第02課時(shí)兩直線的位置關(guān)系（解析版）

第2課時(shí)兩直線的位置關(guān)系編寫：廖云波【回歸教材】1.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式與相交與垂直與平行且或與重合且2.距離問題（1）平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝．（2）點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝．（3）兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離d＝．3.對稱問題（1）中心對稱：點(diǎn)為點(diǎn)與的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式為．（2）軸對稱：若點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，則．【典例講練】題型一兩直線的平行與垂直【例1-1】已知直線，，分別求實(shí)數(shù)的值，使得：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）由平行關(guān)系可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）由垂直關(guān)系可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.(1)由得：，解得：或.(2)由得：，解得：.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】“”是“直線和直線垂直”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，則兩直線垂直；當(dāng)時(shí)，兩直線也垂直，所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件，故選A.【練習(xí)1-2】已知直線，直線，求：當(dāng)m為何值時(shí)，直線與分別有如下位置關(guān)系：相交、平行、重合．【答案】答案見詳解．【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，，l1與l2相交；當(dāng)時(shí)，兩直線的斜截式方程為：，，再利用兩條直線的相交、平行、重合的條件即可得出．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，l1與l2相交；當(dāng)時(shí)，兩直線的斜截式方程為：，．①當(dāng)時(shí)，即m≠3，m≠﹣1且時(shí)，兩直線相交，②當(dāng)，且，即m＝﹣1時(shí)，兩直線平行．③當(dāng)，且，即m＝3時(shí)，兩直線重合．綜上：當(dāng)m≠3，m≠﹣1時(shí)，兩直線相交；當(dāng)m＝﹣1時(shí)兩直線平行；當(dāng)m＝3時(shí)兩直線重合．題型二距離公式【例2-1】在第一象限的點(diǎn)到直線的距離為3，則a的值為__________．【答案】4【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離代入即可求出答案.【詳解】在一象限，所以，點(diǎn)到直線的距離為3，則，解得：或.因?yàn)?，所?故答案為：4.【例2-2】已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為________．【答案】0或##或0【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程即可得出．【詳解】由題意可得，即，解得或故答案為：0或【例2-3】已知直線，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】確定線過定點(diǎn)，且不與軸垂直，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意知直線過定點(diǎn)，且不與軸垂直，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)到直線的距離最小為0，當(dāng)過點(diǎn)的直線垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)到該直線的距離最大,最大值為3，如圖示：由于的斜率存在，故點(diǎn)到直線的距離小于3，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，故選：D.【例2-4】已知點(diǎn)P是曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】求出平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)曲線上的點(diǎn)P到直線的距離最小.【詳解】解：由題意知，曲線，，令，得（舍），所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，如下圖所示，為曲線與直線在坐標(biāo)系中的位置.在點(diǎn)P的切線與直線平行時(shí)，此時(shí)曲線上的點(diǎn)P到直線的距離最小.設(shè)，則，則，解得（舍去），所以.故答案為：歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】①點(diǎn)到直線的距離是___________.②兩平行直線和間的距離是___________.【答案】

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【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解①，根據(jù)平行線間的距離公式即可求解②.【詳解】①；則點(diǎn)到直線的距離.②即為，所以兩平行直線和間的距離.【練習(xí)2-2】已知直線（）與直線互相平行，且它們之間的距離是，則______.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出n，由兩直線間的距離是求出m，即可得到.【詳解】因?yàn)橹本€（）與直線互相平行，所以且.又兩直線間的距離是，所以，因?yàn)?，解得?所以.故答案為：0【練習(xí)2-3】直線l過點(diǎn)且到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，求直線l的方程．【答案】或【解析】【分析】解法1：直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由直線l到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等求解；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程成立；解法2：分，則和l過AB中點(diǎn)求解；【詳解】解法1：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．由題意知，即，∴，∴直線l的方程為，即．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，也符合題意．解法2：當(dāng)時(shí)，，直線l的方程為，即．當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為，∴直線l的方程為．故所求直線l的方程為或．題型三對稱問題【例3-1】點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對稱的特點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：A.【例3-2】已知直線，求：(1)直線l關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l對稱的直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)直線關(guān)于的對稱直線上任意一點(diǎn)為，求得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，代入直線，即可求解；（2）由，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再在直線上取一點(diǎn)，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.(1)解：設(shè)直線關(guān)于的對稱直線上任意一點(diǎn)為，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱為，則，解得，即,將點(diǎn)代入直線，可得，整理得，即對稱直線的方程為.(2)解：由，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再在直線上取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，又由，所以直線的方程為，整理得，即直線關(guān)于直線l對稱的直線的方程為.【例3-3】一束光線經(jīng)過點(diǎn)由x軸反射后，經(jīng)過點(diǎn)射出，則反射光線所在直線方程是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，若要求反射光線，可求得點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，又過即可得解.【詳解】首先求點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，所以反射光線過和兩點(diǎn)，故直線方程為：，即，故答案為：.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知為直線：上一點(diǎn)，點(diǎn)到和的距離之和最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.【答案】【解析】【分析】通過對稱轉(zhuǎn)化，使得兩點(diǎn)在直線異側(cè)后求解【詳解】點(diǎn)在直線的同側(cè)設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為解得，即由題意，點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)直線的方程為：故點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：【練習(xí)3-2】已知點(diǎn)?，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對稱性，找出關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則,所以的最小值為.故答案為：題型四交點(diǎn)問題【例4-1】已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)P，且垂直于直線2x+3y+5=0，求直線l的方程.