陳培武-光學膜系的最優(yōu)化設計及其算法

PAGEPAGE1中山大學碩士學位論文光學膜系的最優(yōu)化設計及其算法AlgorithmsforOptimalDesignofOpticalCoatings專業(yè)：計算機技術作者：陳培武導師：李磊教授論文答辯委員會（簽名）主席：委員：二○○五年五月光學膜系的最優(yōu)化設計及其算法計算機技術碩士生：陳培武指導教師：李磊教授摘要光學膜系不僅是現(xiàn)代光學儀器與光子學器件的重要組成部分，而且在光通信尤其是波分復用光通信系統(tǒng)中有重要應用。本論文研究光學膜系的最優(yōu)化設計及其算法，主要包括以下內容與結果：1．研究了經(jīng)典最優(yōu)化方法中的單純形方法在光學膜系優(yōu)化設計上的應用，并計算了具有5層光學薄膜的近紅外波段高反膜系以及相當于一個短波通干涉截止濾光器的具有17層光學薄膜的紅膜系的優(yōu)化問題。數(shù)值計算結果表明，單純形最優(yōu)化方法不僅適用于光學膜系的優(yōu)化設計問題，且對初始參數(shù)的要求并不很苛刻，即使在初始膜系的光譜性質與設計目標相差頗遠時仍能得到較好結果。2．在標準遺傳算法的基礎上提出以實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并實現(xiàn)了其計算機程序。該算法同時具有實數(shù)編碼的簡易性與整體模擬退火遺傳算法的全局快速收斂性等優(yōu)點，是求解全局最優(yōu)化問題的一種有效方法。以該算法成功優(yōu)化了在波長400～1100nm范圍內高透的一個光學膜系，驗證了其對于光學膜系優(yōu)化設計問題的有效性。3．實現(xiàn)了以Needle方法自動合成設計光學膜系的計算機程序，并從簡單的膜系結構出發(fā)，合成設計了在可見光波長范圍內減反的一個光學膜系，證明了該方法及其程序的有效性；討論了Needle方法的優(yōu)越性與局限性及其改進方法。本論文所研究的算法與所實現(xiàn)的計算機程序，有助于在理論上研究和優(yōu)化設計光學膜系從而為在實驗上制備和應用光學膜系提供依據(jù)。關鍵詞:最優(yōu)化設計、光學膜系、單純形方法、遺傳算法、Needle方法、計算機程序、光通信、波分復用、濾光器。參考文獻…………………(58)附錄A單純形方法優(yōu)化光學膜系程序……………(61)附錄B：實數(shù)編碼整體模擬退火遺傳算法優(yōu)化光學膜系程序…(68)附錄C：Needle方法自動合成設計光學膜系程序………………(72)致謝………………………(80)原創(chuàng)性聲明………………(81)第1章引言1.1光通信的發(fā)展現(xiàn)狀隨著計算機技術的廣泛應用與互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，從傳統(tǒng)文檔的存取與傳遞、工業(yè)自動化與CAD/CAM的推廣、醫(yī)用圖像的檢索、傳媒與娛樂業(yè)的多媒體文件處理和傳遞、電子商務的日益普及，乃至軍事信息技術的應用等等，都需要通過通用或專線通信網(wǎng)絡來快速傳輸數(shù)據(jù)，特別是傳輸包含圖像數(shù)據(jù)的多媒體文件所要求的帶寬比傳統(tǒng)的語音傳輸要大得多，因此對通信網(wǎng)絡的帶寬、可靠性和抗干擾性都提出了越來越高的要求，而網(wǎng)絡通信技術的發(fā)展反過來又促使世界通信業(yè)發(fā)生了重大的變革。據(jù)統(tǒng)計，語音傳輸?shù)陌l(fā)展速率大概是年增長率3％～5％，而數(shù)據(jù)傳輸?shù)哪暝鲩L速率則高至30％～50％。目前發(fā)展最快、應用最廣的通信網(wǎng)絡技術是光纖網(wǎng)絡技術，它可以提供低價格、高帶寬的網(wǎng)絡服務以滿足互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)傳輸?shù)囊蟆，F(xiàn)在，數(shù)據(jù)通信量的增長已超過了主干網(wǎng)容量的增長，許多主干網(wǎng)建設商的光纜利用率幾乎達到100％[1]。光纖技術應用于通信已經(jīng)過了近30年的發(fā)展歷史，迄今已有第四代光纖通信網(wǎng)投入使用。與傳統(tǒng)的電纜、無線電等通信介質或方式相比，光纖傳輸具有信息容量大、中繼距離長、不受電磁干擾、保密性能好和使用輕便等明顯的優(yōu)點。可通過粗略估算單根光纖的帶寬看出光通信與傳統(tǒng)的電通信的巨大差異：當光纖去除掉波長1.385m處水中OH根離子的吸收峰后，從1.260～1.625m波長范圍內共有365nm帶寬的資源，按對應頻率寬度10％估算，單根光纖大致有50THz的帶寬，假定50THz帶寬可以提供1000個波長的信道，每個波長帶寬為40GB/s，則每根光纖總帶寬可高達40TB/s。顯然，這是傳統(tǒng)的電通信所遠遠無法達到的。光纖傳輸為解決通信帶寬瓶頸問題提供了出路。隨著其制造技術的進步，光纖與其它光學器件的價格逐年下降，應用范圍也不斷擴展。光纖傳輸不僅在高速率、長距離的骨干網(wǎng)上得到了廣泛應用，而且在終端用戶接入網(wǎng)方面的應用也逐年擴大[2]。光纖通信產(chǎn)業(yè)方興未艾，其旺盛的生命力令人振奮。但是，隨著網(wǎng)絡通信量的急速增長，連接網(wǎng)絡的光纖的傳輸容量也隨著急劇暴漲。面對帶寬要求的不斷提高，如何在一根光纖上傳輸更大的帶寬是需要迫切解決的問題。解決辦法之一是提高字節(jié)傳輸率。應用“時分復用(TimeDivisionMultiplex，略為TDM)技術”，目前已達到的字節(jié)傳輸率為2.5GB/s(OC-48)與10GB/s(OC-192)，最新的進展是40GB/s(OC-768)。但是，隨著速度的提高，電子線路的復雜程度、投資費用以及維護費用也相應增長。同時，還存在光纖色散、偏振色散以及非線性效應等光學現(xiàn)象的限制。盡管時分復用技術是提高字節(jié)傳輸率的有效方法，但它也明顯存在缺點：由于是分時地提取每個信道的信號，即使某一路沒有信號變化也要等待，因而效率不高。雖然這已通過異步傳輸模式(AsynchronousTransferMode，略為ATM)得到一定程度的改進，但是ATM的速度照樣也受到電子速度的限制[3]。提高光纖傳輸帶寬的另一種效率更高的方法為“波分復用(WavelengthDivisionMultiplex，略為WDM)技術”，是通過在一根光纖內傳輸不同波長的信號而實現(xiàn)帶寬的提高的。應用WDM技術后，可以提高帶寬至少16～32倍。WDM技術的典型情形是在同一根光纖內傳輸40個不同波長(最高可達到128～160個波長)的信號[4]。1.2波分復用技術波分復用(WDM)技術的基本思路是，在一根光纖上同時傳輸多個光源信號，而這些信號的發(fā)送波長是適當錯開的，以此達到增大光纖通信系統(tǒng)的信息傳輸容量的目的。二十世紀八十年代末期，早期的波分復用技術采用1.310m和1.550m兩個波長(或0.850m和1.310m)進行波分復用(WidebandWDM)。九十年代早期實現(xiàn)了2～8個波長的波分復用(NarrowbandWDM)，其波長間隔現(xiàn)在在1.550m窗口處大概是400GHz。九十年代中期，密集波分復用(DenseWDM，即DWDM)系統(tǒng)可傳輸16～40個波長，信號間隔為100～200GHz。至九十年代末期，波長信道更增加到64～160個，信號間隔達到50GHz甚至是25GHz[4]。圖1-1是骨干網(wǎng)中波分復用系統(tǒng)的簡要示意圖[5]。通過串置不同中心波長的單通道濾光片，可以在WDM系統(tǒng)的解復用端(WDMDemux)，將同一條光纖中的不同的波長從其所對應的通道中輸出。根據(jù)光路可逆性原理，單通道濾光片的串置結構也可實現(xiàn)在復用端(WDMMux)把不同波長耦合進同一條光纖。