拉普拉斯積分變換演示文稿

拉普拉斯積分變換演示文稿目前一頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)優(yōu)選拉普拉斯積分變換目前二頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)31．拉氏變換的概念定義

設(shè)函數(shù)

當(dāng)

時(shí)有定義，而且積分

（s是一個(gè)復(fù)參量）

在s的某一域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)稱為函數(shù)

的拉普拉斯變換式（簡稱拉氏變換式）記為

F(s)稱為

的拉氏變換（或稱為象函數(shù)）。

一、拉氏變換目前三頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)4若F(s)是

的拉氏變換，則稱

為F(s)的拉氏逆變換（或稱為象原函數(shù)），記為

可以看出，

的拉氏變換，實(shí)際上就是

的傅氏變換。

目前四頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)5例1

求單位階躍函數(shù)

的拉氏變換。

解

由拉氏變換的定義

此積分在

時(shí)收斂，且

所以

目前五頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)6例2

求指數(shù)函數(shù)

的拉氏變換（k為解

積分在

時(shí)收斂，且有

所以

實(shí)數(shù)）。目前六頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)72.拉氏變換的存在定理

可以看出，拉氏變換存在的條件要比傅氏變換存在的條件弱得多。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，滿足什么條件時(shí)，它的拉氏變換一定存在呢？

目前七頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)8當(dāng)

時(shí)，

的增長速度不超過某一指數(shù)函

，使得

成立（滿足此條件的函數(shù)，稱它的增大是指數(shù)級(jí)的，c為它的增長指數(shù)）。

拉氏變換的存在定理

若函數(shù)

滿足下列條件：

在

的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

數(shù)，亦即存在常數(shù)M>0及目前八頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)9則

的拉氏變換

在半平面

上一定存在，右端的積分在

上絕對(duì)收斂而且一致收斂，

并且在

的半平面內(nèi)，

為解析函數(shù)。

目前九頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)10例3

求正弦函數(shù)

（k為實(shí)數(shù)）的拉解

同樣可得余弦函數(shù)的拉氏變換：

氏變換。目前十頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)11例6

求單位脈沖函數(shù)

的拉氏變換。

利用性質(zhì)：

，有

解

目前十一頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)12例7

求函數(shù)

的拉氏變換。

解

在實(shí)際工作中，求函數(shù)的拉氏變換可通過拉氏變換表查得。

目前十二頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)133．拉氏變換的性質(zhì)

為了敘述方便起見，假定要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件，并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為c。以下均設(shè)目前十三頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)14a.線性性質(zhì)

若

是常數(shù)，則有

根據(jù)定義，利用積分性質(zhì)就可推出這個(gè)性質(zhì)。此性質(zhì)表明：函數(shù)線性組合的拉氏變換等于各函數(shù)拉氏變換的線性組合。目前十四頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)15

b．

微分性質(zhì)

證

由定義并利用分部積分法得

這個(gè)性質(zhì)表明：一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換乘以參變數(shù)s，再減去函數(shù)的初值。

目前十五頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)16推論:

特別，當(dāng)初值

時(shí)，有此性質(zhì)使我們有可能將

的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程，因此它對(duì)分析線性系統(tǒng)有著重要的作用。目前十六頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)17例

求函數(shù)

的拉氏變換。

解

由于

由微分性質(zhì)有

即

移項(xiàng)化簡得

目前十七頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)18例

求函數(shù)

的拉氏變換，其中m是正整數(shù)

解

由于

而

所以

目前十八頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)19即

而

所以

由拉氏變換存在定理，可得到象函數(shù)的微分性質(zhì)：

一般地，有

目前十九頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)20例

求函數(shù)

的拉氏變換。

解

因?yàn)?/p>

根據(jù)象函數(shù)的微分性質(zhì)

同理可得，

目前二十頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)21c．積分性質(zhì)

證

設(shè)

，則有

，且

由微分性質(zhì)，有

即

這個(gè)性質(zhì)表明：一個(gè)函數(shù)積分后再取拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參數(shù)s。

目前二十一頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)22重復(fù)應(yīng)用積分性質(zhì)可得：

此外，由拉氏變換存在定理，還可以得到象函數(shù)的積分性質(zhì)：

或一般地，有

目前二十二頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)23例

求函數(shù)

的拉氏變換。

解

因?yàn)?/p>

據(jù)象函數(shù)的積分性質(zhì)可知

目前二十三頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)24其中

這一公式，常用來計(jì)算某些積分。

存在，在象函數(shù)的積分性質(zhì)公式中取s=0，則有如果積分

目前二十四頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)25例

求積分

解

因?yàn)?/p>

且所以目前二十五頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)26d．位移性質(zhì)

若

，則有

證

上式右方只是在

中把s換成

，所以

這個(gè)性質(zhì)表明：一個(gè)象原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)

eat的拉氏變換等于其象函數(shù)作位移a。目前二十六頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)27例

