第三章函數章末檢測（能力篇）-2

第三章函數章末檢測（能力篇）考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知是一次函數，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設一次函數，代入已知式，由恒等式知識求解．【詳解】設一次函數，則，由得，即，解得，.故選：A．2．已知是定義在上的單調遞減函數，且，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據函數自變量的定義域以及函數單調遞減列式，求出a的取值范圍.【詳解】∵是定義在上的單調遞減函數，且，則，解得故選：D..3．已知定義在上的奇函數在上單調遞增，且，若實數x滿足，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根據函數的奇偶性和單調性得到函數在上單調遞增，且，從而得到，，，，，，，，再分類討論解不等式即可.【詳解】因為奇函數在上單調遞增，定義域為，，所以函數在上單調遞增，且.所以，，，，，，，.因為，當時，，即或，解得.當時，符合題意.當時，，或，解得.綜上：或.故選：A4．下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（）A． B．C．y=-x2(x∈R)【答案】B【解析】【分析】根據指對冪函數的單調性與奇偶性依次討論個選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，，為偶函數，故錯誤；對于B選項，，為奇函數，且函數均為減函數，故為減函數，故正確；對于C選項，偶，故錯誤；對于D選項，函數為奇函數，在定義域上沒有單調性，故錯誤.故選：B5．函數對任意，都有的圖形關于對稱，且則（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】根據題意得到函數周期為12，函數為奇函數，據此得到，計算得到答案.【詳解】函數周期為，，的圖形關于對稱，故關于對稱，.故.故選：B.6．設為實數，定義在上的偶函數滿足：①在上為增函數；②，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用函數的奇偶性及單調性可得，進而即得.【詳解】因為為定義在上的偶函數，在上為增函數，由可得，∴，解得.故選：B.7．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A．，， B．C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】先用分離常數法得到，由單調性列不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】解：根據題意，函數，若在區(qū)間上單調遞減，必有，解可得：或，即的取值范圍為，，，故選：C．8．函數（），，對，，使成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意可得只需函數的值域為函數的值域的子集即可，分別求出兩函數的值域，列出不等式組，即可得出答案.【詳解】解：若對，，使成立，只需函數的值域為函數的值域的子集即可.函數，，的值域為.當時，遞增，可得其值域為，要使，需，解得，綜上，的取值范圍為.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．若函數的定義域為，值域為，則正整數a的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】BC【解析】【分析】畫出函數的圖象，結合值域可得實數的取值范圍，從而可得正確的選項.【詳解】函數的圖象如圖所示：因為函數在上的值域為，結合圖象可得，結合a是正整數，所以BC正確.故選：BC.10．已知函數，關于函數的結論正確的是（）A．的定義域為RB．的值域為C．若，則x的值是 D．的解集為【答案】BC【解析】分段討論函數的定義域、值域，并分段求解方程和不等式即得結果.【詳解】函數，定義分和兩段，定義域是，故A錯誤；時，值域為，時，，值域為，故的值域為，故B正確；由值的分布情況可知，在上無解，故，即，得到，故C正確；時令，解得，時，令，解得，故的解集為，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：研究分段函數的性質時，要按照函數解析式中不同區(qū)間的對應法則分別進行研究，最后再做出總結.11．已知定義在上的函數的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，，當時，；③.則下列選項成立的是（）A． B．若，則C．若，則 D．，，使得【答案】BCD【解析】【分析】根據題中的條件確定函數的奇偶性和單調性，再逐項驗證即可得出答案.【詳解】根據題中條件①知，函數為R上的偶函數；根據題中條件②知，函數在上單調遞增.根據函數的單調性得，，選項A錯誤；是R上的偶函數，且在上單調遞增時，，解得，選項B正確；或解得或，即時，，選項C正確；根據偶函數的單調性可得，函數在上單調遞減在R上有最小值，故選項D正確.故選：BCD12．對任意兩個實數，定義若，，下列關于函數的說法正確的是（）A．函數是偶函數B．方程有三個解C．函數在區(qū)間上單調遞增D．函數有4個單調區(qū)間【答案】ABD【解析】【分析】結合題意作出函數的圖象，進而數形結合求解即可.【詳解】解：根據函數與，，畫出函數的圖象，如圖．