線性離散系統(tǒng)與變換詳解演示文稿

線性離散系統(tǒng)與變換詳解演示文稿目前一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點優(yōu)選線性離散系統(tǒng)與變換目前二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點6.1概述在連續(xù)控制系統(tǒng)中，所有傳遞的信號（控制信號、反饋信號、偏差信號）都是時間的連續(xù)函數(shù)；而在離散控制系統(tǒng)中，上述信號不是時間變量的連續(xù)函數(shù)，而是時間上離散的脈沖序列或數(shù)碼，即離散信號。離散信號通常是按照一定的時間間隔對連續(xù)的模擬信號進行采樣而得到的，這樣的信號又稱為采樣信號。目前三頁\總數(shù)七十九頁\編于八點通常把用采樣開關(guān)（采樣器）將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為脈沖序列形式的離散系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)。把用模-數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D）將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字序列形式并用數(shù)字計算機或控制器進行控制的離散系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)。目前四頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-1為典型的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)原理圖連續(xù)偏差信號瞬時脈沖幅值實現(xiàn)脈沖序列轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號圖6-1典型的閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)原理圖目前五頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-2為典型的計算機控制系統(tǒng)原理圖圖6-2典型計算機控制系統(tǒng)原理圖目前六頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-3為計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖理想采樣開關(guān)圖6-3計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖目前七頁\總數(shù)七十九頁\編于八點離散控制系統(tǒng)廣泛應(yīng)用的主要原因：

（1）由數(shù)字計算機構(gòu)成的數(shù)字校正裝置易于通過改變計算程序而靈活地實現(xiàn)控制規(guī)律的改變（如自適應(yīng)、最優(yōu)化、智能控制等），從而可以大大地提高控制系統(tǒng)的性能；

（2）采用高靈敏度的控制元件，可以提高系統(tǒng)的控制精度；

（3）離散信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干擾能力；

（4）用一臺計算機分時控制若干個被控對象，以提高設(shè)備的利用率。目前八頁\總數(shù)七十九頁\編于八點6.2采樣過程與采樣定理一、采樣過程二、采樣定理

采樣信號的拉氏變換采樣信號的頻譜采樣定理三、信號保持目前九頁\總數(shù)七十九頁\編于八點一、采樣過程采樣過程，即按照一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣，將其變換為在時間上離散的脈沖序列的過程。把連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又稱采樣開關(guān)。目前十頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-4采樣過程采樣器每隔時間T瞬時閉合一下立即打開，閉合的時間為τ，當(dāng)信號x(t)加在輸入端時，在輸出端得到的是開關(guān)閉合瞬時輸入信號x(t)的幅值，在開關(guān)打開的時間內(nèi)，輸出端沒有信號。圖6-4采樣過程目前十一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-5采樣信號的調(diào)制過程圖6-5采樣信號的調(diào)制過程目前十二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點實際脈沖序列數(shù)學(xué)表達(dá)式:當(dāng)實際脈沖持續(xù)時間h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期T0時，實際脈沖序列可近似用平頂脈沖序列表示。目前十三頁\總數(shù)七十九頁\編于八點其中表示發(fā)生在nT0時刻單位強度脈沖表示發(fā)生在nT0時刻強度為ε(nT0)脈沖當(dāng)脈沖持續(xù)時間h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小于周期T0，同時也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于用以描述數(shù)字控制系統(tǒng)中具有連續(xù)工作狀態(tài)部分慣性的時間常數(shù)時，式中表示發(fā)生在t=nT0時刻的具有單位強度的理想脈沖，即目前十四頁\總數(shù)七十九頁\編于八點從物理意義上講，上述采樣過程可以理解為脈沖調(diào)制過程。采樣器是一種理想脈沖發(fā)生器，通過它將連續(xù)函數(shù)調(diào)制成理想脈沖序列。目前十五頁\總數(shù)七十九頁\編于八點二、采樣定理1、采樣信號的拉氏變換2、采樣信號的頻譜3、采樣定理目前十六頁\總數(shù)七十九頁\編于八點1、采樣信號的拉氏變換目前十七頁\總數(shù)七十九頁\編于八點2、采樣信號的頻譜由于采樣信號x*(t)只描述了x(t)在采樣瞬時的數(shù)值，所以X*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)x(t)在采樣間隔之間的信息。因此，采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜相比要發(fā)生變化。研究采樣信號的頻譜，目的是找出X*(s)與X(s)之間的相互聯(lián)系。目前十八頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-7連續(xù)信號的頻譜通常連續(xù)信號x(t)的頻譜|X(jω)|是單一的連續(xù)頻譜，如圖6-7所示。其中ωmax為連續(xù)頻譜的最大截止頻率；目前十九頁\總數(shù)七十九頁\編于八點離散信號x*(t)的頻譜則是以采樣角頻率ωs為周期的無窮多個頻譜之和，如圖6-8所示，其中n=0時，|X(jω)|為采樣頻譜的主頻譜，其余頻譜（n=±1,±2,…）都是由于采樣而引起的高頻頻譜。目前二十頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-8離散信號的頻譜根據(jù)采樣角頻率ωs的大小，采樣頻譜可能有兩種情況：一種是采樣角頻率ωs大于兩倍的連續(xù)頻譜的最大截止頻率ωmax，即ωs≥2ωmax，此時，采樣信號的頻譜不會發(fā)生重迭，如圖6-8(a)所示；另一種情況是當(dāng)ωs＜2ωmax時，采樣信號的頻譜相互發(fā)生重迭，如圖6-8(b)所示。圖6-8離散信號的頻譜目前二十一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖7-7離散信號的頻譜當(dāng)ωs≥2ωmax時，如果用一個如圖6-8（a）虛線所示的低通濾波器濾掉|ω|>ωmax的高頻分量，那么在濾波器輸出端便可得到|X(jω)|的連續(xù)頻譜，除了幅值變化1/T倍外，頻譜形狀沒有畸變，從而可以將原信號恢復(fù)出來。當(dāng)ωs<2ωmax時，就是采用低通濾波器也無法恢復(fù)原信號。綜上所述，可以歸納出一條重要結(jié)論，即采樣定理。

