數(shù)學第一學期

§2.1導數(shù)的概念－內(nèi)容回顧還可記為曲線y=f(x)在點處的切線方程:法線方程:時,切線方程:x=x0;法線方程:y=y0.時,切線方程:

y=y0;法線方程:x=x0.=A=A分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)，…f(x)在x0處可導已學求導公式:可導與連續(xù)的關系：反之不真．f(x)在x0處連續(xù);f(x)在x0處可導二、反函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)求導法則四、初等函數(shù)的求導問題一、四則運算求導法則

§2.2函數(shù)的求導法則

第二章

一、四則運算求導法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x

可導,且此法則可推廣到任意有限項的情形.證:設,則例如,(2)證:

設則有推論:(C為常數(shù))拼湊出u,v的導數(shù)定義(2)另證:

設則有(3)用插項的方法證:

見教材(v≠0)推論:(C為常數(shù))證:

設則有例1.解:例2.求證證:類似可證:反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的求導公式…對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)二、反函數(shù)的求導法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導,證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此其作用是…例3.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù).解:1)設則類似可求得利用,則2)設則特別當時,小結:在點x

可導,三、復合函數(shù)求導法則定理3.在點可導復合函數(shù)且在點x

可導,證:在點

u可導,故（當時)故有例如,關鍵:

搞清復合函數(shù)結構,由外向內(nèi)逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.例4.

求下列函數(shù)的導數(shù):解:(1)(2)例5.設解:若μ允許x<0,若μ允許x=0(μ>0),在x=0處用定義考察.其中μ=1時，…；μ>1時，…；μ<1時，不可導．例6.設求解:思考:

若存在,如何求的導數(shù)?這兩個記號含義不同四、初等函數(shù)的求導問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)(P95)2.有限次四則運算的求導法則(C為常數(shù))3.復合函數(shù)求導法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導,由定義證,說明:最基本的公式其它公式用求導法則推出.且導數(shù)仍為初等函數(shù)例7.求解:例8.設解:求所以不存在(錯誤)=0(錯誤)事實上=…=0.內(nèi)容小結求導公式及求導法則(見P95)注意:1)2)搞清復合函數(shù)結構,由外向內(nèi)逐層求導.1.設其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),思考與練習所以可導的充要條件為：可導的充要條件是()．２.３.設求解:

方法1

利用導數(shù)定義.方法2

利用求導公式.作業(yè)P972(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);101.設,問a

取何值時,f(x)在上可導,并求出解:故時此時f(x)在上可導,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).在處連續(xù),且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導.2.設故可導,且為偶函數(shù).證明:為奇函數(shù).證：因為所以3.設為奇函數(shù).在的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導充要條件是下列四個極限中的[

]存在.(88年考研)4.設B在5.設D的某鄰域內(nèi)有