守恒定律與微分方程建模

守恒定律與微分方程建模連續(xù)性方程：解決問題：流體流動(dòng)、傳熱和交通等問題單位體積的物理量分布t時(shí)刻流域τ上流體的總物理量為t+Δt時(shí)刻的包絡(luò)線所圍體積為（1）

以控制面（C.S.）為邊界，第二、三項(xiàng)極限其中S1為C與A+B之公共表面，上式表示單位時(shí)間從表面S1移出的物理量第二項(xiàng)：第三項(xiàng)其中s2為A與A+B之公共部分，表示單位時(shí)間內(nèi)從表面S2流入的物理量上式中第一個(gè)極限注：A+B所圍的區(qū)域定義為控制體C.V.是固定的（2）

S1與S2組成控制體（A+B）的全部邊界，即控制面（3）聯(lián)立（1）,（2）和（3）微分形式：一般情況下生成率和消失率無(wú)源情況下（連續(xù)性方程）

討論：（連續(xù)性方程）數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常研究的物理量

有密度，車流密度和污染物的濃度等表示密度ρ表示濃度c連續(xù)性方程的物理意義表示，控制體中的物理量變化由進(jìn)出控制面的通量和控制體中生成率決定的，一般有化學(xué)反應(yīng)過程，方程右邊不為零。

交通流模型2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題和2014年美國(guó)大學(xué)生建模競(jìng)賽A題都是交通問題假設(shè)：公路上行駛的車輛為連續(xù)的，可以將車流看作流體定義：車流量q(x,t)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過某點(diǎn)的車輛數(shù)交通流密度ρ(x,t):單位距離上的車輛數(shù)交通量速度場(chǎng)u(x,t):車輛速度

交通流關(guān)系：研究路段有出入口

速度—密度線性模型速度-密度是線性關(guān)系，車流量達(dá)到最大時(shí)的密度和速度分別被稱為臨界密度ρc,臨界速度uc流量-密度關(guān)系：流量-速度關(guān)系

跟馳模型適用條件：?jiǎn)诬嚨溃瑹o(wú)超車模型假設(shè)：1)汽車單車道形式，無(wú)超車2)前后車必須保持安全距離3)前車改變狀態(tài)，后車也要改變，且有一定滯后時(shí)間4)兩車距離小于一定閾值時(shí)后車制動(dòng)，加速度與相對(duì)速度和距離有關(guān)模型：積分得：交通流處于穩(wěn)定狀態(tài)，車速為u，車距為d，密度為ρ=1/d

一般

交通流方程的解法（特征線法）初值條件方程唯一解假設(shè)存在一條曲線且物理意義：曲線

上密度不變，為常數(shù)，該曲線為特征線對(duì)任意點(diǎn)，過改點(diǎn)的特征線與坐標(biāo)軸x交點(diǎn)，可求出密度值

2014年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A—靠右行駛問題題目：在一些汽車靠右行駛的國(guó)家（比如美國(guó)，中國(guó)等等），多車道的高速公路常常遵循以下原則：司機(jī)必須在最右側(cè)駕駛，除非他們正在超車，超車時(shí)必須先移到左側(cè)車道在超車后再返回。

建立數(shù)學(xué)模型來(lái)分析這條規(guī)則在低負(fù)荷和高負(fù)荷狀態(tài)下的交通路況的表現(xiàn)。你不妨考察一下流量和安全的權(quán)衡問題,車速過高過低的限制，或者這個(gè)問題陳述中可能出現(xiàn)的其他因素。這條規(guī)則在提升車流量的方面是否有效？如果不是，提出能夠提升車流量、安全系數(shù)或其他因素的替代品（包括完全沒有這種規(guī)律）并加以分析。

在一些國(guó)家，汽車靠左形式是常態(tài)，探討你的解決方案是否稍作修改即可適用，或者需要一些額外的需要。

最后，以上規(guī)則依賴于人的判斷，如果相同規(guī)則的交通運(yùn)輸完全在智能系統(tǒng)的控制下，無(wú)論是部分網(wǎng)絡(luò)還是嵌入使用的車輛的設(shè)計(jì)，在何種程度上會(huì)修改你前面的結(jié)果？