WDM中的分波、合波過程如圖1-2所示[6]。圖1-1圖1-1波分復用WDM系統(tǒng)示意圖圖1-2圖1-2波分復用WDM的分波與合波示意圖為提高信息系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸量，降低系統(tǒng)成本，節(jié)約光纖的鋪設投資和設備，近年來新發(fā)展的波分復用技術，使光通信系統(tǒng)向二維的方向發(fā)展，這種新的WDM技術又稱單纖多端(雙向)技術，即在同一根光纖內傳輸不同頻率的上行與下行光波。圖1-3為一個單纖雙向WDM系統(tǒng)的結構示意圖[7]，其中，上行信號利用1.310m光載波，下行信號使用1.550m光載波。光通信網(wǎng)絡的未來發(fā)展趨勢是全光網(wǎng)絡。全光網(wǎng)絡是指用戶與用戶之間的信號傳輸和交換過程全部采用光技術，即數(shù)據(jù)從源節(jié)點至目的節(jié)點的傳輸過程都是在光域內進行的。在全光網(wǎng)絡中，無需對信號進行電處理，因此允許存在各種不同的協(xié)議和編碼形式，信號的傳輸具有透明性。全光網(wǎng)絡還具有大帶寬、高可靠性與低成本等顯著優(yōu)勢。全光網(wǎng)絡的核心技術是密集波分復用(DWDM)、光交叉連接(OXC)與光分插復用(OADM)技術[8]。圖1-3圖1-3波分單纖雙向WDM系統(tǒng)結構示意圖1.3光學薄膜型波分復用器件在WDM網(wǎng)絡中，實現(xiàn)分波、合波、耦合、分路和光分插等功能的器件主要有光纖布拉格光柵(FiberBraggGrating)、陣列波導光柵(ArrayWaveGuide)以及薄膜濾光片(ThinFilmFilter)等三種[9]。其中，光纖Bragg光柵具有濾波形狀良好的優(yōu)點，當使用帶通濾波器時具有高隔絕、低插損等良好的光學特性，而且投資成本低，但需要光環(huán)型器或馬赫-曾特爾(Mach-Zehnder)干涉儀，不適合于寬頻帶的應用，成本上受限于頻道數(shù)；陣列波導光柵具有發(fā)展高密度頻道間隔的短制作時間、高頻道數(shù)及大小壓縮的相對低插損、整合其他功能的潛力以及成本上不受限于頻道數(shù)等優(yōu)點，但其濾波形狀差、非相鄰頻道雜訊高、易受溫度影響以及投資成本高等缺點；薄膜濾光片具有頻道數(shù)與不規(guī)則波長的可選擇彈性，具有高隔絕、低插損與良好的偏振效應等光學特性，溫度穩(wěn)定性好，是寬頻帶應用的唯一選擇，但需要較長的時間發(fā)展以需要高密度頻道間隔的濾波器，成本也取決于頻道數(shù)。目前，在WDM網(wǎng)絡中真正大量使用的是光學介質薄膜型器件。這主要是因為薄膜濾光片本身具有良好的光學性能、較高的穩(wěn)定性以及低廉的生產(chǎn)成本等優(yōu)點。介質薄膜濾波器型WDM器件是由介質薄膜濾光片與微光學元件以及尾纖組裝在一起構成的，其核心部件是介質薄膜濾光片，后者的作用是允許一個特定通道波長的光波透過而同時反射其他波長的光波。這種器件一般具有很好的溫度穩(wěn)定性(溫度系數(shù)<0.002nm/℃)，對偏振特性不敏感，且插入損耗低[10]。基于薄膜濾光片的光學器件的用途包括多信道復用與解復用器以及光分插復用器上的應用，導引和處理光信號，以及在增益平坦、頻帶分割、C通道和L通道的分離以及泵浦光的合波等方面的廣泛應用。光學薄膜元器件由于可很好地解決中心波長漂移的問題，插損小、封裝易、隔離度高，以及性能價格比優(yōu)越，已廣泛應用于光通信領域，尤其是在100GHz與200GHz密集波分復用系統(tǒng)市場?，F(xiàn)在，光通信的分波、合波、光放大、色散和非線性克服技術、節(jié)點技術(即光OXC與OADM技術)、網(wǎng)絡監(jiān)測，以及控制和管理技術等均已離不開光學薄膜技術[11]。而且，利用光學薄膜技術可以極大改善用于光通信的一些光無源器件的性能，如自聚焦透鏡、薄膜起偏分束器、熱擴束光纖光隔離器，以及光纖尾纖、光纖耦合透鏡、光隔離器、位相延遲片與用于光環(huán)形器的小尺寸偏振分光棱鏡等等的鍍膜。另外值得一提的是，在最近發(fā)展起來的應用于城域網(wǎng)的粗波分復用(CWDM,CoarseWDM)網(wǎng)絡與應用于骨干網(wǎng)的密集波分復用(DWDM)網(wǎng)絡中，薄膜濾光片技術是迄今唯一的具有實用價值的選擇。1.4光學薄膜技術1.4.1光學薄膜的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀光學薄膜是現(xiàn)代光學儀器與光學器件的重要組成部分，通過在各種光學材料的表面鍍制一層或多層薄膜，利用光的干涉效應來改變透射光或反射光的光強、偏振狀態(tài)和相位變化。光學薄膜可以鍍制在光學塑料、光纖、光學玻璃和晶體等各種材料表面，其厚度一般為幾個nm(109m)到幾十甚至上百個m(106m)。光學薄膜的牢固性、光學穩(wěn)定性都可達到相當好的程度，其成本又比較低廉。由于是鍍制于光學材料的表面，光學薄膜幾乎不增加材料的體積和重量，因此是改變光學儀器與器件的光學性質的首選方法，甚至可以說沒有光學薄膜就沒有現(xiàn)代的各種光學儀器和光學器件。在200多年的發(fā)展過程中，在光學薄膜方面已形成了一套完整的理論，即薄膜光學；同時，也發(fā)展了自成體系的膜系設計方法，設計并制造了各類光學薄膜。光學薄膜從功能上可分為減反膜、分光膜、高反膜、截止濾光片和帶通濾光片等；從薄膜性質上可分為均勻介質薄膜和非均勻介質薄膜；從應用波段上可分為X射線薄膜、紫外薄膜、可見光薄膜和紅外薄膜等等。光學薄膜概念最早萌芽于十七世紀“牛頓(Newton)環(huán)”的發(fā)現(xiàn)[12]，1801年的“楊(Young)氏干涉”實驗圓滿解釋了光學薄膜現(xiàn)象。自1899年以來，法布里-珀羅(Fabry-Perot)標準具一直是帶通濾光片的基本結構形式。麥克斯韋(Maxwell)出版于1873年的巨著《電磁通論[13]，從理論上和本質上證明了光是電磁波，為波動光學的發(fā)展，也為薄膜光學的發(fā)展奠定了理論基礎。從二十世紀四十年代開始，薄膜光學進入全面發(fā)展時期，各種薄膜光學理論和膜系計算方法相繼提出。六十年代以后，隨著激光技術、光譜學技術和空間技術等的飛速發(fā)展，對光學薄膜提出了更高的要求。同時，電子計算機與計算科學的應用，使光學薄膜的計算與分析有了銳利的工具，因此推動了光學薄膜的飛速發(fā)展。進入九十年代，光通信技術的迅猛發(fā)展與產(chǎn)業(yè)化，對光學薄膜的發(fā)展起了很大的推動作用，對光學薄膜的設計與制備也提出了越來越高的要求。比如波分復用中的帶通濾光片，通帶的寬度對一個100GHz的濾光片而言僅0.4nm左右，并且矩形濾波要求頗高，同時也對通帶內的群延(GroupDelay)提出了一定的要求。摻鉺光纖放大器的增益補償濾光片要求在C波段40nm左右的范圍內須達到一特定的透過率曲線，這也是光學薄膜從未遇到過的要求。在數(shù)據(jù)傳輸率提高時，比如達到40GB/s時，色散補償濾光片的性能顯得非常關鍵。由于高頻激光產(chǎn)生的超短脈沖在光學薄膜中引起的瞬態(tài)效應，需要新的光學薄膜設計方法，因為此時要求光學薄膜能夠提高脈沖的矩形度甚至使得脈沖的頻率更高[14]?？偟恼f，就是要求對膜系光學特性的波長定位更為準確，比如達到1nm甚至0.1nm以下，同時也要求薄膜的厚度越來越大，比如一個50GHz的波分復用濾光片，需要做到光學厚度60m以上，而放大器增益補償濾光片的光學厚度也可達到30～40m。在光學儀器(器件)和光電設備中，光學薄膜技術是不可缺少的關鍵技術。在光通信技術中，光學薄膜在改進光鏈路的耦合效率、補償器件的色散、減少器件的插入損耗等方面起著重要作用，是波分復用等器件的核心技術。迅猛發(fā)展的光通信產(chǎn)業(yè)的技術需求，對光學薄膜的設計、制備與測試等方面提出了新挑戰(zhàn)。