2019年中考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)專題十

專題十動點型問題一、中考專題詮釋所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.“動點型問題”題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點和難點。二、解題策略和解法精講解決動點問題的關(guān)鍵是“動中求靜”.從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。三、中考考點精講考點一：建立動點問題的函數(shù)解析式（或函數(shù)圖像）函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.例1（2017?蘭州）如圖，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回，點P在運動過程中速度不變，則以點B為圓心，線段BP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．思路分析：分析動點P的運動過程，采用定量分析手段，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式可以得出結(jié)論．解：不妨設(shè)線段AB長度為1個單位，點P的運動速度為1個單位，則：

（1）當(dāng)點P在A→B段運動時，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；

（2）當(dāng)點P在B→A段運動時，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．

綜上，整個運動過程中，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=π（t-1）2（0≤t≤2），

這是一個二次函數(shù)，其圖象為開口向上的一段拋物線．結(jié)合題中各選項，只有B符合要求．

故選B．點評：本題結(jié)合動點問題考查了二次函數(shù)的圖象．解題過程中求出了函數(shù)關(guān)系式，這是定量的分析方法，適用于本題，如果僅僅用定性分析方法則難以作出正確選擇．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2017?白銀）如圖，⊙O的圓心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分線上運動，且⊙O與∠α的兩邊相切，圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r（r＞0）變化的函數(shù)圖象大致是（）A．B． C．D．1．C考點二：動態(tài)幾何型題目點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.動態(tài)幾何特點問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。（一）點動問題．例2（2017?河北）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12動點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個單位長的速度運動到點B停止．設(shè)運動時間為t秒，y=S△EPF，則y與t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．思路分析：分三段考慮，①點P在AD上運動，②點P在DC上運動，③點P在BC上運動，分別求出y與t的函數(shù)表達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象．解：在Rt△ADE中，AD=，在Rt△CFB中，BC=，

①點P在AD上運動：

過點P作PM⊥AB于點M，則PM=APsin∠A=t，

此時y=EF×PM=t，為一次函數(shù)；

②點P在DC上運動，y=EF×DE=30；

③點P在BC上運動，過點P作PN⊥AB于點N，則PN=BPsin∠B=（AD+CD+BC-t）=，

則y=EF×PN=，為一次函數(shù)．

綜上可得選項A的圖象符合．

故選A．點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)然在考試過程中，建議同學(xué)們直接判斷是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，不需要按部就班的解出解析式．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2017?北京）如圖，點P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB=2．設(shè)弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．2．A（二）線動問題例3（2017?荊門）如右圖所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動直線l垂直于BC，且向右平移，設(shè)掃過的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．思路分析：分三段考慮，①當(dāng)直線l經(jīng)過BA段時，②直線l經(jīng)過AD段時，③直線l經(jīng)過DC段時，分別觀察出面積變化的情況，然后結(jié)合選項即可得出答案．解：①當(dāng)直線l經(jīng)過BA段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越快；

②直線l經(jīng)過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度保持不變；

③直線l經(jīng)過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越?。?/p>

結(jié)合選項可得，A選項的圖象符合．

故選A．點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，類似此類問題，有時候并不需要真正解出函數(shù)解析式，只要我們能判斷面積增大的快慢就能選出答案．對應(yīng)訓(xùn)練3．（2017?永州）如圖所示，在矩形ABCD中，垂直于對角線BD的直線l，從點B開始沿著線段BD勻速平移到D．設(shè)直線l被矩形所截線段EF的長度為y，運動時間為t，則y關(guān)于t的函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．3．A（三）面動問題例4（2017?牡丹江）如圖所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設(shè)穿過的時間為t，大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應(yīng)為（）

A． B． C． D．思路分析：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運動的速度為V，分三個階段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分別求出S，可得答案．解：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運動的速度為V，分三個階段；