模型假設(shè)：假設(shè)高速公路上所有汽車均沿車道做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)汽車遇到車速比自己小的車便進(jìn)行超車。2.根據(jù)交通法規(guī)，高速公路上的超車現(xiàn)象是小概率事件。3.超車過程的前后兩個(gè)階段的情況相同。4.假設(shè)高速公路每個(gè)車道的車速限定是相同的。5.超車率在我們考察的整條高速公路上均勻分布。6.在超車過程中，除超車的車外其余汽車的平均瞬時(shí)速度保持不變。7.不考慮路況、天氣等其它因素存在的交通隱患。

符號(hào)：宏觀模型：

超車模型：

對(duì)上式求導(dǎo)：是指車輛的瞬時(shí)速度的變化，是超車現(xiàn)象造成了車輛的瞬時(shí)速度的變化。（1）

建立出超車持續(xù)時(shí)間T模型，即可得到超車時(shí)間T：1）A,B車速度差的減函數(shù)；2）司機(jī)的反應(yīng)延遲；3）車輛的安全距離有效超車時(shí)間，幾何關(guān)系：

V-t關(guān)系式復(fù)雜，數(shù)據(jù)擬合出v-t關(guān)系求導(dǎo)：（2）超車密度：（3）將（2）、（3）帶入（1）物理意義：超車引起的密度變化，路段化為單位長(zhǎng)度，Nρ（4）

連續(xù)性方程改寫為：積分區(qū)間[0,T]超車貢獻(xiàn)流量總流量：因超疊車增扎加的秤車流目量，A為超棄車，B為被立超車結(jié)論：當(dāng)柱交通獻(xiàn)擁擠搖時(shí)，拳超車授車速向和被婚超車凍車速崇均較幼小，料此時(shí)施超車愛貢獻(xiàn)耗的車皮流量臟比較奔?。淮喇?dāng)交繁通流倍暢時(shí)稱，超滔車車塵速較域大，辨此時(shí)羨超車色貢獻(xiàn)捕的車工流量孟較大扶。安全蔬系數(shù)農(nóng)：超車反應(yīng)時(shí)間，一般為0.84s當(dāng)安全指數(shù)S小于平均反應(yīng)時(shí)間，則兩車必然發(fā)生碰撞，我們把稱為安全超車閾值。定義，如果S值落在區(qū)間[0,2]，為一次安全隱患。安全系數(shù)統(tǒng)計(jì)彩模擬飄安全趟系數(shù)度：假設(shè)1

假設(shè)高速公路上車速（除超車外）分布呈均值為90km/h，方差為9km/h的正

態(tài)分布假設(shè)高速公路上超車車速分布呈均值為v,方差為的正態(tài)分布v/10；3不考慮路況、天氣等其它因素存在的交通隱患。

規(guī)則顧一：骨超車悶返回頁(yè)原車白道；鑒規(guī)則珍二：辜超車刊不返報(bào)回原來(lái)車道由上僻圖可乏知，識(shí)超車頁(yè)安全玩指數(shù)然隨速象度差船的增耀加而參降低獵，符于合現(xiàn)挖實(shí)情舌況。返而且蒙對(duì)于毯相同悉的速桐度差隱，超殊車規(guī)鞭則二能的超綿車安贊全指味數(shù)比丹規(guī)則蹤蝶一的扮大，雨說明飾規(guī)則布二的溪超車坑方式飯?jiān)谙喑笸榘鼪r下悼比規(guī)常則一湯更加誦安全淺。(1)（2）定義：

為安全超車；不安全超車由圖1的曲怎線可倆得到遇，對(duì)憂于規(guī)銷則一銜，95瞧%的超壇車安堤全指態(tài)數(shù)對(duì)醋應(yīng)的黎速度葬差為20驢km噴/h，對(duì)叉于規(guī)粒則二謊則對(duì)膜應(yīng)的構(gòu)速度季差為30估km勢(shì)/h掃,。根酷據(jù)圖2由對(duì)宣應(yīng)的溉速度質(zhì)差找素到最娘大車圍流量步，則租可以鑒得到槳相應(yīng)抓的B車車飯速的便平均桂值，渣在兩指?jìng)€(gè)規(guī)牌則下眼均為80閉km降/h，則雅對(duì)于瘦規(guī)則湯一，蓄限速灘標(biāo)準(zhǔn)氏為：仔上限?。?0缸0k丑m/樓h，下光限：60溜km基/h；對(duì)節(jié)于規(guī)革則二誕，限兇速標(biāo)盾準(zhǔn)為珠：上祖限：11居0k執(zhí)m，下盟限：60近km費(fèi)/h。高速仔路速帝度設(shè)揀定：微分省方程圓建模研究疊領(lǐng)域：一個(gè)魚變量勢(shì)隨著滔另一炒個(gè)變曠量變癢化的敗規(guī)律佳，特逮點(diǎn)是疏利用微元軟分析返法，建龍立瞬紀(jì)時(shí)變化召率的表區(qū)達(dá)式韻。微分神建模拾的步播奏：翻譯毅或轉(zhuǎn)螞化：在棍實(shí)際賞問題漠中有朝許多抗表示尿?qū)?shù)靈的詞蟲，如爐“速帆率”監(jiān)，“冤增長(zhǎng)惕”或“完衰變書”等2)建立瞬時(shí)表達(dá)式：即自變量有一微小變化時(shí)，因變量有一相應(yīng)的變

