切線的性質(zhì)和判定

切線的性質(zhì)和判定第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五.Ol特點(diǎn)：.O叫做直線和圓相離。直線和圓沒有公共點(diǎn)，l特點(diǎn)：直線和圓有唯一的公共點(diǎn)，叫做直線和圓相切。這時(shí)的直線叫切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。.Ol特點(diǎn)：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，叫直線和圓相交，這時(shí)的直線叫做圓的割線。復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系一、用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來區(qū)分.A.A.B切點(diǎn)第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五．Ｏl┐dr．ｏl2、直線和圓相切┐drd=r．Ol3、直線和圓相交d<rd┐r二、用圓心o到直線l的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來區(qū)分1、直線和圓相離d>r第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五

下雨天轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水，以及在砂輪上打磨工件飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出．

1當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)水飛出的方向是什么方向？2砂輪打磨零件飛出火星的方向是什么方向？情景導(dǎo)入第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五想一想過圓0內(nèi)一點(diǎn)作直線，這條直線與圓有什么位置關(guān)系？過半徑OA上一點(diǎn)（A除外）能作圓O的切線嗎？過點(diǎn)A呢？Orl

A第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)過半徑的外端且垂于這條半徑的直線是圓的切線。

條件：(1)經(jīng)過半徑的外端；圓的切線判定定理：(2)垂直于過該點(diǎn)半徑；●O┐Al∵l⊥OA，且l經(jīng)過⊙O上的A點(diǎn)∴直線l是⊙O的切線符號(hào)語言表達(dá)第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五說明：在此定理中，題設(shè)是“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，結(jié)論為“直線是圓的切線”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線，

下面兩個(gè)反例說明只滿足其中一個(gè)條件的直線不是圓的切線：

定理辨析第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五判斷1.過半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的直線是圓的切線（）3.過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）×××OrlAOrlAOrlA第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五1、如何判定一條直線是已知圓的切線？(1)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)過半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直的直線是圓的切線；(d=r)歸納：第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五例1

直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C,并且OA=OB,CA=CB,

求證:直線AB是⊙O的切線.證明:連接OC∵OA=OB,CA=CB∴△OAB是等腰三角形,OC

是底邊AB上的中線∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線OCBA這種證明方法簡記為：“證切線，連半徑，證垂直”注意：使用此方法時(shí)必須已知直線與圓有一公共點(diǎn)。第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)1、如圖4，AB是⊙O的直徑，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切線嗎？為什么？

BACO解：∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=450∴∠BAC=900即AB⊥AC

∵

AB是⊙O的直徑∴AC是⊙O的切線變式練習(xí)第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)2、如圖:線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、C，∠BAD=∠B=30°，邊BD交圓于點(diǎn)D。BD是⊙O的切線嗎？為什么？AOBCD解：BD是⊙O的切線連接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=300

∴∠BOD=600

∴∠ODB=900即：OD⊥DB∴BD是⊙O的切線變式練習(xí)第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五證明：連結(jié)OP?！逜B為直徑∴OB=OA，∵BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP?！郟E為⊙0的切線。練習(xí)3,△ABC中，以AB為直徑的⊙O，交邊BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求證:PE是⊙O的切線。OABCEP變式練習(xí)第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五例2:已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCED證明：過O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半徑∴AC是⊙O的切線。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡記為：連半徑,證垂直。

(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段為輔助線,再證垂線段長等于半徑長。簡記為：作垂直,證半徑。OBACOABCED第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五.OAL思考如圖：如果直線L是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,那么半徑OA與直線L是不是一定垂直呢?一定垂直切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑∵直線L是⊙O的切線，A是切點(diǎn)。∴L⊥OA于A點(diǎn)簡記為：“知切線，連半徑，得垂直”第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五探索切線性質(zhì)假設(shè)AB與CD不垂直,過點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD,垂足為M,則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.CDB●OA所以AB與CD垂直.M第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五例3如圖，AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.求證：AC平分∠DAB．AODCB證明：連接OC．∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五1，如圖：AC是⊙O的切線，∠B=600。求∠CAD=?BACODAOCB

2，如圖：以O(shè)為圓心的同心圓，大圓的弦AB是小圓的切線，C是切點(diǎn)，求證：C是AB的中點(diǎn)。變式練習(xí)第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五

已知如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D。AC與⊙O相切嗎？為什么?E解：AC與⊙O相切連接OD,作OE⊥AC∴∠OEC=900∵AB是⊙O的切線∴OD⊥AB,∴∠ODB=900=∠OEC∵AB=AC∴∠B=∠C∵O是BC的中點(diǎn)∴OB=OC∴△OBD≌△OCE∴OD=OE∴AC與⊙O相切變式練習(xí)第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五課堂小結(jié)1.判定切線的方法有哪些？直線l

與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線2.常用的添輔助線方法？⑴直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過公共點(diǎn)的半徑，再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直）⑵直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑）l是圓的切線l是圓的切線3.圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于圓的半徑。輔助線作法：連接圓心與切點(diǎn)可得半徑與切線垂直。即“連半徑，得垂直”。第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五1.切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn).2.切線和圓心的距離等于半徑.3.切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn).5.經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心.切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)３、４、５可歸納為:已知直線滿足a.過圓心,b.過切點(diǎn),c.垂直于切線中任意兩個(gè),便得到第三個(gè)結(jié)論.總結(jié)：第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中點(diǎn)E為圓心的圓與AB相切，梯形的上底AD與底BC是方程x2－10x+16=0的兩根，求⊙E的半徑r.F解：連接EF∵x2－10x+16=0(X-2)(X-8)=0X1=2X2=8∴BC=8AD=2∵AB是⊙O的切線∴EF⊥AB∵AB⊥BC∴EF//BC//AD∵E是DC的中點(diǎn)∴EF是梯形ABCD的中位線∴EF=(AD+BC)=5拓展提高第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期五切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用例.已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm,直角邊AC=4cm.以點(diǎn)C為圓心作圓,當(dāng)半徑為多長時(shí),AB與⊙C相切解:(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D.∵AB=8cm,AC=4cm.∴∠A=60°因此,當(dāng)半徑長為cm時(shí),AB與⊙C相切.BAC┐∴∠B=30°D┛

練一練第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023