1.4.2光學薄膜設計方法的發(fā)展研究與設計光學薄膜的理論基礎是經(jīng)典電磁場理論。為了便于計算光學薄膜的性質，通常采用特征導納矩陣方法[15]，其具體計算過程詳見本論文第2章。為使其能實現(xiàn)所指定的功能，光學薄膜系統(tǒng)一般須由折射率不同、幾何厚度有嚴格要求的多層光介質薄膜組成。光學薄膜系的特性計算是一個相對簡單的問題，只要給定每一層膜的參數(shù)(包括折射率和幾何厚度)，便可以很方便地求出薄膜系在每一特定入射角和波長條件下的透過率、反射率等性質。光學膜系的設計是上述計算的逆問題，即根據(jù)預定的光譜特性要求，反過來求取組成膜系的每一層薄膜應該選取的折射率和厚度。這一逆問題要比正問題復雜得多，其一是由于可用于光學薄膜制備的材料有限，因而對折射率參數(shù)的選擇就非常有限；其二由于每一多層膜系統(tǒng)往往是由十多層甚至幾十層薄膜所組成的，自變量的數(shù)目太多，導致計算量很大，復雜程度很高。最初采用解析法設計光學膜系，主要是應用矢量作圖法、等效界面法[16]、虛設層法、車比雪夫(Chebyshev)多項式法[17]、對稱膜系的等效折射率法[18]、勢透射率誘導[19]和導納圖解法[20]等基本的分析手段，對傳統(tǒng)的減反射膜、分束鏡、高反射鏡、干涉截止濾光片、帶通濾光片等膜系進行具體的分析和試探，從而設計出符合要求的薄系。這些方法針對性強、效果也比較理想。光學膜系的設計作為一個優(yōu)化問題來處理，最早是由Baumeister在1958年提出的[21]。二十世紀七十年代以后，隨著計算機技術的迅猛發(fā)展以及迅速發(fā)展起來的各種數(shù)值優(yōu)化方法的應用，光學薄膜的計算機輔助優(yōu)化設計越來越受到重視，直至現(xiàn)在已成為最廣泛應用的膜系設計方法。一般而言，光學薄膜的計算機輔助設計方法可以分為“精煉(Refinement)”法與“合成(Synthesis)”兩大類。從一個或一組初始結構出發(fā)，運用各種優(yōu)化方法進行搜索，對各膜層的折射率和厚度進行優(yōu)化，從而達到最優(yōu)解。這即是所謂的“精煉”法，優(yōu)化問題的大多數(shù)經(jīng)典方法都屬于此類，在這類方法中，一般不改變膜系的層數(shù)，而只是改變每膜層的參數(shù)。相反，在所謂的“合成”法中，不需要問題的初始解，而是以某種方式逐漸增加膜層數(shù)，即對膜系進行自動“合成”，使膜系的光學性質達到預定要求。我們在第5章中將介紹的“縫衣針(Needle)”方法便是膜系設計中典型的“合成”方法。實際上，盡管各有長短之處，任何一種數(shù)值優(yōu)化方法都可以應用于光學薄膜的優(yōu)化設計。模式搜索(Hooke-Jeeves)法、單純形法、Powell共軛方法、變尺度法(VariableMetrics)等各種局部優(yōu)化方法[22]都曾被廣泛應用于膜系設計。隨著各種全局優(yōu)化方法的發(fā)展，已開始有統(tǒng)計試驗法[23]、模擬退火法[24]、遺傳算法[25]、進化算法[26]、拉丁方格(LatinSquare)[27]等各種比較新穎的方法成功應用于膜系設計。光學薄膜的計算機輔助優(yōu)化設計方法的發(fā)展總是與光學薄膜制備技術的發(fā)展相輔相成的，在理論上優(yōu)化得到的薄系結構往往是非/4(四分之一波長)形式的不規(guī)整結構，在工藝技術上需要發(fā)展相應的監(jiān)控技術才能實現(xiàn)制備，而在制備監(jiān)控過程本身之中如何減小誤差也需以優(yōu)化方法進行分析。因此，今后光學膜系設計的發(fā)展趨勢可能是一邊制備一邊優(yōu)化的一種實時控制系統(tǒng)。1.5本論文的研究目的與內容鑒于光學膜系設計在光通信尤其是波分復用光通信網(wǎng)絡技術中的重要意義，我們開展了光學膜系優(yōu)化設計方面的研究，具體內容包括：(1)研究光學膜系設計中若干有代表性的方法的算法，包括“精練”法中典型的最優(yōu)化方法，單純形方法與整體模擬退火遺傳算法，以及“合成”法中典型的Needle方法，前者屬于典型的求解最優(yōu)化問題的局域最優(yōu)解的數(shù)值方法，后二者屬于可得到全局最優(yōu)解的數(shù)值方法；(2)對上述所研究的各算法實現(xiàn)程序化；(3)為驗證所實現(xiàn)的計算機程序，以實際應用和制備工藝現(xiàn)狀為背景，對若干種光學膜系進行優(yōu)化設計。在本學位論文中，第2章主要介紹計算光學膜系性質的方法以及優(yōu)化設計光學膜系的基本原理；第3章研究單純形最優(yōu)化方法在光學膜系優(yōu)化設計中的應用；在第4章中，我們在標準的遺傳算法的基礎上提出一種新的遺傳算法，即基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并應用于膜系優(yōu)化設計；在第5章中，對最近新提出的設計膜系的Needle方法進行程序化，并將其應用于實際的膜系優(yōu)化設計；第6章為簡要的總結與展望。第2章光學膜系最優(yōu)化設計的基本原理2.1膜系的光學性質及其計算方法計算光學膜系的光學性質是優(yōu)化設計光學膜系的基礎。光學膜系的光學性質描述了膜系中電磁波的傳播特性，主要包括膜系對電磁波的反射系數(shù)(或反射率)、透射系數(shù)(或透射率)以及反射與透射電磁波的相位變化等。光本質上是電磁波，研究膜系的光學性質的物理學理論基礎是經(jīng)典電磁理論[15]。2.1.1介質中的電磁波在經(jīng)典電磁理論中，Maxwell方程組描述電磁波在介質中的傳播。在Gauss單位制下，Maxwell方程組可表達為[28]：(2-1a)(2-1b)(2-1c)(2-1d)其中，c為真空中電磁波的傳播速率，E為電場強度矢量，H為磁場強度矢量，D為電感應強度(電位移)矢量，B為磁感應強度矢量，為空間自由電荷密度，J為傳輸電流密度矢量，Jc為位移電流密度矢量，(2-2)同時，在介質中有物質本構方程：(2-3a)(2-3b)(2-3c)其中,與分別為介質的介電常數(shù)、磁導率與電導率。在各向同性均勻介質中，,與均為常數(shù)。若假設介質為不帶電荷的各向同性均勻介質(在光學薄膜中通常如此)，此時，，，，且方程(2-1c)和(2-1d)可得到電場強度E的波動方程：(2-4)上述波動方程有如下平面波解：(2-5a)同理可得到磁場強度H波動方程的平面波解：(2-5b)式(2-5a)或(2-5a)中，為電磁波圓頻率(為頻率)，為波矢，為波矢方向(電磁波傳播方向)上的單位矢量，N為介質的復折射率(或稱光學導納)。若令，并將式(2-5a)代入方程(2-4)，可得到(2-6)對于不導電介質，，，此時N為實數(shù)，且。這時電磁波為正弦(余弦)波：(2-7)對于導電介質，，，此時電磁波為衰減的正弦(余弦)波：(2-8)2.1.2導納方程由式(2-5a)、(2-1d)、(2-2)與(2-3a)，可得到(2-9)根據(jù)矢量旋度與矢量叉積的定義，(2-10)(2-11)同時利用式(2-9)，我們可以得到(2-12)式(2-10)與(2-11)中，()為j坐標軸方向上的單位矢量，與分別為波矢方向單位矢量與磁場強度矢量H在j軸方向上的分量。同理，可以得到(2-13)式(2-12)與(2-13)稱為光學導納方程，在計算光學膜系的光學性質很有用處[15]。2.1.3光波在介質界面上的反射與折射在光學膜系中總存在若干介質界面，膜系的光學性質與光波在各介質界面上的反射和折射規(guī)律有關。現(xiàn)考慮光波自復折射率為的介質入射到該介質與另一介質(復折射率為)的界面時的反射和折射過程。圖2-1正入射的光波在界面反射與折射示意圖N0N1首先討論光波垂直入射于界面的情形。此時，光波的傳播方向垂直于界面，而電場強度矢量E與磁場強度矢量H均平行于截面；在介質中有正向行波(,)與反向行波(,)，在介質中僅有正向行波(,)，如圖2-1所示。