高中數(shù)學(xué)人教高中必修第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系平面

2.1空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系§2.1.1平面一、平面1.概念

數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果，幾何中的平面是無限延展的。點(diǎn)評：幾何里的平面的特征:1.無限延展2.不計(jì)大小3.不計(jì)厚?。]有邊界）（無所謂面積）（沒有質(zhì)量）思考？判定下列說法是否正確：①書桌面是平面；②8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚；③有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m；④平面是絕對的平，無厚度，可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

(1)通常畫平行四邊形表示平面，當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊長的2倍。

（3）畫直立平面時(shí)，要有一組對邊為豎直。水平平面：豎直平面2.平面的畫法:(2)有時(shí)也可根據(jù)需要用其它平面圖形表示,如:矩形、三角形、圓等。在幾何中，怎樣去表示一條直線？兩個(gè)相交面畫法：αβ被遮擋部分用虛線表示兩個(gè)平行平面的畫法：

平面可以用希臘字母α、β表示，也可以用代表表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的字母表示.3.平面的表示方法：ABCD如：平面ABCD，平面AC，平面BD點(diǎn)與、直線、平面的位置關(guān)系

直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，直線和平面可以看成點(diǎn)的集合．點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外都可以用元素與集合的屬于、不屬于關(guān)系來表示．直線與平面的關(guān)系又怎么表示呢？1.點(diǎn)和直線的關(guān)系？2.點(diǎn)和平面的關(guān)系？3.直線和平面的關(guān)系？(1)點(diǎn)在直線上(2)點(diǎn)在直線外lAA(1)點(diǎn)在平面內(nèi)(2)點(diǎn)在平面外AAlAl(1)直線在平面內(nèi)l(2)直線在平面外l點(diǎn)、直線、平面的基本關(guān)系

文字語言符號(hào)語言圖形語言

點(diǎn)P在直線AB上（或直線AB經(jīng)過點(diǎn)P）

點(diǎn)C不在直線AB上（或直線AB不經(jīng)過點(diǎn)C）

點(diǎn)M在平面AC內(nèi)（或平面AC經(jīng)過點(diǎn)M）

點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)（或平面AC不經(jīng)過點(diǎn)A1）直線AB與直線BC交于點(diǎn)B直線AB在平面AC內(nèi)（或平面AC經(jīng)過直線AB）直線AA1不在平面AC內(nèi)（或平面AC不經(jīng)過直線AA1

）PABCABCAMCAA1ABCCABCAA2A1CAA2A1題型一文字、圖形、符號(hào)三種語言的轉(zhuǎn)化【典例1】用符號(hào)語言表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個(gè)平面α、β、γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC；(2)平面ABD與平面BCD交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.[思路導(dǎo)引]根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系作圖，注意看不見的部分用虛線連接．[解](1)符號(hào)語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖1所示．(2)符號(hào)語言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示：如圖2所示．①(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.[解](1)點(diǎn)P∈直線AB；(2)點(diǎn)C?直線AB；(3)點(diǎn)M∈平面AC；(4)點(diǎn)A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.①YOURSITEHERE

如果直線l與平面α有一個(gè)公點(diǎn)，直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理探究1：①YOURSITEHERE探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理ABl圖形語言：符號(hào)語言：作用：判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)．公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．①用一個(gè)圖釘（一支筆的筆尖）能否支撐起一個(gè)硬紙板？兩個(gè)圖釘（兩支筆的筆尖）能否支撐起一個(gè)硬紙板？三個(gè)圖釘（三支筆的筆尖）呢？探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理探究2：用一根小棍（筷子）能否支撐起一個(gè)硬紙板？用兩根小棍（筷子）能否支撐起一個(gè)硬紙板？用一根小棍加一支筆尖能否支撐起一個(gè)硬紙板？①用一個(gè)圖釘（一支筆的筆尖）能否支撐起一個(gè)硬紙板？兩個(gè)圖釘（兩支筆的筆尖）能否支撐起一個(gè)硬紙板？三個(gè)圖釘（三支筆的筆尖）呢？探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理演示實(shí)驗(yàn)作出結(jié)論

公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．ACB存在性唯一性作用：確定平面的主要依據(jù)．符號(hào)語言：

生活中經(jīng)?？吹接萌羌苤握障鄼C(jī)．BCA①探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理演示實(shí)驗(yàn)作出結(jié)論用一根小棍（筷子）能否支撐起一個(gè)硬紙板？用兩根小棍（筷子）能否支撐起一個(gè)硬紙板？用一根小棍加一支筆尖能否支撐起一個(gè)硬紙板？一條直線和直線外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面.