求

解

因?yàn)?/p>

利用位移性質(zhì)，可得

目前二十七頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)28例

求

解

因?yàn)?/p>

由位移性質(zhì)得

目前二十八頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)295.延遲性質(zhì)

若

，又

時(shí)

則對(duì)于任一非負(fù)實(shí)數(shù)

有

或

證

目前二十九頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)30由于

時(shí)，

，所以上式右端第一個(gè)積分為零。對(duì)于第二個(gè)積分，令

，則

目前三十頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)31函數(shù)

與f(t)相比，f(t)是從t=0開始有非零數(shù)值，而

是從

開始才有非零數(shù)值，即延遲了一個(gè)時(shí)間

。從它們的圖象來講，

的圖象是由f(t)的圖象沿t軸向右平移距離而得。象函數(shù)乘以指數(shù)因子

。

這個(gè)性質(zhì)表明，時(shí)間函數(shù)延遲的拉氏變換等于它的目前三十一頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)32例

求函數(shù)

的拉氏變換。

解

由于

根據(jù)延遲性質(zhì)，有

目前三十二頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)33二、拉氏逆變換

在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)碰到的問題是：已知象函數(shù)求它的象原函數(shù)f(t)。由拉氏變換的概念可知，函數(shù)的拉氏變換就是

的傅氏變換。

目前三十三頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)34于是，當(dāng)

滿足傅氏積分定理的條件時(shí)，按傅氏積分公式，在

連續(xù)點(diǎn)處有:

目前三十四頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)35等式兩邊乘以，并考慮到它與積分變量無關(guān)，則

令，有

這就是從象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t)的一般公式，右端的積分稱為拉氏反演積分。目前三十五頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)36此公式是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分，通常計(jì)算起來比較困難，但當(dāng)F(s)滿足一定條件時(shí)，可以用留數(shù)學(xué)方法來計(jì)算這個(gè)反演積分，特別當(dāng)F(s)為有理函數(shù)時(shí)更為簡單。

目前三十六頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)37定理

若是函數(shù)的所有奇點(diǎn)（適當(dāng)選取使這些奇點(diǎn)全在的范圍內(nèi)），且當(dāng)時(shí)，，則有

即目前三十七頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)38例1：求的逆變換。

解

:

F(s)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)

由拉氏反演積分公式得

目前三十八頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)39

例2：

求的逆變換。

解:

s=0為一級(jí)極點(diǎn)，s=1為二級(jí)極點(diǎn)，拉氏反演積分公式得目前三十九頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)40例3：

求的逆變換。

解

:利用部分分式的方法將F(s)化成

所以目前四十頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)41卷

積

拉氏變換的卷積性質(zhì)，不僅被用來求某些函數(shù)的逆變換及一些積分值，而且在線性系統(tǒng)的分析中起著重要的作用。

目前四十一頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)421.卷積的概念傅氏變換中兩個(gè)函數(shù)的卷積是指

在拉氏變換中函數(shù)如果都滿足條件：當(dāng)t<0時(shí)，

則上式可寫成

今后如不特別聲明，都假定這些函數(shù)在t<0時(shí)恒為零。

目前四十二頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)43

例1

求函數(shù)和的卷積，即求。

解：根據(jù)定義得：目前四十三頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)44卷積的性質(zhì)：

目前四十四頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)452.卷積定理

假定，滿足拉氏變換存在定理中的條件，且，則的拉氏變換一定存在，且或目前四十五頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)46推論若滿足拉氏變換存在定理中的條件，且，則有

在拉氏變換的應(yīng)用中，卷積定理起著十分重要的作用。下面舉例說明它在求函數(shù)的逆變換中的應(yīng)用。

目前四十六頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)47

例2

設(shè)，求f(t)。

解:

令則根據(jù)卷積定理和例1得

目前四十七頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)48例3

設(shè)，求f(t)。

解：所以目前四十八頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)49

例4

設(shè) ，求f(t)。解：根據(jù)位移性質(zhì)，

所以目前四十九頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)50目前五十頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)51微分方程的拉氏變換解法

利用拉氏變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)來解常微分方程，其方法是先取拉氏變換把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個(gè)代數(shù)方程求出象函數(shù)，然后再對(duì)象函數(shù)取逆變換就得出原來微分方程的解。解法的的過程如下圖所示。

目前五十一頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)52象函數(shù)象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)的代數(shù)方程微分方程取拉氏逆變換解代數(shù)方程取拉氏變換目前五十二頁\總數(shù)五十五頁\編于點(diǎn)53例1

求方程的解。滿足初始條件解:設(shè)L[y(t)]=Y(s)。在方程兩邊取拉氏變換，并考慮到初始條件，得這是含未知量Y(s)的代數(shù)方程，整理后解出Y(s)，