非線性控制系統(tǒng)分析課件

非線性控制系統(tǒng)分析發(fā)電機(jī)激磁曲線例：小偏差線性化法或者切線法非線性控制系統(tǒng)問(wèn)題的引出一、非線性控制的概念非線性控制系統(tǒng)：當(dāng)系統(tǒng)中含有一個(gè)或多個(gè)具有非線性特性的元件時(shí)，該系統(tǒng)稱為非線性控制系統(tǒng)。

非線性特性：指系統(tǒng)中某些元件的輸入輸出關(guān)系不是按線性規(guī)律變化。8-1非線性系統(tǒng)概述（P386）1.飽和特性a–線性域?qū)挾萲–線性域斜率符號(hào)函數(shù)(開(kāi)關(guān)函數(shù))二、典型非線性特性P389

其中，飽和特性將使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的等效開(kāi)環(huán)增益減小，降低穩(wěn)態(tài)精度，但提高相對(duì)穩(wěn)定性；在有些系統(tǒng)中利用飽和特性為信號(hào)限幅。

問(wèn)題：如圖系統(tǒng)中連續(xù)串聯(lián)兩級(jí)具有飽和特性的元件，為充分應(yīng)用兩級(jí)飽和元件的線性區(qū)，則這兩級(jí)飽和元件的線性區(qū)之間應(yīng)該滿足什么關(guān)系？rec+-xk1a10k2a202.死區(qū)(不靈敏區(qū))特性

a–死區(qū)寬度k–線性輸出斜率死區(qū)特性將使系統(tǒng)等效開(kāi)環(huán)增益減小，降低穩(wěn)態(tài)性能，但提高相對(duì)穩(wěn)定性；系統(tǒng)輸出在時(shí)間上滯后，降低了系統(tǒng)的跟蹤精度；可以濾去輸入端的小擾動(dòng)信號(hào)，提高抗干擾能力。

問(wèn)題：如圖系統(tǒng)中連續(xù)串聯(lián)兩級(jí)具有死區(qū)特性的元件，則輸入信號(hào)e至少要多大才使得系統(tǒng)有輸出（或者總的死區(qū)寬度至少為多少）？rec+-xk1a1k2a2003.繼電器特性---人為特性（只需掌握3個(gè)化簡(jiǎn)的繼電器特性）

0

M

h

mhx(t)e(t)

-M

-mh

-hh–繼電器吸合電壓mh–繼電器釋放電壓M–繼電器飽和輸出

0

hx(t)e(t)

-h-MM理想繼電特性

0e(t)x(t)-MM

0

hx(t)e(t)M-M

-h死區(qū)繼電特性滯環(huán)繼電特性

0

M

h

mhx(t)e(t)

-M

-mh

-h1234.變?cè)鲆嫣匦?--人為特性k1、k2–輸出特性斜率a–切換點(diǎn)x(t)

0

k1

a

-ae(t)

k2變?cè)鲆嫣匦允沟孟到y(tǒng)在大誤差信號(hào)作用下具有較大的增益，從而改善穩(wěn)態(tài)性能；在小誤差信號(hào)作用下，具有較小的增益，提高相對(duì)穩(wěn)定性。5.間隙(滯環(huán))特性（P390）

x(t)

0

k

b

a

-a-be(t)2a–間隙寬度b–常數(shù)k–輸出特性斜率6.摩檫特性(反號(hào)的理想繼電特性)（P390）

xM-M0三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)（P387

）1.非線性控制系統(tǒng)不滿足疊加原理（與線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別）。2.穩(wěn)定性：非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，除與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)外，還與初始條件密切相關(guān)。

非線性控制系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，且有些是穩(wěn)定的，有些是不穩(wěn)定的。三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)（P387

）續(xù)3.穩(wěn)定的自(持)振蕩：除了發(fā)散或收斂這兩種運(yùn)動(dòng)形式外，還存在第三種運(yùn)動(dòng)形式。即在無(wú)任何外力作用下，系統(tǒng)能夠產(chǎn)生具有一定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅振蕩運(yùn)動(dòng)，即自(持)振蕩。例：混沌三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)（P387

）續(xù)4.對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出不是正弦信號(hào)，而是多種頻率的周期信號(hào)的組合。四、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法（P389）※描述函數(shù)法

----頻域分析法※相平面法

----時(shí)域分析法

1.基本思想—諧波線性化諧波線性化是指對(duì)于具有本質(zhì)非線性的非線性元件，用輸出信號(hào)中的一次諧波分量（基波分量）來(lái)代替非線性元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出。8-4※描述函數(shù)法（P408）