由圖象可知，函數關于y軸對稱，所以A項正確；函數的圖象與x軸有三個交點，所以方程有三個解，所以B項正確；函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以C項錯誤，D項正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，函數若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結合函數的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.14．若，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出的取值范圍，結合不等式的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】，，則，所以，，所以，.故答案為：.15．已知定義域為的奇函數，則的解集為_______．【答案】【解析】【分析】根據奇函數的性質及定義域的對稱性，求得參數a，b的值，求得函數解析式，并判斷單調性.等價于，根據單調性將不等式轉化為自變量的大小關系，結合定義域求得解集.【詳解】由題知，，所以恒成立，即．又因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以，解得，因此，，由單調遞增，單調遞增，易知函數單調遞增，故等價于等價于即，解得．故答案為：16．已知是上的減函數，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題知，解不等式組即可得答案.【詳解】解：當時，為減函數，故又因為是上的減函數，所以，解得.所以實數的取值范圍為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．其中17題10分，18-22每題12分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．函數是定義在R上的偶函數，當時，．（1）求函數在的解析式；（2）當時，若，求實數m的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據偶函數的性質，令，由即可得解；（2），有，解方程即可得解.【詳解】（1）令，則，由，此時；（2）由，，所以，解得或或（舍）.18．已知函數．（1）用定義法證明:在上單調；（2）求在上的最大值與最小值．【答案】（1）證明見解析；（2），.【解析】【分析】（1）利用單調性的定義證明，首先設，然后作差，然后判斷正負，即可證明單調性；（2）根據（1）證明的單調性，求函數的最值.【詳解】（1）證明：設，由已知，故，則，故在上單調遞增（2）由（1）可知在上單調遞增，故當時，19．設是定義在上的奇函數，且當時，.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先由函數奇偶性得；再設，則，根據已知函數解析式，結合奇函數的性質，即可求出結果；（Ⅱ）先由題意，將不等式化為，再由函數單調性，得到，推出，求出，即可得出結果.【詳解】（Ⅰ）由題意知，.設，則，故，又因為是奇函數，故，所以.（Ⅱ）由，不等式，等價于，因為，所以其在上是增函數，∴，即，∵，∴當時，，得，故實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查由函數奇偶性求函數解析式，由不等式恒成立求參數范圍，熟記函數奇偶性與單調性的概念即可，屬于常考題型.20．已知函數是定義在上的奇函數，且.（1）求實數和的值；（2）判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；（3）若對上，都有成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），；（2）函數在上是增函數，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用和即可求得和的值；（2）利用用定義證明單調性的步驟，取值、作差、定號、下結論即可證明；（3）由奇函數可得，利用單調性脫掉轉化為不等式組即可求解.【詳解】（1）因為，函數是定義在上的奇函數，所以得，又因為，所以，（2）由（1）可知，設所以=因為，所以，所以，，即，所以，函數在上是增函數（3）由（2）可知函數在上是增函數，且是奇函數要使“對上，都有成立”即則不等式組對恒成立，所以對恒成立，所以因為，所以，，所以，，所以，所以，所以實數的取值范圍是.21．已知函數對一切實數都有成立，且.（1）求的值，及的解析式；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）通過對抽象函數賦值，令進行求解，即得；令可消去，再結合的值，即求得解析式；（2）先討論時不等式恒成立，時，再通過分離參數法求得的取值范圍即可.【詳解】解：（1）令，可得，又由，解得；令，得，又因，解得；（2）當時，不等式恒成立，即，若時不等式即，顯然成立；若時，，故恒成立，只需，設，設則是對勾函數，在遞減，在遞增，故時，即時，故，綜上，的取值范圍為.【點睛】方法點睛：1.抽象函數通常利用賦值法求函數值或者求解析式；2.二次函數含參恒成立的問題，一般是通過分離參數進行求解，當然也可以根據判別式法進行求解，視具體情況而定.22．某汽車公司購買了輛大客車用于長途客運，每輛萬元，預計每輛客車每年收入約萬元，每輛客車第一年各種費用約為萬元，從第二年開始每年比上一年所需費用要增加萬元.（1）寫出輛客車運營的總利潤(萬元)與運營年數的函數關系式：（2）這輛客車運營多少年，可使年平均運營利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）