2022高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章單元測試

單元能力測試一、選擇題本大題共12小題，每題5分，共60分．每題中只有一項(xiàng)符合題目要求1如右圖所示，是一個正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點(diǎn)，D是極點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為答案C解析把展開圖還原為正方體后示意圖如右圖所示，∠EGF為AB和CD所成的角，為正方體一棱的中點(diǎn)．∴EF＝GF＝錯誤!，EG＝錯誤!∴co∠EGF＝錯誤!2．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為C．8錯誤!π答案B2解析S圓＝πr＝1?r＝1，而截面圓圓心與球心的距離d＝1，∴球的半徑為3R＝錯誤!＝錯誤!，∴V＝錯誤!πR＝錯誤!，應(yīng)選B3已知某個幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸單位：cm，可得這個幾何體的體積是33cmcm答案C解析由三視圖可知該幾何體為三棱錐，如下圖，其中AC＝AD，平面ACD⊥平面BCD，E為CD的中點(diǎn)，則AE⊥平面BCD，且BE＝AE＝2，DC＝2，∴V＝錯誤!×錯誤!×BE×DC×AE＝錯誤!×錯誤!×2×2×2＝錯誤!cm3，應(yīng)選C4．已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，給出下列命題：①若α⊥β，m∥α，則m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；③若m⊥β，m∥α，則α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β其中真命題的序號是A．①④B．②③C．②④D．①③答案B解析若α⊥β，m∥α，則m與β可能相交、平行或m在平面β內(nèi)，故①錯；m∥α，n∥β，m∥n，則α與β可能平行，可能相交，故④錯．應(yīng)選B5．2022·湖北卷用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則②若a⊥b，b⊥c，則③若a∥γ，b∥γ，則④若a⊥γ，b⊥γ，則其中真命題的序號是A．①②B．②③C．①④D．③④

a∥c；a⊥c；a∥b；a∥b答案C解析關(guān)于①，由公義“平行于同一直線的兩條直線平行”可知，①正確；關(guān)于②，如在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此時AB平行于CD，因此②不正確．關(guān)于③，如當(dāng)平面α∥γ時，平面α內(nèi)的隨意兩條直線a，b都平行于平面γ，顯然此時直線a，b可能相交，因此③不正確．關(guān)于④，由“垂直于同一平面的兩條直線平行”可知其正確性．綜上所述，其中真命題的序號是①④，選C6如右圖所示，正四棱錐1C，可得該幾何體的表面積為________cm2答案36解析由三視圖可知，此幾何體是一個以AA′＝2，AD＝4，AB＝2為棱的長方體被平面A′C′B截去一個角后獲得的，在△A′C′B中，因?yàn)锳′C′＝BC′＝2錯誤!，BA′＝2錯誤!，所以S△A′C′B＝錯誤!×2錯誤!×錯誤!＝6，故幾何體表面積為2×4×2＋2×2＋錯誤!×4×2×2＋錯誤!×2×2＋6＝3614．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠BAD60°，AA1＝AB＝1，則截面ACC1A1的面積為________；異面直線AD與D1C所成角的余弦值為________．答案錯誤!錯誤!解析截面ACC1A1為矩形．AA1＝1，AC＝錯誤!，其面積S＝錯誤!；BD＝1，BD1＝錯誤!，在△BCD1中，BC＝1，CD1＝錯誤!，co∠BCD1＝錯誤!則異面直線AD與D1C所成角的余弦值為錯誤!15如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、F、分別為1C．在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；按照給出的尺寸，求該多面體的體積；在所給直觀圖中連接BC′，證明：BC′∥平面EFG解析1如圖．所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－錯誤!×錯誤!×2＝錯誤!cm3．3證明：如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，連接AD′，則AD′∥BC′因?yàn)镋、G分別為AA′、A′D′的中點(diǎn)，所以AD′∥EG，進(jìn)而EG∥BC′又BC′?平面EFG，所以BC′∥平面EFG18．本小題滿分12分2022·新課標(biāo)全國，文如圖，已知四棱錐是棱CC1的中點(diǎn)．1求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；2證明：平面ABM⊥平面A1B1M解析1如圖，因?yàn)镃1D1∥B1A1，所以∠MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角．因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°而A1B1＝1，B1M＝錯誤!＝錯誤!，故tan∠MA1B1＝錯誤!＝錯誤!即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為錯誤!2由A1B1⊥平面BCC1B1，BM?平面BCC1B1，得A1B1⊥BM①由1知，B1M＝錯誤!，又BM＝錯誤!＝錯誤!，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，進(jìn)而BM⊥B1M②又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而BM?平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M21．本小題滿分12分在幾何體ABCDE中，∠BAC＝錯誤!，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB＝AC＝BE＝2，CD＝11設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線，求證：∥平面BCDE；2設(shè)F是BC的中點(diǎn)，求證：平面AFD⊥平面AFE；3求幾何體ABCDE的體積．解析1∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴CD∥BE∵CD?平面ABE，BE?平面ABE，∴CD∥平面ABE又＝平面ACD∩平面ABE，∴CD∥又?平面BCDE，CD?平面BCDE，∴∥平面BCDE2在△DFE中，F(xiàn)D＝錯誤!，F(xiàn)E＝錯誤!，DE＝3∴FD⊥FE∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF，又BC⊥AF，CD∩BC＝C，∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，∵EF∩AF＝F，∴FD⊥平面AFE又FD?平面AFD，∴平面AFD⊥平面AFE3∵DC⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴DC∥BE∵AB＝AC＝2，且∠BAC＝錯誤!∴BC＝2錯誤!∴SBEDC＝錯誤!DC＋BE×BC＝3錯誤!由2知AF⊥平面BCED∴VE－BCDE＝錯誤!SBEDC·AF＝錯誤!×3錯誤!×錯誤!＝222．本小題滿分12分如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，點(diǎn)E在棱AB上移動，小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短行程為2錯誤!求證：D1E⊥A1D；求AB的長度；解析1連接AD1，由長方體的性質(zhì)可知：AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在平面AD1內(nèi)的射影．又∵AD＝AA1＝1，∴AD1⊥A1D，∴D1