①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，

②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，

③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，

分析選項可得，A符合；

故選A．點評：解決此類問題，注意將過程分成幾個階段，依次分析各個階段得變化情況，進(jìn)而綜合可得整體得變化情況．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2017?衡陽）如圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時間為t，正方形除去圓部分的面積為S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（）A． B． C． D．4．A考點三：雙動點問題動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點題型.這類試題信息量大,其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為中考試題的熱點中的熱點，雙動點問題對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求更高高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動.例5（2017?攀枝花）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B（10，0），C（7，4）．直線l經(jīng)過A，D兩點，且sin∠DAB=．動點P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點M，當(dāng)P，Q兩點中有一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)點P，Q運動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）點A的坐標(biāo)為，直線l的解析式為；

（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；

（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）隨著P，Q兩點的運動，當(dāng)點M在線段DC上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當(dāng)t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．思路分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB=特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標(biāo)；由點A、點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；

（2）解答本問，需要弄清動點的運動過程：

①當(dāng)0＜t≤1時，如答圖1所示；

②當(dāng)1＜t≤2時，如答圖2所示；

③當(dāng)2＜t＜時，如答圖3所示．

（3）本問考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值；

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，

∴D（0，4）．

∵sin∠DAB=，

∴∠DAB=45°，

∴OA=OD=4，

∴A（-4，0）．

設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，則有

，

解得：k=1，b=4，

∴y=x+4．

∴點A坐標(biāo)為（-4，0），直線l的解析式為：y=x+4．

（2）在點P、Q運動的過程中：

①當(dāng)0＜t≤1時，如答圖1所示：

過點C作CF⊥x軸于點F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

過點Q作QE⊥x軸于點E，則BE=BQ?cos∠CBF=5t?=3t．

∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，

S=PM?PE=×2t×（14-5t）=-5t2+14t；

②當(dāng)1＜t≤2時，如答圖2所示：

過點C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，

則CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，

S=PM?PE=×2t×（16-7t）=-7t2+16t；

③當(dāng)點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，

即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=．

當(dāng)2＜t＜時，如答圖3所示：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，

S=PM?MQ=×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①當(dāng)0＜t≤1時，S=-5t2+14t=-5（t-）2+，

∵a=-5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當(dāng)0＜t≤1時，S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=1時，S有最大值，最大值為9；

②當(dāng)1＜t≤2時，S=-7t2+16t=-7（t-）2+，

∵a=-7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當(dāng)t=時，S有最大值，最大值為；

③當(dāng)2＜t＜時，S=-14t+32

∵k=-14＜0，

∴S隨t的增大而減小．

又∵當(dāng)t=2時，S=4；

當(dāng)t=時，S=0，

∴0＜S＜4．

綜上所述，當(dāng)t=時，S有最大值，最大值為．

（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：

①如答圖4所示，點M在線段CD上，

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，

由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；

②如答圖5所示，當(dāng)點M運動到C點，同時當(dāng)Q剛好運動至終點D，

此時△QMN為等腰三角形，t=．

故當(dāng)t=或t=時，△QMN為等腰三角形．點評：本題是典型的運動型綜合題，難度較大，解題關(guān)鍵是對動點運動過程有清晰的理解．第（3）問中，考查了指定區(qū)間上的函數(shù)極值，增加了試題的難度；另外，分類討論的思想貫穿（2）-（4）問始終，同學(xué)們需要認(rèn)真理解并熟練掌握．對應(yīng)訓(xùn)練5．（2017?長春）如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發(fā)，沿B-A-D-A運動，沿B-A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A-D-A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點

B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．連結(jié)PQ．

（1）當(dāng)點P沿A-D-A運動時，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）連結(jié)AQ，在點P沿B-A-D運動過程中，當(dāng)點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結(jié)BR，如圖②．在點P沿B-A-D運動過程中，當(dāng)線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．

（4）設(shè)點C、D關(guān)于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

5．解：（1）當(dāng)點P沿A-D運動時，AP=8（t-1）=8t-8．

當(dāng)點P沿D-A運動時，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．

（2）當(dāng)點P與點A重合時，BP=AB，t=1．

當(dāng)點P與點D重合時，AP=AD，8t-8=50，t=．

當(dāng)0＜t＜1時，如圖①．

作過點Q作QE⊥AB于點E．

S△ABQ=AB?QE=BQ×12，

∴QE==．

∴S=-30t2+30t．

當(dāng)1＜t≤時，如圖②．

S=AP×12=×(8t-8)×12