演示文稿平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答

（優(yōu)選）平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答ppt講解目前一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答第六節(jié)圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ诎斯?jié)圓孔的孔口應(yīng)力集中第九節(jié)半平面體在邊界上受集中力第十節(jié)半平面體在邊界上受分布力例題第七節(jié)壓力隧洞目前二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)區(qū)別:直角坐標(biāo)中,

x和y坐標(biāo)線都是直線,有固定的方向,x和y的量綱均為L(zhǎng)。

極坐標(biāo)中,坐標(biāo)線（=常數(shù)）和坐標(biāo)線（=常數(shù)）在不同點(diǎn)有不同的方向;相同:兩者都是正交坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)(x,y)與極坐標(biāo)比較：目前三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)坐標(biāo)線為直線,坐標(biāo)線為圓弧曲線;的量綱為L(zhǎng),的量綱為1。這些區(qū)別將引起彈性力學(xué)基本方程的區(qū)別。對(duì)于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環(huán)向圍成的物體，宜用極坐標(biāo)求解。用極坐標(biāo)表示邊界簡(jiǎn)單，使邊界條件簡(jiǎn)化。應(yīng)用目前四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)§4－1極坐標(biāo)中的平衡微分方程在A內(nèi)任一點(diǎn)（，）取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件。微分體--由夾角為的兩徑向線和距離為的兩環(huán)向線圍成。目前五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)目前六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)兩面不平行，夾角為；兩面面積不等，分別為，。從原點(diǎn)出發(fā)為正，從x

軸向y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正。注意：目前七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)平衡條件：平衡條件考慮通過(guò)微分體形心C的向及矩的平衡，列出3個(gè)平衡條件:注意：

--通過(guò)形心C的力矩為0，當(dāng)考慮到二階微量時(shí)，得目前八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)--通過(guò)形心C的向合力為0，整理，略去三階微量，得目前九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)同理，由通過(guò)形心C的向合力為0可得：極坐標(biāo)下的平衡微分方程：目前十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

幾何方程--表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式。§4－2幾何方程及物理方程極坐標(biāo)系中的幾何方程可以通過(guò)微元變形分析直接推得，也可以采用坐標(biāo)變換的方法得到。下面討論后一種方法。根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系，有目前十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)注意：可求得根據(jù)張量的坐標(biāo)變換公式目前十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)對(duì)平面問(wèn)題：目前十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)幾何方程由此可得比較可知目前十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)極坐標(biāo)中的物理方程直角坐標(biāo)中的物理方程是代數(shù)方程，且x與y為正交，故物理方程形式相似。物理方程極坐標(biāo)中的物理方程也是代數(shù)方程,且與為正交，目前十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程：物理方程對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須作如下同樣變換，目前十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

邊界條件--應(yīng)用極坐標(biāo)時(shí)，彈性體的邊界面通常均為坐標(biāo)面，即：邊界條件故邊界條件形式簡(jiǎn)單。目前十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)平面應(yīng)力問(wèn)題在極坐標(biāo)下的基本方程物理方程目前十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)物理方程對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將物理方程作如下的變換即可。目前十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于：§4－3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)

與相容方程1、物理量的轉(zhuǎn)換;2、從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo)系中的方程。目前二十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)函數(shù)的變換：將式或代入，坐標(biāo)變量的變換：反之1.從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換坐標(biāo)變換目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)或矢量的變換：位移坐標(biāo)變換目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)將對(duì)的導(dǎo)數(shù)，變換為對(duì)的導(dǎo)數(shù)：可看成是，而又是的函數(shù)，即是通過(guò)中間變量，為的復(fù)合函數(shù)。有:坐標(biāo)變換導(dǎo)數(shù)的變換：目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)而代入，即得一階導(dǎo)數(shù)的變換公式,一階導(dǎo)數(shù)，。目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)展開(kāi)即得：

二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從式(e)導(dǎo)出。例如二階導(dǎo)數(shù)目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)拉普拉斯算子的變換：由式（f）得二階導(dǎo)數(shù)目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)3.極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)表示可考慮幾種導(dǎo)出方法：2.極坐標(biāo)中的相容方程從平衡微分方程直接導(dǎo)出（類(lèi)似于直角坐標(biāo)系中方法）。相容方程應(yīng)力公式目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)(2)應(yīng)用特殊關(guān)系式，即當(dāng)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)到與軸重合時(shí)，有:(3)應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）應(yīng)力公式目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)(4)應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)），而代入式(f