一、描述函數(shù)的基本概念正弦信號(hào)輸入下非線性特性輸出的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)直流分量n次諧波2.描述函數(shù)定義(P408)在正弦輸入下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中基波（一次諧波）分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比稱為為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。描述函數(shù)計(jì)算方法其中：非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)x(t)ωtx(t)ωtx(t)ωtωtx(t)xe二、典型非線性特性的描述函數(shù)---P411

1.飽和特性的描述函數(shù)

2.死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性的描述函數(shù)

3.繼電特性的描述函數(shù)4.變?cè)鲆嫣匦缘拿枋龊瘮?shù)x(t)

0

k1

a

-ae(t)

k2x1(t)

0

k1

a

-ae(t)

k2x2(t)

0

a

-ae(t)+x4(t)

0

a

-ae(t)

k2x3(t)

0

k1

a

-ae(t)+三、非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化(P415)

1.并聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的等效描述函數(shù)

結(jié)論：非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后，總描述函數(shù)等于各個(gè)非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。

例：例:圖為一個(gè)死區(qū)非線性環(huán)節(jié)與一個(gè)具有死區(qū)的繼電非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，化簡(jiǎn)此組合特性。2.串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的等效描述函數(shù)

結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其總的描述函數(shù)不等于

兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積；

方法：先求出總的等效非線性特性，然后根據(jù)總的等效非線性特性求總的描述函數(shù)。

四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法(P417)crN(A)

-G(s)

負(fù)倒描述函數(shù)ex1)如果由向移動(dòng)時(shí)，始終處于的的左側(cè)，即曲線不包圍曲線，非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定；1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定規(guī)則（P=0)2)如果由向移動(dòng)時(shí)，始終處于的的右側(cè)，即曲線包圍曲線，非線性控制系統(tǒng)不穩(wěn)定；3)如果曲線與曲線相交，非線性控制系統(tǒng)可能在交點(diǎn)處出現(xiàn)自持振蕩。

判斷原則：沿方向，①如果

由穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，則交點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

②如果由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則交點(diǎn)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并產(chǎn)生自持振蕩。自持振蕩的頻率和振幅為交點(diǎn)處的。1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定規(guī)則（P=0)續(xù)2.典型非線性特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響ex3.消除非線性系統(tǒng)自振蕩的措施不與-1/N(A)曲線相交。不與G(jω)曲線相交;(1)改變線性部分的參數(shù)，使G(jω)曲線(3)增加校正環(huán)節(jié)，改變G(jω)曲線形狀，(2)改變非線性特性的參數(shù)，使-1/N(A)曲線不與曲線-1/N(A)相交;熟練掌握運(yùn)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自（持）振蕩的方法和步驟；并能正確計(jì)算自（持）振蕩振幅和頻率；消除非線性系統(tǒng)自（持）振蕩的方法。描述函數(shù)法小結(jié)2003考題:非線性系統(tǒng)如圖所示

要求：

1）給出的表達(dá)式。

2）如何消除自（持）振蕩？極值x2002考題:非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描

述函數(shù)曲線和線性部分的頻率曲線如圖，且線性部分是最小相位環(huán)節(jié)。1.該系統(tǒng)是否存在自持振蕩？為什么？2.若存在自持振蕩，穩(wěn)定自持振蕩點(diǎn)是C10還是C20？為什么？8-3相平面法(P393)相變量:和為系統(tǒng)相變量（狀態(tài)變量）。

相平面:以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)構(gòu)成的直角坐標(biāo)平面稱為相平面。相軌跡:相變量從初始值起，隨著時(shí)間t的推移，在相平面上形成的曲線稱為相軌跡。相軌跡上的箭頭表示參變量時(shí)間t增大的方向(P393)。

相平面圖：不同初始條件下的相軌跡形成相軌跡簇，由一簇相軌跡組成的圖形稱為相平面圖。一、相平面的基本概念２.運(yùn)動(dòng)方向上半平面—從左向右移動(dòng)下半平面—從右向左移動(dòng)３.通過(guò)x軸時(shí)，一般垂直穿越x軸（奇點(diǎn)除外）。1.除奇點(diǎn)外，相平面上各點(diǎn)的斜率唯一。即除奇點(diǎn)外，相軌跡不相交。

二、相軌跡的特點(diǎn)三、相軌跡的繪制方法1.※解析法

（1）根據(jù)相軌跡斜率方程分離變量積分法；（2）消去參變量

t

法；例設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為常量。試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。2.等傾線法（一般了解）給不同值得若干條等傾線

。一般等傾線間隔取。2.在每根等傾線上畫上斜率為

的短線，表示相軌跡通過(guò)這些等傾線時(shí)的切線斜率，短線上的箭頭表示相軌跡運(yùn)動(dòng)方向。3.由初始條件出發(fā)，沿切線方向?qū)⑦@些短線用光滑連續(xù)曲線連接起來(lái)，便得到相軌跡。三、相軌跡的繪制方法

等傾線定義：在相平面上相軌跡斜率相同的點(diǎn)的連線。例：四．由相平面求時(shí)間間隔0121.※積分法:

2.增量法:

相軌跡圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不能收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。1.五、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P395)

2.

