x=a若令所求的中位數(shù)為a，則直線x=a把整個直方圖的面積平分為二，于是有0.49+（a-2）×0.5=0.5得a=2.022.02重要結(jié)論2：中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標

思考題中位數(shù)一定在最高的小長方形內(nèi)取得嗎？∵最高的小長方形左右兩邊的小長方形的面積和分別都不會達到0.5∴結(jié)論：中位數(shù)一定在最高的小長方形內(nèi)取得，但是不一定是該區(qū)間的兩個端點的平均數(shù)，即有可能比平均數(shù)大，也可能比平均數(shù)小

0.52.521.543.534.5頻率組距10.040.080.150.220.250.140.060.040.02我們已經(jīng)會用頻率分布直方圖來求出了樣本的眾數(shù)和中位數(shù)，那么最后如何求平均數(shù)？思考1：在頻率分布直方圖中,各個組的平均數(shù)如何找？在頻率分布直方圖中,各個組的平均數(shù)用其區(qū)間的中點表示即區(qū)間的兩個端點之和的一半0.250.751.251.752.252.753.253.754.25思考2：各個小組的平均數(shù)與所求的樣本的平均數(shù)有何關(guān)系？即各個小組的平均數(shù)對所求樣本的平均數(shù)的影響是否與其所在的小長方形的面積有關(guān)系？若一個小組所在的小長方形的面積愈大，則說明該小組的平均數(shù)占所求樣本的平均數(shù)的比重愈大，所以為了公平體現(xiàn)各個小組的平均數(shù)在樣本平均數(shù)中所占比例的大小，我們把每個小組的平均數(shù)先乘以其所在的小長方形的面積，然后再相加所得到的和就叫做樣本的平均數(shù)。所求樣本的平均數(shù)為：0.25×0.04+0.08×0.75+…+4.25×0.02=2.02重要結(jié)論3：平均數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，等于頻率分布圖中每個小長方形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和

例.某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:(1)求分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖(2)估計本次考試的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)

補全后的直方圖如圖:【解析】(1)分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為:1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3中位數(shù)為:10×（0.01+0.015+0.015）+（x-120)×0.03=0.5解得x=123.3平均分為:95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121（2）眾數(shù)為125

1.某校舉行了由全部學(xué)生參加的校園安全知識考試，從中抽出60名學(xué)生，將其成績分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)為________；平均分為________鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)

解析及格的各組的頻率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率約為75%；樣本的均值為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以這個分數(shù)估計總體的分數(shù)即得總體的平均分數(shù)約為71.答案75%

71

鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)B

3.某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分

解：依題意60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75∴抽樣學(xué)生成績的合格率是75%．利用頻率分布表估算抽樣學(xué)生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15×＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．∴估計這次考試的平均分是71分

4.(2012廣東)某班100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù).分數(shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5

【思路點撥】(1)根據(jù)各小長方形的面積和為1，求a；(2)借助頻率分布直方圖的中點估計平均分．(3)先求語文成績在各段的人數(shù)，進而求數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù)．【解答】(1)由頻率分布直方圖知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1因此a＝0.005(2)∵55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73∴平均分為73分(3)分別求出語文成績分數(shù)段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人數(shù)依次為0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20所以數(shù)學(xué)成績分數(shù)段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人數(shù)依次為5，20，40，25所以數(shù)學(xué)成績在[50，90)之外的人數(shù)有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)

例2某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150]后得

到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(1)求分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;(2)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表,據(jù)此估

計本次考試的平均分.【解析】(1)分數(shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為:1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.0

5)=1-0.7=0.3.