)，得出的公式。比較兩式的的系數(shù)，便得出的公式。應(yīng)力公式目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)當(dāng)不計(jì)體力時(shí)應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)表示的公式應(yīng)力公式目前三十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)4.極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)滿足：(1)

A內(nèi)相容方程(2)上的應(yīng)力邊界條件（設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）。(3)多連體中的位移單值條件。按求解目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)應(yīng)力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系：§4－4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式1、已知，求。目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（含）的三角形微分體，厚度為1，如下圖A，考慮其平衡條件。取出一個(gè)包含x、y面(含)和面目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)得同理，由得目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)類(lèi)似地取出包含x面,y面和面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，得目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)應(yīng)用相似的方法，可得到2、已知，求目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)3、可以用前面得到的求一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的公式推出。4、也可以用應(yīng)力坐標(biāo)變換公式得到目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

軸對(duì)稱(chēng)，即繞軸對(duì)稱(chēng)，凡通過(guò)此軸的任何面均為對(duì)稱(chēng)面。軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題：§4－5軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱(chēng)--僅為的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對(duì)稱(chēng)--

目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)展開(kāi)并兩邊同乘得：相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)，所以

應(yīng)力公式為：（1）相容方程目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)的通解這是一個(gè)典型的歐拉方程，引入變量，則。則原方程變?yōu)槟壳八氖?yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

此方程解的形式為代入整理得特征方程為

由此可得應(yīng)力函數(shù)的通解為

（4-10）目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)(2)

應(yīng)力通解：（4-11）目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分，應(yīng)變通解：將應(yīng)力代入物理方程，得對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變也為軸對(duì)稱(chēng)。(4)求對(duì)應(yīng)的位移：目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)分開(kāi)變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F,將代入第三式，目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)由兩個(gè)常微分方程，目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)其中代入，得軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，I，K—為x、y向的剛體平移，H

—為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。位移通解（4-12）目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)說(shuō)明（2）在軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力條件下，形變也是軸對(duì)稱(chēng)的,但位移不是軸對(duì)稱(chēng)的。（3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力的條件是，物體形狀、體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱(chēng)。（1）在軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力條件下，(4-10、11、12),為應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解，適用于任何軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題。說(shuō)明目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)(4)軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數(shù)A、B及C。說(shuō)明(5)軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力及位移的通解，可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的任何軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。(6)對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將換為目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

圓環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受內(nèi)外均布?jí)毫Γ瑢儆谳S對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題的通解。

§4－6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)問(wèn)題目前五十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)邊界條件是邊界條件目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

考察多連體中的位移單值條件：

圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中，

式(b)中的條件是自然滿足的，而其余兩個(gè)條件還不足以完全確定應(yīng)力解答(a)。單值條件目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)是一個(gè)多值函數(shù)：對(duì)于和是同一點(diǎn)，但式(c)卻得出兩個(gè)位移值。由于同一點(diǎn)的位移只能為單值，因此B=0。單值條件目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)由B=0

和邊界條件(b)，便可得出拉梅解答，單值條件(4-13)目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)解答的應(yīng)用：（1）只有內(nèi)壓力（2）只有內(nèi)壓力且，成為具有圓孔的無(wú)限大薄板（彈性體）。（3）只有外壓力單值條件目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)單值條件的說(shuō)明：（1）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性條件）。（2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都應(yīng)為單值。單值條件按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。所以，按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。單值條件對(duì)于單連體，通過(guò)校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足；對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)§4－7壓力隧洞

本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）。1.壓力隧洞--圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為壓力隧洞目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)因?yàn)椴环暇鶆蛐约俣?，必須分別采用兩個(gè)軸對(duì)稱(chēng)解答：圓筒無(wú)限大彈性體壓力隧洞目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)應(yīng)考慮的條件：（1）位移單值條件：（2）圓筒內(nèi)邊界條件：（3）無(wú)限遠(yuǎn)處條件，由圣維南原理,壓力隧洞目前六十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)由（1）—（4）條件，解出解答（書(shū)中式（4-16））。（4）的接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體保持連續(xù)時(shí)，有壓力隧洞目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)2.一般的接觸問(wèn)題。

(1)完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為：在s上當(dāng)兩個(gè)彈性體，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件可分為幾種情況：接觸問(wèn)題目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)(2)有摩阻力的滑動(dòng)接觸：變形后在S上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在S上的接觸條件為其中C為凝聚力。接觸問(wèn)題目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