根據(jù)導納方程(2-13)，有圖2-1正入射的光波在界面反射與折射示意圖N0N1(2-14a)(2-14b)(2-14c)同時，由于在E與H在切線方向上連續(xù)，故有如下邊界條件：(2-15a)(2-15b)由式(2-14a)～(2-15b)可得到(2-16)定義反射系數(shù)r為反射波振幅與入射波振幅之比，則(2-17)定義透射系數(shù)t為透射波振幅與入射波振幅之比，則(2-18)而反射率R與透射率T分別為(2-19)(2-20)其次，討論光波斜入射于界面的情形。此時，E與H依然在切線方向上連續(xù)，但邊界條件(2-15a)與(2-15b)不再適用，須考慮入射角以及E與H的極化方向。設E與H的切線分量Et與Ht仍滿足如式(2-13)的導納方程：(2-21)式中稱為有效導納，不僅與導納N有關，還與入射角以及E與H的極化方向有關。對于E或H，總可以將其分解為入射面內的分量與垂直于入射面的分量。電場極化方向垂直于入射面(此時磁場極化方向在入射面內)的光波稱為TE波(橫電波)，又稱S偏振波或偏振波(如圖2-2a所示)；電場極化方向在入射面內(此時磁場極化方向垂直于入射面)的光波稱為TM波(橫磁波)，又稱P偏振波或偏圖2-2斜入射TE波(a圖2-2斜入射TE波(a)與TM波(b)在界面反射和折射示意圖N0N1(a)N0N1(b)若入射光波為TE波，則，(為切線方向上的單位矢量)，相應的導納方程成為(2-22)其中為對TE波的有效導納。若入射光波為TM波，則時，，相應的導納方程成為(2-23)其中為對TM波的有效導納。無論是TE波還是TM波，均有如下邊界條件：(2-24a)(2-24b)與正入射的情形相似，可得到如下反射系數(shù)r與透射系數(shù)t的表達式：(2-25)(2-26)其中系數(shù)(對于TE波)或(對于TM波)。2.1.4光學薄膜的特征矩陣圖2-3光波在薄膜中傳播示意圖N0N1N2現(xiàn)考慮光波在一層薄膜中的傳播過程。此時，涉及到3種不同介質和2個介質界面。如圖2-3所示，設光波自介質入射到界面S01上，在界面S01上反射與折射，透過界面S01的光波在介質膜層(幾何厚度為)內傳播，然后在界面圖2-3光波在薄膜中傳播示意圖N0N1N2在入射介質內，電磁場E與H包括了正向行波和反向行波，即，。在介質內，同樣有正向行波與反向行波。記在介質內且接近界面S01的正行波為與，接近界面S01的反行波為與；接近界面S12的正行波為與，接近界面S12的反行波為與。在出射介質內，僅有正行波，即，。在界面S01上，有切向分量連續(xù)性邊界條件：(2-27a)(2-27b)考慮電磁場在介質膜層傳播過程中的相位變化，有(2-28a)(2-28b)其中稱為相位厚度，稱為光學厚度，為波長，為光波在界面S01處的折射角。因此有(2-29)同時，對介質內且接近界面S01的切向波和應用導納方程，并利用相位關系(2-28a)和(2-28b)以及邊界條件(2-27b)，可得到(2-30)上式與式(2-29)可合寫成如下矩陣形式：(2-31)在界面S12上，有切向分量連續(xù)性邊界條件：(2-32a)(2-32b)重復以上相似的步驟，可得到(2-33)(2-34)式(2-33)與式(2-34)寫成矩陣形式為(2-35)根據(jù)方程(2-31)與(2-35)，可建立入射場與出射場之間的關系：(2-36)矩陣(2-37)稱為膜層的特征矩陣，其使電場強度與磁場強度的切向分量在膜層的入射端與出射端之間建立起聯(lián)系，且僅包含膜層的參數(shù)。利用膜層的特征矩陣，可方便地計算膜層的反射系數(shù)與透射系數(shù)[29]。膜層對光波的反射和折射，可等價地視為一介質界面對光波的反射與折射。因此引入膜層的組合導納Y，其滿足如下導納方程：(2-38)同時，我們有邊界條件，。利用關系(2-36)并應用出射介質中電磁場的切向分量導納方程，可得到(2-39)其中(2-40)而且(2-41)類似于式(2-25)與(2-26)，我們有膜層的反射系數(shù)與透射系數(shù)：(2-42)(2-43)其中系數(shù)(對于TE波)或(對于TM波)。2.1.5光學膜系的光學性質上述過程可推廣到最一般的光學膜系?？紤]由m層介質膜與基片所構成的膜系，其中第j層薄膜的復折射率與幾何厚度分別為和，基片的復折射率為，圖2-4光學膜系結構示意圖N1N2NmNgd1d2dm圖2-4光學膜系結構示意圖N1N2NmNgd1d2dmN0設第j膜層的特征矩陣為，(2-44)其中，，(2-45)(2-46)為在界面的折射角，可由Snell定律求得：(2-47)與得到式(2-39)的過程相似，我們有(2-48)令(2-49)則(2-50)整個膜系的組合導納為(2-51)反射系數(shù)與透射系數(shù)分別為(2-52)(2-53)其中系數(shù)(2-54)反射率與透射率分別為(2-55)(2-56)而反射或透射光相位變化或分別為復反射系數(shù)r與復透射系數(shù)t的相角。2.2光學膜系優(yōu)化設計的基本原理光學膜系的優(yōu)化設計，是尋找合適(最優(yōu))的膜系結構參數(shù)使膜系的光學性質盡可能地滿足預定的性質的最優(yōu)化設計過程。以光學膜系的反射光譜為例，說明光學膜系優(yōu)化設計的基本原理。與其他光學性質一樣，膜系的反射光譜與膜系的膜層數(shù)m，各膜層的折射率與厚度，以及環(huán)境介質和載片介質的折射率和有關，不僅是波長的函數(shù)，而且是這些參數(shù)的函數(shù)。假設環(huán)境和載片介質已確定，為使光學膜系在指定的波長范圍內具有所要求的反射光譜，必須選擇合適的膜系結構參數(shù)m,和，使得函數(shù)與的取值在波長區(qū)間內盡量一致。在實際計算中，對波長區(qū)間離散化，因此上述膜系優(yōu)化設計問題可描述為如下非線性最小二乘問題：(2-57)其中,。在數(shù)學上，這是一個維非線性規(guī)劃問題。推廣至更一般的情況：優(yōu)化膜系的結構，使其n個光學性質分別與n個目標光學性質盡可能地接近，即在數(shù)學上求解如下最優(yōu)化問題：(2-58)其中為目標函數(shù)(或稱評價函數(shù))，為自變量，和分別為對應于的權重因子和容限。一般而言，上述問題中的目標函數(shù)為復雜的非線性函數(shù)。在最一般情況下，上述最優(yōu)化問題是維的不定維問題(膜層數(shù)m可變)；若限定膜層數(shù)m，則問題成為維問題；若更進一步，指定選擇各膜層的介質，則問題成為m問題。在具體的膜系優(yōu)化設計中，如何定義問題(2-58)中的目標函數(shù)對于能否得到理想的結果以及能否提高數(shù)值計算的效率至關重要。定義目標函數(shù)時引入容限，是為了允許優(yōu)化后的光學性質相對于目標性質存在一定的偏差。在實際的光學膜系優(yōu)化設計中，通常取，則目標函數(shù)最優(yōu)值時，所得到的最優(yōu)光學性質與所要求的有1％的平均偏差[30]。在目標函數(shù)中引入權重因子，是因為在實際的膜系設計中對膜系的不同性質或不同波長處的性質有不同程度的精度要求；引入權重因子另一個原因是為了減少計算量、提高計算效率。例如，在設計帶通濾波片時，如通帶波段很窄而截止波段較寬，此時若對波長等間隔離散化，則可能因截止波段取點過多而導致通帶特性的要求被忽略，而通帶特性的要求卻恰恰是設計的目的，在數(shù)值分析中這樣得到的最優(yōu)解卻往往是實際上很不理想的結果；當然也可以在通帶波段內更密集地取點，但卻大大增加了計算量。此時，可通過提高通帶波段內的權重而簡單地解決問題。2.3關于最優(yōu)化方法在理論上設計光學膜系的主要過程是以最優(yōu)化方法求解形如(2-58)的規(guī)劃問題。如第1章中所述，在光學膜系優(yōu)化設計領域中，已成功應用或發(fā)展了各種最優(yōu)化方法。由于具體問題的復雜性，迄今任何一種最優(yōu)化方法都不是普遍適用的。