=

=0.03,補全后的直方圖如圖:(2)平均分為:

=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1．(2012·鄭州高一檢測)某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是 (

)A．85、85、85

B．87、85、86C．87、85、85 D．87、85、90答案：C例2在上一節(jié)中，從甲、乙兩個城市隨機抽取的16臺自動售貨機的銷售額可以用莖葉圖表示，如圖所示：（1）甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是多少？（2）你能從圖中分別比較甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的大小嗎？解：(1)觀察莖葉圖，我們不難看出：甲城市銷售額的中位數(shù)為20,眾數(shù)為10,18,30,極差為53;乙城市銷售額的中位數(shù)為29,眾數(shù)為23,34，極差為38.（2）從莖葉圖中我們可以看出：甲城市銷售額分布主要在莖葉圖的上方且相對較散，而乙城市的銷售額分布則相對集中在莖葉圖的中部.由此，我們可以估計：甲城市銷售額的平均數(shù)比乙城市的小，而方差比乙城市的大.平均數(shù)是將所有的數(shù)據(jù)都考慮進去得到的量，它是反映數(shù)據(jù)平均水平最常用的統(tǒng)計量；中位數(shù)將觀測數(shù)據(jù)分成相同數(shù)目的兩部分，其中一部分都比這個數(shù)小而另一部分都比這個數(shù)大，對于非對稱的數(shù)據(jù)集，中位數(shù)更實際地描述了數(shù)據(jù)的中心；當變量是分類變量時，眾數(shù)經(jīng)常被使用.2．(2011·江蘇高考)某老師從星期一到星期五收到的信件

數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________.答案：3.2例3.甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40mm的零件,為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,從兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進行測量.結(jié)果如下表所示:甲直徑/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙直徑/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9經(jīng)過簡單計算可以得出:甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的這10件產(chǎn)品直徑的平均數(shù)都是40mm,直徑/mm產(chǎn)品編號39.601234567891039.739.840.040.140.240.340.439.9甲乙但從上表中的數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn),甲生產(chǎn)的產(chǎn)品波動幅度比乙大,

我們用折線統(tǒng)計圖可以直觀地表示出這兩組數(shù)據(jù)的離散情況:例3.甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40mm的零件,為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,從兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進行測量.結(jié)果如下表所示:甲直徑/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙直徑/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9你能選擇適當?shù)臄?shù)分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度嗎?方法1(極差)甲:40.2﹣39.8=0.4(mm),乙:40.1﹣39.9=0.2(mm).方法2(方差)例3.甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40mm的零件,為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,從兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進行測量.結(jié)果如下表所示:甲直徑/mm40.039.840.140.239.940.040.239.840.239.8乙直徑/mm40.040.039.940.039.940.140.140.140.039.9你能選擇適當?shù)臄?shù)分別表示這兩組數(shù)據(jù)的離散程度嗎?方法3甲:乙:方法4甲:乙:抽象概括

刻畫數(shù)據(jù)離散程度的度量,其理想形式應(yīng)滿足以下三條原則:（1）應(yīng)充分利用所得到的數(shù)據(jù),以便提供更確切的信息;（2）僅用一個數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度;（3）對于不同的數(shù)據(jù),當離散程度大時,該數(shù)值亦大.方法1(極差)甲:40.2﹣39.8=0.4(mm),乙:40.1﹣39.9=0.2(mm).方法2(方差)方法3甲:乙:方法4甲:乙:二、標準差方差正的平方根稱為標準差.注意:

標準差的單位與原始測量單位相同,在統(tǒng)計中,我們通常用標準差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度.方法5由已知可得:由此可得:

甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品直徑的平均數(shù)相同,而甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品直徑的標準差為0.161mm,比乙機床的標準差0.077mm大,

說明乙機床生產(chǎn)的零件要更標準些,即乙機床的生產(chǎn)過程更穩(wěn)定一些.練習(xí)1.高一年級1班和2班的男生在100米短跑測試后,兩個班各隨機抽取10名男生,成績?nèi)缦拢▎挝?秒）:甲15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5乙15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2問哪個班男生100米短跑平均水平高一些?解:∴甲班男生短跑的平均水平高些.三、練習(xí)1.（2014·陜西高考）某公司10位員工的月工資（單位:元）為

，其均值和方差分別為

和s2，若從下月起每位員工的月工