2019年中考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)專題十

專題十動點(diǎn)型問題一、中考專題詮釋所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.“動點(diǎn)型問題”題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。二、解題策略和解法精講解決動點(diǎn)問題的關(guān)鍵是“動中求靜”.從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。三、中考考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：建立動點(diǎn)問題的函數(shù)解析式（或函數(shù)圖像）函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.例1（2017?蘭州）如圖，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動至點(diǎn)B后，立即按原路返回，點(diǎn)P在運(yùn)動過程中速度不變，則以點(diǎn)B為圓心，線段BP長為半徑的圓的面積S與點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．思路分析：分析動點(diǎn)P的運(yùn)動過程，采用定量分析手段，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式可以得出結(jié)論．解：不妨設(shè)線段AB長度為1個(gè)單位，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1個(gè)單位，則：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在A→B段運(yùn)動時(shí)，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在B→A段運(yùn)動時(shí)，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．

綜上，整個(gè)運(yùn)動過程中，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=π（t-1）2（0≤t≤2），

這是一個(gè)二次函數(shù)，其圖象為開口向上的一段拋物線．結(jié)合題中各選項(xiàng)，只有B符合要求．

故選B．點(diǎn)評：本題結(jié)合動點(diǎn)問題考查了二次函數(shù)的圖象．解題過程中求出了函數(shù)關(guān)系式，這是定量的分析方法，適用于本題，如果僅僅用定性分析方法則難以作出正確選擇．對應(yīng)訓(xùn)練1．（2017?白銀）如圖，⊙O的圓心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分線上運(yùn)動，且⊙O與∠α的兩邊相切，圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r（r＞0）變化的函數(shù)圖象大致是（）A．B． C．D．1．C考點(diǎn)二：動態(tài)幾何型題目點(diǎn)動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動變化為主線，集多個(gè)知識點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.動態(tài)幾何特點(diǎn)問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。（一）點(diǎn)動問題．例2（2017?河北）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動到點(diǎn)B停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，y=S△EPF，則y與t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．思路分析：分三段考慮，①點(diǎn)P在AD上運(yùn)動，②點(diǎn)P在DC上運(yùn)動，③點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，分別求出y與t的函數(shù)表達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象．解：在Rt△ADE中，AD=，在Rt△CFB中，BC=，

①點(diǎn)P在AD上運(yùn)動：

過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，則PM=APsin∠A=t，

此時(shí)y=EF×PM=t，為一次函數(shù)；

②點(diǎn)P在DC上運(yùn)動，y=EF×DE=30；

③點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，過點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，則PN=BPsin∠B=（AD+CD+BC-t）=，

則y=EF×PN=，為一次函數(shù)．

綜上可得選項(xiàng)A的圖象符合．

故選A．點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)然在考試過程中，建議同學(xué)們直接判斷是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，不需要按部就班的解出解析式．對應(yīng)訓(xùn)練2．（2017?北京）如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動點(diǎn)，AB=2．設(shè)弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．2．A（二）線動問題例3（2017?荊門）如右圖所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動直線l垂直于BC，且向右平移，設(shè)掃過的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．思路分析：分三段考慮，①當(dāng)直線l經(jīng)過BA段時(shí)，②直線l經(jīng)過AD段時(shí)，③直線l經(jīng)過DC段時(shí)，分別觀察出面積變化的情況，然后結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案．解：①當(dāng)直線l經(jīng)過BA段時(shí)，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越快；

②直線l經(jīng)過DC段時(shí)，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度保持不變；

③直線l經(jīng)過DC段時(shí)，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越??；

結(jié)合選項(xiàng)可得，A選項(xiàng)的圖象符合．

故選A．點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，類似此類問題，有時(shí)候并不需要真正解出函數(shù)解析式，只要我們能判斷面積增大的快慢就能選出答案．對應(yīng)訓(xùn)練3．（2017?永州）如圖所示，在矩形ABCD中，垂直于對角線BD的直線l，從點(diǎn)B開始沿著線段BD勻速平移到D．設(shè)直線l被矩形所截線段EF的長度為y，運(yùn)動時(shí)間為t，則y關(guān)于t的函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．3．A（三）面動問題例4（2017?牡丹江）如圖所示：邊長分別為1和2的兩個(gè)正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設(shè)穿過的時(shí)間為t，大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應(yīng)為（）