(4)局部脫離：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開(kāi)，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開(kāi)的邊界上，有

(3)光滑接觸：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無(wú)摩阻力的光滑移動(dòng)，則在s上的接觸條件為接觸問(wèn)題目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

在工程上，有許多接觸問(wèn)題的實(shí)際例子。如機(jī)械中軸與軸承的接觸，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸，壩體分縫處的接觸等等。一般在接觸邊界的各部分，常常有不同的接觸條件，難以用理論解表示。我們可以應(yīng)用有限單元法進(jìn)行仔細(xì)和深入的分析。接觸問(wèn)題目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)3.有限值條件圖（a）設(shè)圖（a）中半徑為r的圓盤(pán)受法向均布?jí)毫作用，試求其解答。有限值條件目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)引用軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的解答，并考慮邊界

上的條件，上述問(wèn)題還是難以得出解答。這時(shí)，我們可以考慮所謂有限值條件，即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。而書(shū)中式(4-11)的應(yīng)力表達(dá)式中，當(dāng)時(shí)，和中的第一、二項(xiàng)均趨于無(wú)限大，這是不可能的。按照有限值條件，當(dāng)時(shí)，必須有A=B=0。有限值條件目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

在彈性力學(xué)問(wèn)題中，我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理?xiàng)l件后，建立基本方程及其邊界條件來(lái)進(jìn)行求解的。一般地說(shuō)，單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的，但是這些條件常常是自然滿足的。而在下列的情形下須要進(jìn)行校核：(1)按應(yīng)力求解時(shí)，多連體中的位移單值條件。有限值條件目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù)，從而縮小求解函數(shù)的范圍，然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解。

(2)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí)，和，或處的應(yīng)力的有限值條件(因?yàn)檎⒇?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無(wú)限大)。有限值條件目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)工程結(jié)構(gòu)中常開(kāi)設(shè)孔口最簡(jiǎn)單的為圓孔。本節(jié)研究‘小孔口問(wèn)題’，應(yīng)符合（1）孔口尺寸＜＜彈性體尺寸，孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。§4－8圓孔的孔口應(yīng)力集中小孔口問(wèn)題目前七十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（＞1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。當(dāng)彈性體開(kāi)孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。小孔口問(wèn)題目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q，圖(a)。雙向受拉目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)內(nèi)邊界條件為，將外邊界改造成為圓邊界，作則有利用圓環(huán)的軸對(duì)稱(chēng)解答，取且R＞＞r，得應(yīng)力解答：雙向受拉（4-17）目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)2.帶小圓孔的矩形板，x,y向分別受拉壓力，圖(b)。所以應(yīng)力集中系數(shù)為2。內(nèi)邊界條件為最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊，作圓，求出外邊界條件為雙向受拉壓目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)應(yīng)用半逆解法求解（非軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題）:由邊界條件，假設(shè)代入相容方程，由~關(guān)系，假設(shè)，所以設(shè)雙向受拉壓目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)除去，為典型歐拉方程，通過(guò)與前面§4－5相同的處理方式，可以得解然后代回式（d),即可求出應(yīng)力。雙向受拉壓目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)校核邊界條件(b),(c)，求出A,B,C,D，得應(yīng)力解答：在孔邊，，最大、最小應(yīng)力為，應(yīng)力集中系數(shù)為。雙向受拉壓（4-18）目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)3.帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。單向受拉目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)應(yīng)用圖示疊加原理（此時(shí)令）得應(yīng)力解答:單向受拉（4-19）目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)討論：（1）孔邊應(yīng)力，最大應(yīng)力3q，最小應(yīng)力-q。單向受拉目前八十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（2)y軸上應(yīng)力，可見(jiàn)，距孔邊1.5D處，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)<5%。單向受拉目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（3）x軸上應(yīng)力，同樣，距孔邊1.5D處，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)<5%。單向受拉目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)4.小孔口的應(yīng)力集中現(xiàn)象（1）集中性--孔口附近應(yīng)力>>遠(yuǎn)處的應(yīng)力，孔口附近應(yīng)力>>無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。（2）局部性--應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般<5%。應(yīng)力集中現(xiàn)象目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（3）凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中，曲率半徑愈小，應(yīng)力愈大。因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。如正方孔的角點(diǎn)，角點(diǎn)曲率半徑應(yīng)力集中現(xiàn)象目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)5.一般小孔口問(wèn)題的分析：（1）假設(shè)無(wú)孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的、、。（2）求出孔心處主應(yīng)力（3）在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場(chǎng)作用下，求出孔口附近的應(yīng)力。小孔口解法目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)當(dāng)然，對(duì)于左右邊界受均勻拉力作用帶孔平板的應(yīng)力集中問(wèn)題，還可以用如下方法求解單向受拉對(duì)于無(wú)孔板，板中的應(yīng)力為與之相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)為目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)表示為單向受拉現(xiàn)參照上述無(wú)孔板的應(yīng)力函數(shù)來(lái)選取一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，使它適用于有孔板。即代入相容方程得：目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)解得：?jiǎn)蜗蚴芾纱饲蟮脩?yīng)力分量為：目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)解得：?jiǎn)蜗蚴芾瓚?yīng)力分量為：目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