化，根據(jù)一定的物理定律或者假設(shè)條件，建立他們之間的關(guān)系3)關(guān)系剝式中題，物理通量要般求統(tǒng)趣一（相同呆的量夸綱）4)確定肉初邊庭值條貍件：這陷些條途件是赴關(guān)于徑系統(tǒng)夾在某召一特洲定時(shí)蔽刻或漿者邊糞界上沒的信息，敲獨(dú)立病于微決分方是程，洽用來(lái)輛確定撤有關(guān)泉常數(shù)舟。物種蹤蝶模型Ma決lt充hu視s模型生物貼種群館的總虎數(shù)是姻整數(shù)疾，當(dāng)夜種群警數(shù)量瀉很大終時(shí)，駕可將怎種群害總數(shù)縣看成淺是連汗續(xù)可鳳微的頑。表示t時(shí)刻種群個(gè)體的數(shù)量，r表示種群增長(zhǎng)率假設(shè)：1）種群是孤立的，不考慮遷入和遷出2）個(gè)體的繁衍不受環(huán)境和其他個(gè)體的影響3）

種群的平均增長(zhǎng)率在短時(shí)間內(nèi)是常數(shù)當(dāng)（1）（2）討論鈔：a)時(shí)間換跨度款小，章模型殼計(jì)算常結(jié)果竊與實(shí)仿際有暑較好下的吻勤合。b)當(dāng)r>譜0,且t→煌∞時(shí)，x(棍t)薯→撥∞與實(shí)災(zāi)際不氏符。Lo步gi喜st之ic模型：Ma扔lt耗hu警s模型丹缺陷勺在與盈增長(zhǎng)律率為繞常數(shù)繼，沒次有考薯慮種召群數(shù)砍量對(duì)涂增長(zhǎng)古率的曲影響3）種群的數(shù)量受到資源的限制，達(dá)到最大值后不在增加。增長(zhǎng)率r隨著x增加

而線性減少。tx（3）討論：a)當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→xmb)解得：Lo瘡gi性st段ic模型參修改—S巷mi順th模型rx1)種群增長(zhǎng)率與該時(shí)刻剩余的食物分量成正比，假設(shè)：種群的資源消耗率，種群達(dá)到飽和時(shí)的資源消耗率自身生存所需食物，物種繁衍所需食物當(dāng)x=xm時(shí)，s=sm且dx/dt=0方程改寫為前面鋤模型僅隱含紹假設(shè)催：1)自然灑增長(zhǎng)評(píng)率r(抱x)只考尼慮與狀種群聞的瞬伴時(shí)數(shù)移量有挑關(guān)，展而與順過去拋無(wú)關(guān)2)系統(tǒng)些是封象閉的軍，沒糧有遷拔出與紅遷入么；種禾群射不受民系統(tǒng)獄外的纖干擾殘（捕址殺）3)不考亭慮種朵群的侵年齡芬結(jié)構(gòu)4)不考杠慮偶優(yōu)然因挖素，爬種群核的數(shù)印量有幸初始耽值和羨模型休決定時(shí)滯模型1.定常時(shí)滯模型一般形式表示t時(shí)刻的種群總數(shù)，時(shí)滯表示妊娠所需時(shí)間，增長(zhǎng)率依賴于時(shí)刻的種群規(guī)模

b)表示t時(shí)刻的成蟲數(shù)，時(shí)滯表示幼蟲成熟時(shí)間2.分布感時(shí)滯釀模型描述情形：t時(shí)刻種群個(gè)體的增長(zhǎng)率不僅與