A． B． C． D．思路分析：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運(yùn)動的速度為V，分三個(gè)階段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分別求出S，可得答案．解：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運(yùn)動的速度為V，分三個(gè)階段；

①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，

②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，

③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，

分析選項(xiàng)可得，A符合；

故選A．點(diǎn)評：解決此類問題，注意將過程分成幾個(gè)階段，依次分析各個(gè)階段得變化情況，進(jìn)而綜合可得整體得變化情況．對應(yīng)訓(xùn)練4．（2017?衡陽）如圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時(shí)間為t，正方形除去圓部分的面積為S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（）A． B． C． D．4．A考點(diǎn)三：雙動點(diǎn)問題動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,其中以靈活多變而著稱的雙動點(diǎn)問題更成為中考試題的熱點(diǎn)中的熱點(diǎn)，雙動點(diǎn)問題對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求更高高;解題時(shí)需要用運(yùn)動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動.例5（2017?攀枝花）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點(diǎn)B（10，0），C（7，4）．直線l經(jīng)過A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB=．動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線l的解析式為；

（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；

（3）試求（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動時(shí)，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．思路分析：（1）利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用sin∠DAB=特殊三角函數(shù)值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；

（2）解答本問，需要弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程：

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如答圖1所示；

②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如答圖2所示；

③當(dāng)2＜t＜時(shí)，如答圖3所示．

（3）本問考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值，根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定S的最大值；

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，

∴D（0，4）．

∵sin∠DAB=，

∴∠DAB=45°，

∴OA=OD=4，

∴A（-4，0）．

設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，則有

，

解得：k=1，b=4，

∴y=x+4．

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），直線l的解析式為：y=x+4．

（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中：

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如答圖1所示：

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=BQ?cos∠CBF=5t?=3t．

∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，

S=PM?PE=×2t×（14-5t）=-5t2+14t；

②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如答圖2所示：

過點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，

則CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，

S=PM?PE=×2t×（16-7t）=-7t2+16t；

③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7，

即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=．

當(dāng)2＜t＜時(shí)，如答圖3所示：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，

S=PM?MQ=×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=-5t2+14t=-5（t-）2+，

∵a=-5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為9；

②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=-7t2+16t=-7（t-）2+，

∵a=-7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為；

③當(dāng)2＜t＜時(shí)，S=-14t+32

∵k=-14＜0，

∴S隨t的增大而減?。?/p>

又∵當(dāng)t=2時(shí)，S=4；

當(dāng)t=時(shí)，S=0，

∴0＜S＜4．

綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為．

（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：

①如答圖4所示，點(diǎn)M在線段CD上，

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，

由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；

②如答圖5所示，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn)，同時(shí)當(dāng)Q剛好運(yùn)動至終點(diǎn)D，

此時(shí)△QMN為等腰三角形，t=．

故當(dāng)t=或t=時(shí)，△QMN為等腰三角形．點(diǎn)評：本題是典型的運(yùn)動型綜合題，難度較大，解題關(guān)鍵是對動點(diǎn)運(yùn)動過程有清晰的理解．第（3）問中，考查了指定區(qū)間上的函數(shù)極值，增加了試題的難度；另外，分類討論的思想貫穿（2）-（4）問始終，同學(xué)們需要認(rèn)真理解并熟練掌握．對應(yīng)訓(xùn)練5．（2017?長春）如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-A-D-A運(yùn)動，沿B-A運(yùn)動時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長度，沿A-D-A運(yùn)動時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長度．點(diǎn)Q從點(diǎn)

B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動，速度為每秒5個(gè)單位長度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D-A運(yùn)動時(shí)，求AP的長（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）過點(diǎn)Q作QR∥AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②．在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動過程中，當(dāng)線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時(shí)t的值．

（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時(shí)t的值．

5．解：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D運(yùn)動時(shí)，AP=8（t-1）=8t-8．

當(dāng)點(diǎn)P沿D-A運(yùn)動時(shí)，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=AB，t=1．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP=AD，8t-8=50，t=．

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖①．

作過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E．

S△ABQ=AB?QE=BQ×12，

∴QE==．

∴S=-30t2+30t．

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖②．

S=AP×12=×(8t-8)×12