0js1s2

0相軌跡為向心螺旋線最終趨于原點(diǎn)。是一個(gè)收斂的運(yùn)動(dòng)。對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

0j

0相軌跡為離心螺旋線，最終發(fā)散至無(wú)窮。奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

3.s1s2當(dāng)初始點(diǎn)落在斜率分別等于兩個(gè)根的兩條特殊等傾線時(shí)，相軌跡沿直線趨于原點(diǎn)；否則，相軌跡是一簇拋物線，始于初始狀態(tài)，終于奇點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

4.

0j

0s1s2P398ζ=1相軌跡0當(dāng)初始狀態(tài)滿足相軌跡沿直線趨于奇點(diǎn)。否則，相軌跡是一簇拋物線，始于初始狀態(tài)，終于奇點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。P398

0j

0當(dāng)初始點(diǎn)落在斜率分別等于兩個(gè)根的特殊等傾線時(shí)，相軌跡沿直線遠(yuǎn)離原點(diǎn);否則相軌跡是一簇拋物線，起始于初始狀態(tài)，趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，反向延長(zhǎng)交于奇點(diǎn)。奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。5.s1s2P3990當(dāng)初始狀態(tài)滿足相軌跡沿直線遠(yuǎn)離奇點(diǎn)。否則，相軌跡是一簇拋物線，始于初始狀態(tài)，趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，反向延長(zhǎng)交于奇點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。P399只有初始值落在負(fù)斜率的等傾線上，運(yùn)動(dòng)將趨于原點(diǎn)。即使這種情況，如受到微小的擾動(dòng)，將偏離該軌跡，發(fā)散至無(wú)窮。奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。6.j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)

s1j0

s2j0s2s1j0s1s2二階線性系統(tǒng)相軌跡奇點(diǎn)類型與根和穩(wěn)定性的對(duì)應(yīng)關(guān)系中心點(diǎn)例：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)，試?yán)孟嗥矫娣▽?duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。其中，

1）：

2）：結(jié)論線性系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況；線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置和相軌跡的起點(diǎn)位置則取決于輸入信號(hào)的形式。六、非線性系統(tǒng)的相平面分析

1．非線性系統(tǒng)的相平面分析原理非線性系統(tǒng)都可通過(guò)幾個(gè)分段的線性系統(tǒng)來(lái)近似。因此非線性系統(tǒng)的相平面可相應(yīng)的劃分成若干不同區(qū)域。每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)相軌跡。根據(jù)每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類型可判斷系統(tǒng)每個(gè)區(qū)域的穩(wěn)定性。2.非線性系統(tǒng)的相平面分析中的幾個(gè)概念在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換，區(qū)域的邊界線稱為開(kāi)關(guān)線。若該奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則稱為實(shí)奇點(diǎn)。若奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的區(qū)域外，則稱為虛奇點(diǎn)。表示屬于該區(qū)域的相軌跡永遠(yuǎn)到不了該奇點(diǎn)。1)將系統(tǒng)中的非線性特性用分段的直線特性來(lái)表示，并寫出非線性特性數(shù)學(xué)表達(dá)式；2）根據(jù)系統(tǒng)線性部分，寫出系統(tǒng)二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；

※3)在相平面選擇合適的坐標(biāo)，常用或。結(jié)合非線性特性將相平面分成幾個(gè)區(qū)域，寫出每個(gè)區(qū)域內(nèi)的線性系統(tǒng)微分方程。4)根據(jù)各運(yùn)動(dòng)方程式的條件方程，在相平面上做出開(kāi)關(guān)線。3.相平面法分析非線性系統(tǒng)的步驟3.相平面法分析非線性系統(tǒng)的步驟續(xù)5)從系統(tǒng)初始值所在的區(qū)域開(kāi)始，依次畫出各區(qū)域內(nèi)的線性系統(tǒng)的相軌跡（解析法或者等傾線法）

注意：前一個(gè)線性區(qū)域的相軌跡到達(dá)開(kāi)關(guān)線處的交點(diǎn)就是下一個(gè)線性區(qū)域的初始值，以此類推繪出所有的線性區(qū)域的相軌跡圖；6)根據(jù)相軌跡，判斷非線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。例1：含飽和特性的非線性系統(tǒng)分析

r

c

e

-

Ma0

1）：

2）：例2：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析k=120rec+-x用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=4.1(t)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況?；仡櫍河上嗥矫媲髸r(shí)間間隔0121.※積分法:

2.增量法:

例3：具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)分析rec+-