光學膜系優(yōu)化設計問題的復雜性可概括為兩方面：其一，膜系的光學性質是膜系結構參數(shù)的非常復雜的非線性函數(shù)(這在本章第2.1節(jié)中已可看出)，因而最優(yōu)化問題中的目標函數(shù)也是關于膜系結構參數(shù)的復雜函數(shù)，我們甚至無法寫出其函數(shù)表達式；其二，在優(yōu)化設計膜系時，我們通常不嚴格約束膜系的層數(shù)，此時最優(yōu)化問題的維數(shù)以及目標函數(shù)是變化的，這可能導致在求解同一問題時同一最優(yōu)化算法不能自始至終是適用的。由于膜系優(yōu)化設計問題中目標函數(shù)的復雜性，最優(yōu)化理論中的Newton方法、共軛梯度方法等使用目標函數(shù)偏導數(shù)的經(jīng)典的最優(yōu)化方法[22]并不適合于膜系優(yōu)化設計問題；經(jīng)典的最優(yōu)化方法中，Hooke-Jeeves法、Rosenbrock法、單純形法和Powell法等不計算目標函數(shù)偏導數(shù)的直接方法[22]才適用。依然是由于目標函數(shù)的復雜性，以經(jīng)典的最優(yōu)化方法所得到的結果往往是局域解而不是全局最優(yōu)解；為得到更理想的優(yōu)化設計結果，在膜系優(yōu)化設計領域中已愈來愈多地引入全局最優(yōu)化方法，近年來逐漸發(fā)展與推廣應用的統(tǒng)計試驗法[23]、模擬退火法[24]、遺傳算法[25]、進化算法[26]和拉丁方格(LatinSquare)[27]等全局最優(yōu)化方法已證明可成功應用于光學膜系的優(yōu)化設計，盡管理論上這些方法的收斂性證明問題還不是解決得很好。傳統(tǒng)的最優(yōu)化方法一般都是“精煉”法，即從若干個初始解出發(fā)，以某種算法得到改進的解，經(jīng)過有限次迭代，得到在精度范圍內的近似最優(yōu)解。這適用于預先確定膜層數(shù)的膜系優(yōu)化設計問題，但同時也限制了許多可能的膜系設計方案。相反，在所謂的“合成”法中，不需要問題的解的雛形，而是以某種方式逐漸增加膜層數(shù)，對膜系進行自動“合成”，使膜系的光學性質達到預定要求，如同我們在第5章中將介紹的Needle方法一樣。在本文的第3～5章中，我們將分別應用單純形方法、遺傳算法和Needle方法等若干種具有代表性的方法于光學膜系設計上，各具體方法的原理將分別在相應的各章中進行描述。第3章光學膜系優(yōu)化設計的單純形方法單純形法是求解最優(yōu)化問題的直接算法之一。單純形法在原則上是一種局域方法，但具有算法簡單、易于程序實現(xiàn)的優(yōu)點，適用于膜系層數(shù)較少的膜系優(yōu)化設計問題。在本章中，我們應用單純形方法于膜系優(yōu)化設計，首先介紹單純形方法的基本原理、算法與程序流程，最后以實例介紹我們所編制的膜系優(yōu)化設計的單純形算法的程序運算結果。3.1單純形方法的基本原理單純形(Simplex)方法是一種無約束最優(yōu)化的直接方法，其基本思想是：在n維空間中給定一單純形后，求出其個頂點上的目標函數(shù)值，比較確定其中有最大函數(shù)值的點(最高點)和有最小函數(shù)值的點(最低點)，然后經(jīng)過反射、擴展或壓縮等單純形變換求出一個較好的點以代替最高點，從而構成新的單純形，或者通過向最低點收縮形成新的單純形。如此反復，逐漸逼近目標函數(shù)的極小點。所謂單純形，是指n維空間中有個頂點的凸多面體，如一維空間中的線段、二維空間中的三角形、三維空間中的四面體，等等。若單純形的個頂點中任意二點間的距離相等，則此單純形稱為正規(guī)單純形[22]。以二元函數(shù)極小化為例，說明上述單純形最優(yōu)化原理。此時，，在二維空間(平面)中取不共線的三點,和以構成初始的單純形(如圖3-1所示)。不失一般性，假設初始單純形的頂點中最高點與最低點分別為與，即。為實現(xiàn)單純形的轉換，對初始的單純形作反射變換，即對最高點作關于其余頂點的形心的反射變換，此處便是對點作關于線段之中點(3-1)的反射，可得到反射點(3-2)其中稱為反射因子，一般取。圖3-1圖3-1單純形變換示意圖x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)(1)若，則方向顯然對于目標函數(shù)值的減小是有利的，于是沿此方向進行擴展。令(3-3)其中稱為擴展因子。此時又有兩種可能：①若，則擴展成功，以點替換點，得到以點,和為頂點的新的單純形；②若，則擴展失敗，此時以點替換點，得到以點,和為頂點的新的單純形。(2)若，即反射點的函數(shù)值介于最低點與次高點的函數(shù)值之間，則以點替換點，得到以點,和為頂點的新的單純形。(3)若，即反射點的函數(shù)值大于次高點的函數(shù)值，則對單純形進行壓縮變換：在點和中選擇函數(shù)值最小的點，即，令(3-4)其中稱為壓縮因子，。所得到的壓縮點位于點和之間。此時又有兩種可能：①若，則以點替換點，得到以點,和為頂點的新的單純形；②若，則進行壓縮，即最低點不變，其余點和均向點移動一半距離，令(3-5)(3-6)得到以點,和為頂點的新的單純形。以上所有情形中，無論是哪一種情形，所得到的新的單純形，其必有一個頂點的函數(shù)值小于或等于原單純形任一頂點的函數(shù)值。每得到一個新的單純形后，再重復以上步驟，直至滿足收斂準則為止(如圖3-2所示)。圖3-2圖3-2單純形方法迭代示意圖3.2算法與程序流程根據(jù)以上所述原理，我們有如下求解n元函數(shù)極小值的單純形最優(yōu)化方法計算步驟：①給定初始單純形，其頂點為，反射因子，擴展因子，壓縮因子()，允許誤差；計算函數(shù)值；置迭代序號。②確定最高點,次高點,最低點,其中,使(3-7)(3-8)(3-9)計算除最高點外的n個頂點的形心， (3-10)計算函數(shù)值。③作反射變換，令 (3-11)計算函數(shù)值。④若，則作擴展變換，令 (3-12)計算，轉⑤；若，則置，轉⑦；若，則作壓縮變換，令 (3-13)其中或，令 (3-14)計算，轉⑥。⑤若，則置，，轉⑦；否則，置，，轉⑦。⑥若，則置，，轉⑦；否則，作收縮變換，令, (3-15)計算，轉⑦。⑦檢驗是否達到收斂準則。若 (3-16)則停止計算，現(xiàn)行最佳點可作為極小點的近似；否則，置，返回②。輸出結果是開始輸入初始參數(shù)(膜系層數(shù)、各層膜折射率與初始厚度、入射介質與載片折射率、目標光學性質、初始步長、輸出結果是開始輸入初始參數(shù)(膜系層數(shù)、各層膜折射率與初始厚度、入射介質與載片折射率、目標光學性質、初始步長、反射因子、擴展因子、壓縮因子、允許誤差)計算光學性質與優(yōu)化模型目標函數(shù)是否達到允許精度?單純形優(yōu)化過程否圖3-3單純形方法優(yōu)化光學膜系的計算流程圖,(3-17)圖3-4單純形優(yōu)化方法簡要流程圖退出是單純形變換過程否構造初始單純形計算目標函數(shù)值構造新單純形是否達到允許精度?計算目標函數(shù)值圖3-4單純形優(yōu)化方法簡要流程圖退出是單純形變換過程否構造初始單純形計算目標函數(shù)值構造新單純形是否達到允許精度?計算目標函數(shù)值3.3計算實例與討論我們以上述單純形最優(yōu)化算法優(yōu)化了近紅外波段(1.000～1.700m)高反膜系以及相當于一個短波通干涉截止濾光器的紅膜系(要求在400～650nm波長范圍內高透，在650～750nm范圍內高反)。優(yōu)化設計上述膜系時，確定膜系層數(shù)以及入射介質、載片介質和各層光學薄膜的折射率，此時優(yōu)化自變量為各膜層的幾何厚度，最優(yōu)化模型為(3-18)其中，與分別為膜系在波長處的實際反射率與目標反射率，n為離散波長數(shù)。此外，假設膜系無吸收，光波為正入射，以及各膜層內在光波傳播方向上的折射率均勻分布。