時(shí)刻的種群規(guī)模有關(guān)，而且依賴于t時(shí)刻以前的整個(gè)歷史時(shí)期中種群規(guī)模的發(fā)展。處理思想：將的變化區(qū)間劃分為小段，總增長(zhǎng)率是各個(gè)小段作用的疊加。例子解得：逐次售分段贈(zèng)計(jì)算怒下去解得：年齡論結(jié)構(gòu)射模型設(shè)f(原t,他x)是時(shí)棍刻t年齡算為x的種覆群個(gè)些體的涉分布蜜函數(shù)鳥。t時(shí)刻著年齡相為[x邊,x費(fèi)+d昏x]的種缺群個(gè)酒體數(shù)搏量是f(悔t,組x)怎dx。研啊究時(shí)艇間段[t責(zé),t這+d念t]內(nèi)種也群年怒齡結(jié)墓構(gòu)變腰化？取dt件=d漫x1）年齡在區(qū)間[x,x+dx]的個(gè)體成長(zhǎng)進(jìn)入更大的年齡區(qū)間或者死亡；2）年齡在區(qū)間[x-dx,x]的個(gè)體成長(zhǎng)進(jìn)入年齡區(qū)間[x,x+dx].時(shí)刻t年齡位于[x-dx,x]的個(gè)體數(shù)量與時(shí)刻t+dt年齡位于[x,x+dx]的個(gè)體數(shù)量差為設(shè)h(x)是單位時(shí)間內(nèi)年齡為x的個(gè)體死亡率，則在時(shí)間段[t,t+dt]內(nèi)，年齡為[x-dx,x]的個(gè)體成長(zhǎng)過程中死亡數(shù)量：等式：微分方程形式：確定象初邊兔值條虹件：a)t=0時(shí)刻年齡分布函數(shù)為定解條件：b)x=0作為邊界條件令b(x)表示年齡為x的個(gè)體單位時(shí)間內(nèi)平均生育下一代的數(shù)量調(diào)節(jié)種群數(shù)量主要手段是調(diào)節(jié)出生數(shù)f(t,0)種群總數(shù)：平均年齡：平均壽命：老齡化指數(shù)：兩個(gè)顯種群撫的數(shù)勾學(xué)模蠢型：主要嶺研究引兩個(gè)訴種群屈之間蓮的相足互作既用關(guān)浩系（幣共生級(jí)和捕蓮食等致關(guān)系日）Lo迫tk噸a-順Vo解lt僵er追ra方程考慮兩個(gè)種群X1和X2，在t時(shí)刻的種群數(shù)為,增長(zhǎng)率為由泰勒展開Lotka-Volterra方程：在同一自然環(huán)境中，兩者存在三種關(guān)系：1）捕食與被捕食關(guān)系，2）競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，3）互利共存關(guān)系，令X1為食堆餌，X2為捕趨食者修正捕食者與食餌關(guān)系后20命07年大莫學(xué)生欲數(shù)學(xué)告建模晉真題中國(guó)大是一狼個(gè)人飲口大蛾國(guó)，唉人口國(guó)問題軍始終該是制嘉約我萄國(guó)發(fā)贈(zèng)展的趨關(guān)鍵甚因素抗之一叛。根迫據(jù)已接有數(shù)偏據(jù)，爸運(yùn)用測(cè)數(shù)學(xué)伶建模偉的方糟法，迎對(duì)中直國(guó)人刻口做懸出分傅析和牲預(yù)測(cè)隔是一祖?zhèn)€重奸要問震題。僵近年蔬來(lái)中嶺國(guó)的攏人口郊發(fā)展默出現(xiàn)侍了一末些新仰的特秤點(diǎn)，奮例如貞，老途齡化靜進(jìn)程膝加速攔、出喬生人息口性票別比蛙持續(xù)京升高匆，以隙及鄉(xiāng)剖村人虧口城誘鎮(zhèn)化馳等因燒素，侄這些僚都影擊響著吃中國(guó)聯(lián)人口策的增賤長(zhǎng)。20鐵07年初憶發(fā)布稅的《國(guó)家皇人口曲發(fā)展存戰(zhàn)略綱研究屋報(bào)告》(附錄1)還做鉛出了愈進(jìn)一嚼步的榨分析必。怎關(guān)于盜中國(guó)鉤人口名問題叔已有以多方炕面的播研究伯，并快積累蛋了大秋量數(shù)抄據(jù)資熔料?？赘戒?就是認(rèn)從《中國(guó)鴉人口各統(tǒng)計(jì)見年鑒》上收代集到津的部段分?jǐn)?shù)輕據(jù)。贈(zèng)試秒從中熊國(guó)的