【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即點(diǎn)因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0垂直,所以直線l的斜率為,由點(diǎn)斜式得直線l的方程為3x-2y-4=0.方法二：由,解得x=2y=1,即點(diǎn)P因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0垂直，所以可設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.故直線l的方程為3x-2y-4=0.方法三：直線l的方程可設(shè)為2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ為常數(shù)),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.故直線l的方程為3x-2y-4=0.【例4-2】當(dāng)為何值時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)在第一象限？【解析】由得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得：.歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【解析】【分析】先聯(lián)立兩直線的方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)在第四象限求解.【詳解】由得所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.又此交點(diǎn)在第四象限，所以解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：【請完成課時(shí)作業(yè)（五十一）】【課時(shí)作業(yè)（五十一）】A組基礎(chǔ)題1．已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】【分析】直接由兩直線平行公式求解即可.【詳解】由題意得，，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意.故選：D.2．“”是“直線：與直線：互相垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A3．過兩直線的交點(diǎn)，且與直線平行的直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出兩直線交點(diǎn)，再由與直線平行得出斜率，由點(diǎn)斜式寫出方程即可求解.【詳解】由解得，則直線的交點(diǎn)，又直線的斜率為，則所求直線方程為，整理得.故選：C.4．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（）A．2B．C．2或D．2或【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D5．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）．A．5B．C．45D．【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則線段的長度即為最短總路程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．6．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：7．點(diǎn)到直線的距離等于4，則實(shí)數(shù)m___________.【答案】或4【解析】【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，即可得到答案．【詳解】由題意可得：，解得或．故答案為：或4．8．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，則的面積為________．【答案】##【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求得的長度，然后根據(jù)，的坐標(biāo)求得直線的方程，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的求得到直線的距離，即三角形的高，最后利用面積公式求得答案．【詳解】設(shè)所在直線方程為，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入可求得，求得，，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離．故答案為：9．下面三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合是___________.【答案】【解析】【分析】分三條直線交于一點(diǎn)、至少兩條直線平行或重合，兩種情況討論即可【詳解】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)：由，解得和的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，由A在上可得2×－3m×＝4，解得m＝或.當(dāng)至少兩條直線平行或重合時(shí)：l1、l2、l3至少兩條直線斜率相等，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，不成立，綜上，m＝－1，－，，4時(shí)，這三條直線不能組成三角形，∴實(shí)數(shù)m的取值集合是.故答案為：.10．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【答案】2【解析】【分析】將的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離來求解即可.【詳解】可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又∵點(diǎn)在直線上，∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，且.故答案為：.11．已知直線和相交于點(diǎn)P，且P點(diǎn)在直線上．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和實(shí)數(shù)a的值；(2)求過點(diǎn)且與點(diǎn)P的距離為的直線方程．【答案】(1)P(2,1)，a=2.(2)【解析】【分析】（1）聯(lián)立,解得點(diǎn)P(2,1).將P的坐標(biāo)(2,1)代入直線中,解得a；（2）設(shè)所求直線為l,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則l的方程為x=-2，不合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線的斜率為k,則的方程為,利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出.(1)因?yàn)橹本€和相交于點(diǎn)P，且P點(diǎn)在直線上，所以聯(lián)立，解得：P(2,1).將P的坐標(biāo)(2,1)代入直線中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.(2)設(shè)所求直線為l.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),則l的方程為x=-2.此時(shí)點(diǎn)P與直線的距離為4,不合題意，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為,即.因此點(diǎn)P到直線的距離,解方程可得k=2，所以直線的方程為.12．已知點(diǎn)，直線，直線.(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，解方程組求出，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，（2）先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再在直線上任取一點(diǎn)，求出其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，從而可求出直線關(guān)于直線的對稱直線方程(1)設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，(2)由，得，所以兩直線交于點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，所以直線為，即，所以直線關(guān)于直線的對稱直線方程為B組能力提升1．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），在四邊形ABCD內(nèi)求一點(diǎn)，使取得最小值時(shí)的坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】【分析】由，可求的最小值，并確定取最小值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)位于之間時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)位于之間時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與的交點(diǎn)時(shí)等號成立，因?yàn)锳（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），所以直線的方程為：，直線的方程為：，所以直線與的交點(diǎn)為，所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取最小值，故答案為：.2．已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可根據(jù)求得，進(jìn)而得到；令，，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)滿足的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到和的距離之和；通過作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，可知所求最小值為；利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求法求得坐標(biāo)后，即可利用兩點(diǎn)間距離公式得到結(jié)果.【詳解】，，，解得：，即，即，不妨令，，設(shè)，則，，，則的幾何意義為：直線上的點(diǎn)到和的距離之和，即；作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），設(shè)，則，解得：，，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量中的向量模長最值的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求