3.3.1近紅外波段高反膜系的設計設計近紅外波段(1.000～1.700m)高反膜系，根據(jù)光學基本原理，選擇初始膜系結構為AHLHLHG，其中入射介質A為空氣(1.00)，載片G為K9玻璃(1.52)，高折射率膜層介質H為碲化砷(4.10),低折射率膜層介質L為冰晶石(1.35)，膜系的初始幾何厚度依順序隨意選取為(70.0,22.0,75.0,110.0,200.0)，單位為納米(nm)。設計目標是波長1000～1700nm范圍內膜系的反射率99％。權重因子取1。圖3-5近紅外高反膜系初始結構的反射光譜nmR圖3-5近紅外高反膜系初始結構的反射光譜nmR以單純形優(yōu)化方法優(yōu)化上述膜系。取反射因子，壓縮因子，擴展因子，控制精度。經(jīng)優(yōu)化后，膜系的幾何厚度依順序為(82.0,250.7,82.0,248.0,82.0)，單位為納米(nm)；膜系的反射光譜如圖3-6所示。從圖3-6中可以看出，優(yōu)化后的膜系在1.000～1.700m波長范圍內的平均反射率基本上都高于99％，已實現(xiàn)了增反設計目標。nmR圖3-6nmR圖3-6優(yōu)化后的近紅外高反膜系的反射光譜3.3.2紅膜的設計對于典型的紅膜，要求在400～650nm波長范圍內高透，在650～750nm范圍內高反，實際上相當于一個短波通干涉截止濾波器。我們設計了一個結構如的高、低折射率材料相間的17層膜系，其中高折射率2.30,低折射率1.45)，入射介質與載片仍分別為空氣和K9玻璃。選擇中心波長750nm，初始結構為膜系，即各層膜的厚度為129.0(81.5|129.0)8，單位為nm。初始膜系的反射光譜如圖3-7所示。以單純形優(yōu)化方法對上述初試膜系進行優(yōu)化。取反射因子，壓縮因子，擴展因子，控制精度。設計目標為，在400～650nm波nmnmR圖3-8優(yōu)化后紅膜的反射光譜nmR圖3-7優(yōu)化前紅膜的反射光譜長范圍內反射率為0，在650～750nm波長范圍內反射率為1；權重因子取1。經(jīng)優(yōu)化后，膜系的結構為59.820382.5274131.801484.5198131.740981.8371128.665185.3793125.102983.4841128.466283.4671129.692984.2181137.534491.8320144.3979單位為nm，其反射光譜如圖3-8所示。由圖3-8可以看到，優(yōu)化后的膜系在400～650nm波長范圍內平均反射率小于5％，在650～750nm范圍內平均反射率大于97％，就實際應用而言，這已達到紅膜設計的基本要求。以優(yōu)化后的膜系結構作為初始膜系結構，提高控制精度至，再進行優(yōu)化，所得到的結果優(yōu)于第一次優(yōu)化，但并不明顯。3.4小結在本章中，我們介紹了單純形最優(yōu)化方法的基本原理與算法，并應用該方法于光學膜系的優(yōu)化設計。我們編寫了相應的C語言程序代碼，并以該程序成功計算了具有5層光學薄膜的近紅外波段(1.000～1.700m)高反膜系以及相當于一個短波通干涉截止濾光器的具有17層光學薄膜的紅膜系(在400～650nm波長范圍內高透，在650～750nm范圍內高反)的優(yōu)化問題。由上述兩個實例的計算結果可以看出，單純形最優(yōu)化方法適用于光學膜系的優(yōu)化設計問題，而且對初始條件的要求并不是很苛刻，即使在初始膜系結構的光譜性質與目標光譜性質相比相差頗遠時仍能夠得到比較理想的優(yōu)化結果。但是，隨著光學膜系的膜層數(shù)目增加，單純形最優(yōu)化方法的數(shù)值計算效率急劇下降。對于所研究的17層膜的光學膜系的優(yōu)化問題，在CPU為Celeron1GHz、操作系統(tǒng)為WindowsXP的計算機系統(tǒng)上運行近3hrs。第4章以實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法優(yōu)化設計光學膜系在上一章中,我們介紹了單純形最優(yōu)化方法在光學膜系優(yōu)化設計中的應用。在原則上，單純形最優(yōu)化方法是一種局域的直接方法；當光學膜系的規(guī)模較大時，以單純形最優(yōu)化方法所得到的最優(yōu)解往往只是局域最優(yōu)解。在本章中，我們將介紹另一種最優(yōu)化方法，即遺傳算法(GeneticAlgorithm)。遺傳算法也是一種直接方法；遺傳算法在原則上可得到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，而且具有很強的魯棒性(Robustness)[31]。我們在標準遺傳算法的基礎上，提出基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并將該算法應用于光學膜系優(yōu)化設計問題。4.1遺傳算法的基本原理遺傳算法是對生物體進化過程的抽象，通過全面模擬自然選擇和遺傳的機制，形成一種具有“生成＋檢驗”特征的搜索算法。遺傳算法以編碼空間代替優(yōu)化問題的參數(shù)空間，以適應度函數(shù)為評價依據(jù)，以編碼群體為進化基礎，以對群體中個體位串的遺傳操作實現(xiàn)選擇和遺傳機制，從而建立一個迭代過程。在迭代過程中，通過隨機重組編碼位串中重要的基因，使新一代的位串集合優(yōu)于老一代的位串集合，于是群體中的個體不斷進化，逐漸接近問題的最優(yōu)解[31]。遺傳算法作為一種通用的全局最優(yōu)化方法，與傳統(tǒng)的隨機搜索方法不同的是，它不是從一個初始解出發(fā)而是從一組初始解出發(fā)進行優(yōu)化的，且這些初始解好比一個生物群體，優(yōu)化的過程就是該群體繁衍與競爭、遺傳與變異的過程。遺傳算法是一個啟發(fā)式的隨機搜索過程，可以保證搜索過程向更優(yōu)化的方向發(fā)展。遺傳算法將問題的求解表示成“染色體”(計算機編程時一般用二進制碼串)，從而構成一群“染色體”；將它們置于問題的“環(huán)境”中，通過選擇(Selection)、雜交(Crossover)和變異(Mutation)等基因操作，產(chǎn)生新的一代“染色體”群；根據(jù)適者生存的原則，通過適應度的競爭，挑選出新的子代群體。這樣一代代地不斷進化，最后收斂到一個最適應環(huán)境的個體上，從而求得問題的全局最優(yōu)解。對于如第3章所研究的光學膜系優(yōu)化設計問題而言，所有介質膜層的幾何厚度的編碼為一個“染色體”，而每一層的幾何厚度編碼則為一個基因串；問題的“環(huán)境”為如下評價函數(shù)：(4-1)其中x()。個體的適應度(適應值)與評價函數(shù)有關：越小，則個體的適應度越高。Goldberg在解決天然氣管道控制優(yōu)化問題時首先提出遺傳算法的工作流程和結構形式，一般稱之為標準遺傳算法[32,33]。簡單的標準遺傳算法迭代過程的基本內容和步驟可敘述如下：①選擇編碼策略，將參數(shù)集合X和域轉換為位串結構空間S；②定義適應值函數(shù)f(X)；③確定遺傳策略，包括選擇群體的大小，確定選擇、交叉、變異方法，以及確定交叉概率、變異概率等遺傳參數(shù)；④隨機初始化生成群體P；⑤計算群體中個體位串解碼后的適應值f(X)；⑥根據(jù)遺傳策略，以選擇、交叉和變異算子作用于群體，形成下一代群體；⑦判斷群體性能是否滿足某一指標，或者已完成預定迭代次數(shù)，若不滿足則返回步驟⑥，或者修改遺傳策略再返回步驟⑥。4.2基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法在傳統(tǒng)的遺傳算法中，競爭是按固定比例進行的。一般情況下，僅是具有競爭力(適應度高)的個體能夠參與競爭,這樣便有可能造成算法“過早收斂”，從而陷入局域極值。避免該情況發(fā)生的途徑之一是允許適應度低的個體參與競爭,因為低適應度的種群也可能包含有用的基因。為此，發(fā)展了一種將模擬退火算法和遺傳算法結合在一起的新算法，即整體模擬退火遺傳算法[34]。