應(yīng)用彈性力學(xué)問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解法，已經(jīng)解出許多各種形狀的小孔口問(wèn)題的解答。復(fù)變函數(shù)解法是一種求解彈性力學(xué)解答的解析方法，它將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部(均為實(shí)函數(shù))分別表示彈性力學(xué)的物理量，將彈性力學(xué)的相容方程(重調(diào)和方程)也化為復(fù)變函數(shù)方程，并結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解。

6.其他小孔口問(wèn)題的解答目前九十頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)為了了解小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象的特性和便于工程上的應(yīng)用，我們把遠(yuǎn)處為(壓應(yīng)力場(chǎng))作用下，橢圓類(lèi)孔口、矩形類(lèi)孔口和廊道孔口的應(yīng)力解答表示在下圖中，它們的應(yīng)力分布情況如下。

-43/2ba11-2.2312/3-1101-31目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)1.00-2.5-1.35目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（1）在(壓應(yīng)力場(chǎng))下，孔口的最大拉應(yīng)力發(fā)生于孔頂和孔底。橢圓類(lèi)孔口均為,矩形類(lèi)孔口的~,標(biāo)準(zhǔn)廊道孔口為0.90和0.92q。1.8r-1.7

(c)標(biāo)準(zhǔn)廊道孔口r0.900.92目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（2）在（壓應(yīng)力場(chǎng)）下，孔口的最大壓應(yīng)力發(fā)生在孔側(cè)。橢圓類(lèi)孔口（垂直半軸為b，水平半軸為a）中，當(dāng)成為一條裂縫時(shí)，；當(dāng)；當(dāng)，

~。矩形類(lèi)孔口從，越小，則壓應(yīng)力集中系數(shù)越接近1。標(biāo)準(zhǔn)廊道左右。

目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)半平面體在邊界上受集中力作用如圖。它是下圖所示問(wèn)題當(dāng)?shù)奶厥馇闆r?！?－9半平面體在邊界上

受集中力半逆解法目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)用半逆解法求解。（1）假設(shè)應(yīng)力：F為單位寬度上的力，按量綱分析，應(yīng)力應(yīng)為:半逆解法（2）推測(cè)應(yīng)為目前九十六頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（3）代入，得求出f之解，代入，其中前兩項(xiàng)即Ax+By，與應(yīng)力無(wú)關(guān)，刪去。則取應(yīng)力函數(shù)為目前九十七頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)（5）考慮邊界條件,因有集中力作用于原點(diǎn)，故邊界條件應(yīng)考慮兩部分：（4）由求應(yīng)力,目前九十八頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)

(b)在原點(diǎn)O附近，我們可以看成是一段小邊界。在此小邊界附近，有面力的作用,而面力可以向原點(diǎn)o簡(jiǎn)化為作用于O

點(diǎn)的主矢量F，和主矩為0的情形。將小邊界上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)用圣維南原理來(lái)進(jìn)行處理。圣維南原理的應(yīng)用可以有兩種方式：

(a)不包含原點(diǎn)O，則在顯然這條件是滿足的。

目前九十九頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)即

,(1)在同一小邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩,分別等于對(duì)應(yīng)面力的主矢量和主矩(數(shù)值相等，方向一致)，共有3個(gè)條件。(2)取出包含小邊界的一部分脫離體，并考慮此脫離體的平衡條件，同樣也得出3個(gè)條件。目前一百頁(yè)\總數(shù)一百一十頁(yè)\編于一點(diǎn)本題中