兩條相交直線唯一確定一個(gè)平面.兩條平行直線唯一確定一個(gè)平面.推論1.經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論2.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論3.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。αlABCαabαab探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理公理二的推論

空間中四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面呢？探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理思考B把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理探究3：公理3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．作用：①判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)．②判斷點(diǎn)在直線上．lP③證明三點(diǎn)共線或者三線共點(diǎn)．探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)公理(2)經(jīng)過同一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面.(3)若點(diǎn)A∈直線a，點(diǎn)A∈平面，則a.(4)平面與平面相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).判斷下列命題是否正確:(1)經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面.××××對定理的理解YOURSITEHERE

在正方體中，判斷下列說法是否正確，并說明理由：①直線在平面內(nèi)；錯(cuò)誤小競賽YOURSITEHERE②設(shè)正方形ABCD與的中心分別為O，，則平面與平面的交線為；正確

在正方體中，判斷下列說法是否正確，并說明理由：小競賽YOURSITEHERE

在正方體中，判斷下列說法是否正確，并說明理由：③由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；錯(cuò)誤小競賽YOURSITEHERE

在正方體中，判斷下列說法是否正確，并說明理由：④由確定的平面是；⑤由確定的平面與由確定的平面是同一個(gè)平面．正確正確小競賽空間圖形文字?jǐn)⑹龇?hào)表示知識(shí)小結(jié)實(shí)例引入平面平面的畫法和表示點(diǎn)和平面的位置關(guān)系平面三個(gè)公理知識(shí)回顧本節(jié)重點(diǎn)——平面公理題型二共面問題【典例2】已知四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：這四條直線在同一平面內(nèi)．[思路導(dǎo)引]先由兩條相交直線確定一個(gè)平面，然后證明另外兩條直線也在這個(gè)平面中，從而證明四條滿足條件的直線共面．[證明](1)若a，b，c三線共點(diǎn)于O，如圖所示，∵O?d，∴經(jīng)過d與點(diǎn)O有且只有一個(gè)平面α.∵A、B、C分別是d與a、b、c的交點(diǎn)，∴A、B、C三點(diǎn)在平面α內(nèi)．∴由公理1知a、b、c都在平面α內(nèi)，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d無三線共點(diǎn)，如圖所示，∵a∩b＝A，由公理2知，經(jīng)過a、b有且僅有一個(gè)平面α，∴B、C∈α.由公理1知直線c?α.同理，E、D∈α，∴直線d?α，從而有a、b、c、d共面．綜上所述，四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)時(shí)，這四條直線在同一平面內(nèi)．

證明點(diǎn)線共面常用的方法(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)．(2)重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合．[針對訓(xùn)練2]如圖所示，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c，l共面.

公理三[證明]∵a∥b，∴a，b確定一個(gè)平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∵b∥c，∴b，c確定一個(gè)平面β.同理可證l?β.于是b?α，l?α，b?β，l?β，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b與l不重合，∴α與β重合，∴a，b，c，l共面．兩個(gè)不重合的平面相交，有且只有一條公共直線。題型三點(diǎn)共線問題【典例3】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.[思路導(dǎo)引]只需證明點(diǎn)P、Q、R三點(diǎn)既在平面ABC中，又在平面α中，由公理3即可證明三點(diǎn)共線．[證明]證法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點(diǎn)共線．證法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR，即BQ?面APR.∴Q∈面APR，又Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三點(diǎn)共線．[針對訓(xùn)練3]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：C1、O、M三點(diǎn)共線．[證明]由AA1∥CC1，則AA1與CC1確定一個(gè)平面A1C.∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.∴O點(diǎn)在平面BC1D與平面A1C的交線上．又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三點(diǎn)共線.空間圖形文字?jǐn)⑹龇?hào)表示知識(shí)小結(jié)實(shí)例引入平面平面的畫法和表示點(diǎn)和平面的位置關(guān)系平面三個(gè)公理知識(shí)回顧本節(jié)重點(diǎn)——平面公理謝謝觀看作業(yè)：課時(shí)作業(yè)合作探究：你們能用集合的符號(hào)語言來描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系嗎？文字語言符號(hào)語言圖形語言文字語言符號(hào)語言圖形語言點(diǎn)A在直線l上直線l與直線m相交于點(diǎn)A點(diǎn)B在直線l外直線l與直線m平行點(diǎn)A在平面α內(nèi)直線l與平面α相交于點(diǎn)A點(diǎn)B在平面α外平面β與平面α相交于直線l直線a在平面α內(nèi)平面β與平面α平行直線c在平面α外①活動(dòng)探究

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．平面公理請用尺子或者筆做實(shí)驗(yàn)，思考下面的問題：（1）如果一直線與一平面有一個(gè)公共點(diǎn)，這條直線一定在平面之內(nèi)嗎？（2）如果一直線與一平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，這條直線一定在平面之內(nèi)嗎？

在生產(chǎn)、生活中，人們經(jīng)過長期觀察與實(shí)踐，總結(jié)出關(guān)于平面的一些基本性質(zhì)，我們把它作為公理．這些公理是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)．AB作用：(1)判定直線是否在平面內(nèi)．(2)判定點(diǎn)是否在平面內(nèi)。l理解：(1)直線是平面的真子集；（2）整條直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)。活動(dòng)探究

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．平面公理請用尺子或者筆做實(shí)驗(yàn)，思考下面的問題：（1）如果一直線與一平面有一個(gè)公共點(diǎn)，這條直線一定在平面之內(nèi)嗎？（2）如果一直線與一平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，這條直線一定在平面之內(nèi)嗎？

在生產(chǎn)、生活中，人們經(jīng)過長期觀察與實(shí)踐，總結(jié)出關(guān)于平面的一些基本性質(zhì)，我們把它作為公理．這些公理是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)．AB作用：(1)判定直線是否在平面內(nèi)．(2)判定點(diǎn)是否在平面內(nèi)。l

公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．ACB存在性唯一性作用：確定平面的主要依據(jù)．不在