模擬退火(SimulatedAnnealing)算法是Kirkpatrick等將金屬熱加工中的退火工藝的思想應用于組合優(yōu)化問題而提出的一種新的隨機搜索技術，采用Metropolis接受準則，以一組冷卻進度表參數(shù)控制算法進程[35]。由于采用Metropolis接受準則，在隨機搜索過程中可暫時接受較差的解從而擴大了搜索鄰域，這使得模擬退火算法具有跳出局域極值解而發(fā)現(xiàn)全局最優(yōu)解的能力。整體退火遺傳算法是在標準遺傳算法的基礎上發(fā)展而來的。標準遺傳算法的迭代過程可由如下偽代碼描述：；選擇初始化群體；repeat{Step1：根據(jù)適應度大小從群體中隨機選取父代群體；Step2：由父代群體經(jīng)交配產(chǎn)生子代群體；Step3：變異子代群體得到中間群體；Step4：{if(父代參與競爭)then由父代群體和中間群體共同組成新的群體；else以中間群體作為新的群體；endif；}}untill停機準則滿足；為了解決上述標準遺傳算法的缺陷，在其生存策略中引入Boltzmann生存機制，即上述步驟Step1中引入一時變選擇，即整體退火選擇，構成整體退火遺傳算法。該算法的生存策略為：設新產(chǎn)生個體的適應度為，變動的閥值為(faveragefweakest)/2，其中faverage為群體的平均適應度，fweakest為最低的適應度。若，則接受新個體；否則，以一定的概率(4-2)接受新個體，其中T為控制參數(shù)(退火溫度)，相當于熱力學中的溫度。已經(jīng)證明，引入Boltzmann生存機制的遺傳算法與時齊(比例選擇)遺傳算法截然不同，整體退火遺傳算法總是整體收斂的，能夠保證群體中的任一個體以概率1收斂到全局最優(yōu)解；而標準的遺傳算法只能保證群體中最優(yōu)的個體以概率1收斂到最優(yōu)解[35]。整體退火遺傳算法的另一優(yōu)點是只需問題的解的編碼和適應度函數(shù),而不依賴其它輔助信息。為保證適應度函數(shù)f的值非負,且使評價函數(shù)的優(yōu)化方向對應于適應度函數(shù)f的增大方向，可定義適應度函數(shù)f如下：(4-3)其中，為評價函數(shù)閥值，可以是一個輸入值或是評價函數(shù)在理論上的最大值，或者是至當前所有代或最近K代中評價函數(shù)值的最大值(此時隨代數(shù)而變化)。最近曾有研究者將上述整體退火遺傳算法應用于光學膜系優(yōu)化設計問題，其采用的編碼策略是對各膜層的幾何厚度以若干位二進制碼串進行染色體編碼，同時對搜索邊界作一定約束，即使任一膜層的幾何厚度搜索區(qū)間為，如此優(yōu)化得到的膜層厚度適應于工藝實際而易于制備[34]。但是，二進制編碼對于光學膜系優(yōu)化設計問題而言不能直接反映問題的固有結構，而且精度不高，個體長度大，占用計算機內存多；此外，需要頻繁地編碼和解碼，計算量大，且只能產(chǎn)生有限的離散點陣，有時還可能產(chǎn)生額外的偽最優(yōu)點。二進制編碼的這些缺點限制了遺傳算法的效率和有效性。在遺傳算法中，采用實數(shù)編碼是克服二進制編碼的缺點的有效辦法。實數(shù)編碼采用浮點數(shù)組表示個體，可克服諸如海明懸崖、精度須預先確定、對于大規(guī)模問題位串長度太長等二進制編碼的缺點，且更易融入所應用領域的知識[36,37]。結合實數(shù)編碼與整體退火遺傳算法的優(yōu)點，我們提出基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并應用于光學膜系的優(yōu)化設計問題。該算法概述如下：①編碼：以線性變換(4-4)映射優(yōu)化變量至，m為優(yōu)化變量的數(shù)目。在遺傳算法中稱為基因；優(yōu)化問題中所有變量所對應的基因依次連在一起構成問題解的編碼形式，稱為染色體或個體。下面的基因操作都是對優(yōu)化變量的基因形式進行的。②初始化群體：設初始群體規(guī)模為，在區(qū)間上生成s組均勻隨機數(shù)，每組有m個(膜系層數(shù))。③選取父代群體：根據(jù)編碼規(guī)則(4-4)將逆轉換為優(yōu)化變量值，并計算相應的評價函數(shù)值；根據(jù)式(4-3)由評價函數(shù)值集合得到適應值集合，從而根據(jù)式(4-2)得到選擇概率集合；在群體中選出對應于最小值的前t個個體作為父代群體。④由父代群體雜交產(chǎn)生子代群體：從群體中依次選取一對父代個體進行雜交，每一對雙親產(chǎn)生兩個子代個體。具體過程是，根據(jù)③中所得到的父代群體的適應性，選取一對父代個體和,作線性組合(4-5)即可得到子代個體,其中,和均為區(qū)間上的隨機數(shù)，如此共產(chǎn)生t個子代個體。⑤變異子代群體產(chǎn)生中間群體：對群體，計算其中各個體的變異概率：(4-6)根據(jù)個體的變異概率隨機決定其是否變異：在區(qū)間上產(chǎn)生隨機數(shù)r，若，則個體進行變異，否則不發(fā)生變異。由此得到中間群體：(4-7)⑥產(chǎn)生新種群：判斷是否滿足停機準則。若是，則跳出；否則，由父代群體和中間群體共同作為新的種群，轉②。4.3程序實現(xiàn)根據(jù)以上所描述的基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，我們以MatLab實現(xiàn)了相應的計算程序(程序的主要源代碼見附錄B)。以MatLab作為編程語言的主要原因之一是，MatLab可提供并行的矩陣運算，而群體的信息可統(tǒng)一地以矩陣存儲，當進行基因操作時，可以相應地對其進行矩陣操作。如此可大大減少運算時間，尤其是當群體的規(guī)模比較大時，以其他編程語言進行嵌套循環(huán)將增加算法的復雜度，導致運算時間大幅度地增長。程序的流程如圖4-1所示。4.4計算實例與討論以所編寫的實數(shù)編碼整體模擬退火遺傳算法的計算機程序，優(yōu)化設計一在波長400～1100nm范圍內高透的光學膜系。膜系的結構為A|LHLH…LHLHL|G，取膜層數(shù)為，其中入射介質與載片的折射率分別為1.00(空氣)和1.52(玻璃)，高、低折射率膜層介質的折射率分別為2.35(TiO2)和1.45(SiO2)。假設光波垂直入射于膜系，且各膜層介質無吸收。設計目標為優(yōu)化上述膜系各膜層的幾何厚度，使該膜系在400～1100nm波長范圍內的反射率為0。在遺傳優(yōu)化算法中,以膜系的各膜層的幾何厚度為優(yōu)化變量，其搜索區(qū)間設定為；評價函數(shù)取如式(4-1)的形式，在400～圖4-1圖4-1基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法流程圖結束是開始是否滿足停機準則?隨機產(chǎn)生初始群體X0輸入初始結構參數(shù)否是否進化?根據(jù)模擬退火機制選擇父代群體Fk由父代群體Fk雜交產(chǎn)生子代群體Ck由子代群體Ck變異產(chǎn)生中間群體Mk由父代群體Fk和中間群體Mk組成新的種群X0變異若干個優(yōu)秀個體構成部分的X0是否1100nm范圍內等間距選取29個波長點，其中各離散波長處的權重因子均為1。圖4-2圖4-2優(yōu)化膜系的反射光譜Air/104.52L/19.80H/19.60L/12.74H/3.08L/75.32H/1.66L/24.54H/16.54L/17.70H/21.86L/10.56H/100.57L/Glass其反射光譜如圖4-2所示，相應的評價函數(shù)為。由圖4-2可以看出，優(yōu)化后膜系結構的反射光譜在400～1100nm波長范圍內已基本上達到高透的要求，但在某些波段內反射率仍偏離目標值較大，這主要是在控制評價函數(shù)值(預設終止迭代準則)時條件設置得較寬，只要將評價函數(shù)值控制在更小的范圍內，則可得出更優(yōu)的結果。在程序運行過程中，可觀察到開始時程序收斂得很快，而越到以后則收斂越慢，但趨勢總是收斂的。