圖6-8離散信號的頻譜目前二十二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點3、采樣定理為了使采樣后的信號不丟失原連續(xù)信號的信息，或者說為了能將采樣后的離散信號x*(t)恢復(fù)為原連續(xù)信號x(t)，必須滿足：采樣頻率ωs大于或等于兩倍連續(xù)輸入信號x(t)頻譜的上限頻率ωmax，即ωs≥2ωmax

在控制工程實踐中，一般總?cè)ˇ豷>2ωmax,，而不取恰好等于2ωmax的情形。目前二十三頁\總數(shù)七十九頁\編于八點三、信號保持（1）在離散控制系統(tǒng)中，把離散脈沖序列較準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號復(fù)現(xiàn)過程。實現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。從數(shù)學(xué)上說，保持器的任務(wù)是解決各采樣點之間的插值問題。目前二十四頁\總數(shù)七十九頁\編于八點三、信號保持（2）在滿足采樣定理的條件下，采用理想濾波器濾去各高頻分量，保留主頻譜，就可以無失真的復(fù)現(xiàn)采樣器的輸入信號。理想濾波器實際上是不存在的。工程上，通常只能采用接近于理想濾波器的低通濾波器來近似代替。目前二十五頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-9零階保持器的輸出特性

零階保持（滯后）圖6-9零階保持器的輸出特性目前二十六頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-10零階保持器的頻率特性