出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因主要是，迭代次數(shù)越大，群體中優(yōu)秀個體的適應度相對于其他個體而言已相差比較大，因此再進化出更優(yōu)秀的個體的概率已變得越來越??；但是，原則上更加優(yōu)秀的個體必定會出現(xiàn)的，只不過是需要等待得越來越久而已。此外，程序的性能還與退火溫度T有很大的關系。由于退火溫度T決定子代個體的選取，若T選取得不恰當，則可能導致一些有競爭力的個體因其選擇概率過小而被淘汰，競爭力較小的另外一些個體卻被保留。在附錄B所列的程序中，T的值是固定的，因此，優(yōu)秀個體的選擇僅在某段參數(shù)區(qū)間內有效。解決此問題的辦法之一是，使算法通過自適應過程來改變T的值,從而使算法更加有效。這便是所謂自適應遺傳算法的思想[38]。4.5小結在本章中，我們在標準遺傳算法的基礎上提出基于實數(shù)編碼的整體模擬退火遺傳算法，并編寫了相應的MatLab程序。該算法綜合了實數(shù)編碼的簡易性與整體模擬退火遺傳算法的全局快速收斂性等優(yōu)點，是解決全局最優(yōu)化問題的一種有效方法。應用該算法于光學膜系的優(yōu)化設計問題，優(yōu)化設計了在波長400～1100nm范圍內高透的一個光學膜系，得到了較好的結果，證明了該算法的有效性。第5章光學膜系自動合成設計的Needle方法在第3和第4章中,我們分別介紹了單純形最優(yōu)化方法和整體模擬退火遺傳算法在光學膜系優(yōu)化設計中的應用。這兩種方法都是屬于所謂的膜系“精煉”優(yōu)化方法。1982年俄羅斯莫斯科大學的Tikhonravov提出了一種“合成”設計光學膜系的新方法，即Needle方法[39-41]。在本章中，我們將介紹該方法的基本原理，對其實現(xiàn)計算機程序，并應用于具體的光學膜系優(yōu)化設計；此外，還對該方法的局限性及其改進方向進行討論5.1Needle方法的基本原理在Needle方法中，從簡單的膜系出發(fā)，通過不斷地在膜系結構中插入新的介質薄層，使膜系優(yōu)化設計的評價函數(shù)值下降，從而達到自動合成設計膜系的目的。數(shù)學上，Needle方法是通過不斷增加優(yōu)化變量的維數(shù)而形成一個連續(xù)地尋找最優(yōu)解過程的。在Needle方法中，膜系結構的變化對評價函數(shù)的影響是通過膜系的有效導納以泛函方法進行分析的。設光學膜系沿z軸方向生長，以載片與其最鄰近膜層之間的界面為坐標原點，則膜系的折射率和有效導納為坐標z的函數(shù)，其中為關于z的分段連續(xù)函數(shù)，Y同時也與波長有關。如圖5-1所示，膜系結構變化時，膜系的有效導納將發(fā)生變化。根據(jù)第2章中所述的計算膜系光學性質的方法，由下式可計算膜系的導納：(5-1)其中B和C由如下關系式得到：(5-2)此處所有量的物理意義與第2章中的完全一致。導納函數(shù)在膜系與入射介質之間界面處的取值可直接表達出膜系在波長上的反射系數(shù)和反射率：(5-3)(5-4)其中為入射介質的折射率，為膜系的總厚度。在同一膜系中，導納函數(shù)有如下遞推公式：(5-5)根據(jù)式(5-2)，可得到B和C的微分方程。對于TE波，有(5-6a)(5-6b)圖5-1膜系結構變化對有效導納的影響示意圖z'zzn(z)Y(z)0z'z其中，圖5-1膜系結構變化對有效導納的影響示意圖z'zzn(z)Y(z)0z'z(5-7)對于TM波，B和C以及Y的微分方程分別為(5-8a)(5-8b)(5-9)微分方程(5-7)與(5-9)有邊界條件?，F(xiàn)分析在處插入厚度為、折射率為的一層薄介質后，膜系的導納、反射率以及評價函數(shù)的變化。為簡便計，假設所涉及的各介質無吸收，且光波正入射于膜系。于是，入射角(折射角)，即，而介電函數(shù)。插入介質薄層后，膜系的折射率函數(shù)成為(5-10)記插入介質薄層后膜系的導納函數(shù)為，根據(jù)方程(5-7)或(5-9)，有關于的微分方程：(5-11)其邊界條件為；插入介質薄層前，膜系的導納函數(shù)仍記為，其有如下微分方程：(5-12)邊界條件為。如圖5-1所示，在不同坐標區(qū)間，與之間有不同的關系。①在區(qū)間內，，故。②在內，，。分別考慮在此區(qū)間內和的增量和。若假設足夠小，則可僅考慮的一次項而忽略其高次項。于是在此區(qū)間內，插入介質薄層前后導納函數(shù)的變化量為(5-13)③在內，，但，因與在處的初值不同。在此區(qū)間內，。利用方程(5-11)和(5-12)，并忽略的二次或更高次項，可得到如下關于的微分方程：(5-14)其初始條件為。若將微分方程(5-14)的初始點由移至，所產(chǎn)生的誤差至多僅是的二次項，可忽略。因此，將方程(5-14)的初始條件改為(5-15)原則上，積分求解方程(5-14)即可得到區(qū)間內的函數(shù)。但在膜系優(yōu)化問題中，我們實際上并無須對方程(5-14)進行積分求解?，F(xiàn)分析插入介質薄層前后膜系反射系數(shù)、反射率與膜系優(yōu)化評價函數(shù)的變化量，和。根據(jù)式(5-3)與(5-4)，可得到(5-16)(5-17)根據(jù)反射率對膜系進行優(yōu)化時，有如下評價函數(shù)：(5-18)其中L為波長離散點數(shù)目。根據(jù)上式，我們有(5-19)為簡化上式，引入如下共軛方程：(5-20)為該方程設置L個邊界條件：(5-21)由式(5-19)與(5-21)，有(5-22)在區(qū)間內，對求導，并利用式(5-14)和(5-20)，知即在區(qū)間內函數(shù)與坐標z無關，因此(5-23)根據(jù)上式以及式(5-22)和(5-15)，有(5-24)其中為函數(shù)(5-25)在坐標處的取值。因此，在膜系結構中的處插入一折射率為、厚度為的介質薄層引起膜系優(yōu)化評價函數(shù)的變化，其變化量的計算可歸結為計算函數(shù)在處的取值。從其定義式(5-25)可看出，函數(shù)僅與原膜系結構的折射率函數(shù)有關，而與所插入薄膜層的折射率無關。求解函數(shù)的過程是：先求解方程(5-12)得到在波長處的導納函數(shù)，再求解方程(5-20)得到相應的共軛函數(shù)，最后根據(jù)定義(5-25)得到函數(shù)。在以Needle方法優(yōu)化設計膜系的過程中，通過計算函數(shù)的最大或最小值確定折射率作針狀變化(插入極薄介質膜層)的位置以及折射率變化的趨勢，膜系結構變化后使評價函數(shù)得到盡可能最大的改善。假設函數(shù)在坐標處有最大的絕對值。若，根據(jù)式(5-24)，在處使介質折射率針狀增大(插入高折射率的薄膜層)時，則，即新的膜系使評價函數(shù)值下降；若，則在處使介質折射率針狀減小(插入低折射率的薄膜層)時，可使。5.2程序實現(xiàn)根據(jù)以上所述原理，可歸納出以Needle方法自動合成優(yōu)化設計光學膜系的具體步驟如下：①設定簡單的初始膜系結構；②根據(jù)導納迭代公式(5-5)計算在各評價波長上每一邊界處的導納；③求共軛函數(shù)與P函數(shù)；④在高(低)折射率膜層中求P函數(shù)的最大(小)值；⑤從步驟④中所得到的P函數(shù)值中選取絕對值最大的值，以其所對應的點作為最佳插入點；⑥在最佳插入點處，若P函數(shù)值大于零則插入低折射率薄層，若P函數(shù)值小于零則插入高折射率薄層；⑦計算新膜系的導納以及評價函數(shù)，若滿足收斂準則則退出，否則轉③。根據(jù)以上原理和步驟，我們實現(xiàn)了以Needle方法自動合成優(yōu)化設計光學膜系的MatLab計算程序(程序的主要源代碼見附錄C)。5.3計算實例與討論作為實例，以自動合成優(yōu)化設計光學膜系的Needle方法，設計在400～800nm波長范圍內減反的光學膜系。采用分別具有高、低折射率的兩種材料作為膜系介質，高、低折射率分別為2.35和1.38，入射