圖6-10零階保持器的頻率特性圖目前二十七頁\總數(shù)七十九頁\編于八點圖6-10零階保持器的頻率特性

目前二十八頁\總數(shù)七十九頁\編于八點6.3Z變換和Z反變換Z變換是從拉氏變換引伸出來的一種變換方法。利用Z變換可將描述離散系統(tǒng)動態(tài)過程的差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使求解過程大為簡化。因此，Z變換成為分析離散控制系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。目前二十九頁\總數(shù)七十九頁\編于八點6.3Z變換和Z反變換一、Z變換的定義二、Z變換的基本定理1、線性定理2、滯后定理3、超前定理4、初值定理5、終值定理6、位移定理三、Z反變換目前三十頁\總數(shù)七十九頁\編于八點一、Z變換的定義(1)由連續(xù)函數(shù)x(t)得拉氏變換為設(shè)x(t)的采樣信號為x*(t)，則其拉氏變換式為目前三十一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點一、Z變換的定義(2)在上式中，e-Ts是s的超越函數(shù)，不便直接運算。為了便于應(yīng)用，令變量z=eTs（6-16）將式（6-16）代入式（6-15）中，則采樣信號x*(t)的Z變換定義為目前三十二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點一、Z變換的定義(3)Z變換是拉氏變換的一種變形。Z變換只是表示了連續(xù)信號在采樣時刻的特性，并不能反映采樣時刻之間的特性。上式中Z[x(t)]是為了書寫方便，并不意味著對連續(xù)信號x(t)取Z變換，而是仍指采樣信號x*(t)的Z變換。目前三十三頁\總數(shù)七十九頁\編于八點例6-1求單位階躍函數(shù)l(t)的Z變換。目前三十四頁\總數(shù)七十九頁\編于八點例6-2求指數(shù)函數(shù)e-αt的Z變換。目前三十五頁\總數(shù)七十九頁\編于八點例6-3目前三十六頁\總數(shù)七十九頁\編于八點對于任意G(s)，只要它為s的有理函數(shù)，且分母多項式能夠分解因式時，都可以通過部分分式法，將其分解為部分分式，然后求出相應(yīng)的Z變換式。附錄中列出了常用時間函數(shù)的Z變換和拉普拉斯變換式，利用此表可以根據(jù)給定的時間函數(shù)或拉普拉斯變換式直接查出對應(yīng)的Z變換。目前三十七頁\總數(shù)七十九頁\編于八點二、Z變換的基本定理1、線性定理2、滯后定理3、超前定理4、初值定理5、終值定理6、位移定理目前三十八頁\總數(shù)七十九頁\編于八點1、線性定理Z變換也遵從線性函數(shù)的齊次性和迭加性。目前三十九頁\總數(shù)七十九頁\編于八點2、滯后定理(平移定理)若函數(shù)x(t-mT)比函數(shù)x(t)右移（滯后）m個采樣周期，且x(t)的Z變換為X(z),則有滯后定理說明，原函數(shù)在時域中滯后m個采樣周期，相當(dāng)于其Z變換乘以z-m。顯然，算子z-m有明確的物理意義：z-m代表時域中的滯后環(huán)節(jié)，它將采樣信號滯后m個采樣周期。目前四十頁\總數(shù)七十九頁\編于八點3、超前定理(正偏移定理)若函數(shù)x(t+mT)比函數(shù)x(t)左移（超前）m個采樣周期，且x(t)的Z變換為X(z)，則超前定理說明，原函數(shù)在時域中超前m個采樣周期，相當(dāng)于其Z變換乘以zm。目前四十一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點4、初值定理目前四十二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點5、終值定理目前四十三頁\總數(shù)七十九頁\編于八點6、復(fù)數(shù)位移定理目前四十四頁\總數(shù)七十九頁\編于八點三、Z變換方法1、級數(shù)求和法2、部分分式法3、留數(shù)計算法目前四十五頁\總數(shù)七十九頁\編于八點2.部分分式法設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)為有理函數(shù)，即將X(s)展成部分分式形式可得由拉氏反變換可知,的時間函數(shù)為目前四十六頁\總數(shù)七十九頁\編于八點可得,Ｘ(s)的Z變換為的Z變換為例6.3、6.4目前四十七頁\總數(shù)七十九頁\編于八點3.留數(shù)計算法設(shè)連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及其全部極點pi（i=1,2,3…)為已知，則連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換可由留數(shù)計算法求得例6.5、6.6目前四十八頁\總數(shù)七十九頁\編于八點四、Z反變換目前四十九頁\總數(shù)七十九頁\編于八點2.部分分式法與應(yīng)用部分分式法求拉氏反變換相似。與它對應(yīng)的時間函數(shù)為式中Z變換為所以x(t)的Ｚ變換為可得目前五十頁\總數(shù)七十九頁\編于八點例6.11、6.123.留數(shù)計算法由反演積分法推導(dǎo)出，參見胡壽松（第四版）教材。例6.13、6.14、6.15根據(jù)的極點分布情況，（1）極點不同時，目前五十一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點五、連續(xù)系統(tǒng)的離散化方程－差分方程差分方程是用來描述離散化系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。對于一般的離散系統(tǒng)，如果它的Z變換可以寫成目前五十二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點則根據(jù)Z反變換，它的差分方程可以寫成如下例6.16、6.17目前五十三頁\總數(shù)七十九頁\編于八點六、用Z變換法求解差分方程用Z變換法求解差分方程，與用拉氏變換法求解微分方程類似。采用Z變換法求解差分方程的實質(zhì)是將差分方程變換成以z為變量的代數(shù)方程，通過該代數(shù)方程，獲得差分方程的解。目前五十四頁\總數(shù)七十九頁\編于八點六、用Z變換法求解差分方程設(shè)x(k)的Z變換為Z[x(k)]=X(z)，則x(k+1)的Z變換為同樣，當(dāng)m為正整數(shù)時，則有例6.18、6.19目前五十五頁\總數(shù)七十九頁\編于八點6.4脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義2、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)）3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)目前五十六頁\總數(shù)七十九頁\編于八點1、脈沖傳遞函數(shù)定義目前五十七頁\總數(shù)七十九頁\編于八點1、脈沖傳遞函數(shù)定義系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比。脈沖傳遞函數(shù)求解步驟：1）求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s).2）根據(jù)拉氏變換，求脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t).3）計算例6.20目前五十八頁\總數(shù)七十九頁\編于八點2、開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（串聯(lián)時的Z傳遞函數(shù)）目前五十九頁\總數(shù)七十九頁\編于八點3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)目前六十頁\總數(shù)七十九頁\編于八點3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)目前六十一頁\總數(shù)七十九頁\編于八點3、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)目前六十二頁\總數(shù)七十九頁\編于八點