平面幾何考試試題

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題——平面幾何（高二數(shù)學(xué)514）全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1．如圖，在銳角ΔABC中，AB>AC，M、N是BC邊上不一樣兩點，使得∠BAM=∠CAN，設(shè)ΔABC和ΔAMN外心分別為、，求證：、、A三點共線．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1.（40分）分別是圓內(nèi)接四邊形對角線中點．若，證實：．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題加試2.（本題滿分40分）在直角三角形ABC中，，它內(nèi)切圓分別與邊BC，CA，AB相切與點D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓相交于另一點P，連接PC，PE，PF．已知，求證：∥．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試1.（40分）如圖，銳角三角形ABC外心為O，K是邊BC上一點（不是邊BC中點），D是線段AK延長線上一點，直線BD與AC交于點N，直線CD與AB交于點M．求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點共圓．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試一、如圖，，分別為銳角三角形△（）外接圓上弧、中點．過點作//交圓于點，為△內(nèi)心，連接并延長交圓于．（=1\*ROMANI）求證：當(dāng)；（=2\*ROMANII）在?。ú缓c）上任取一點（，，），記△，△內(nèi)心分別為，，求證：，，，四點共圓．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試A卷一、（本題滿分50分）圖1如題一圖，給定凸四邊形，，是平面上動點，令．圖1（Ⅰ）求證：當(dāng)達(dá)成最小值時，四點共圓；（Ⅱ）設(shè)是外接圓上一點，滿足：，，，又是切線，，求最小值．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試B卷題一圖一、（本題滿分50分）題一圖如題一圖，是圓內(nèi)接四邊形．與交點為，是弧上一點，連接并延長交于點，點分別在，延長線上，滿足，，求證：四點共圓．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試一、（本題滿分50分）如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上高，P是線段AD內(nèi)一點。過P作PE⊥AC，垂足為E，做PF⊥AB，垂足為F。O1、O2分別是△BDF、△CDE外心。求證：O1、O2、E、F四點共圓充要條件為P是△ABC垂心。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試一、（本題滿分50分）以B0和B1為焦點橢圓與△AB0B1邊ABi交于點Ci(i＝0，1).在AB0延長線上任取點P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧eq\o(P0Q0,\s\up6(⌒))交C1B0延長線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧eq\o(Q0P1,\s\up6(⌒))交B1A延長線于點P1；以B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧eq\o(P1Q1,\s\up6(⌒))交B1C0延長線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧eq\o(Q1P0,\s\up6(⌒))，交AB0延長線于P0.試證：⑴點P0與點P0重合，且圓弧eq\o(P0Q0,\s\up6(⌒))與eq\o(P0Q1,\s\up6(⌒))相內(nèi)切于點P0；⑵四點P0，Q0，Q1，P1共圓．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試一、（本題滿分50分）如圖，在中，設(shè)，過A作外接圓切線.又以A為圓心,為半徑作圓分別交線段AB于D;交直線于E、F.證實：直線DE、DF分別經(jīng)過內(nèi)心與一個旁心。（注：與三角形一邊及另兩邊延長線均相切圓稱為三角形旁切圓，旁心圓圓心稱為旁心）全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試一．（本題滿分50分） 在銳角三角形中，上高與上高相交于點，認(rèn)為直徑圓分別交、于、兩點，與相交于點．已知，，，求長．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試1、過圓外一點P作圓兩條切線和一條割線，切點為A、B，所作割線交圓于C、D兩點，C在P、D之間，在弦CD上取一點Q，使。求證：

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽題加試一、（本題滿分50分）BACEFOHMN如圖，在BACEFOHMN全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題加試一．（本題滿分50分）如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N．求證：(1)OB⊥DF，OC⊥DE；(2)OH⊥MN．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷加試一、(滿分50分)如圖，在銳角△ABCBC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FMAB,FNAC(M,N是垂足)，延長AE交△ABC外接圓于點D。證實：四邊形AMDN與△ABC面積相等。1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試一．(滿分50分)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：∠GAC＝∠EAC．

1998年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試一、（滿分50分）如圖，O、I分別為△ABC外心和內(nèi)心，AD是BC邊上高，I在線段OD上。求證：△ABC外接圓半徑等于BC邊上旁切圓半徑。注：△ABCBC邊上旁切圓是與邊AB、AC延長線以及邊BC都相切圓。1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷二試一、（本題50分）如圖，已知兩個半徑不相等⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點。求證：OM⊥MN充分必要條件是S、N、T三點共線。1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽二試三、（本題滿分35分）如圖，圓O1和圓O2與△ABC三邊所在三條直線都相切，E、F、G、H為切點，而且EG、FH延長線交于P點。求證直線PA與BC垂直。EEFABCGHPO1。。O21995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試三、(35分)如圖，菱形ABCD內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第二試三、(本題滿分35分)如圖，設(shè)三角形外接圓O半徑為R，內(nèi)心為I，，，外角平分線交圓O于E，證實:(1)IO=AE；

(2)．

1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一、（35分）設(shè)一凸四邊形ABCD，它內(nèi)角中僅有D是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形周界上，不含分割出鈍角三角形頂點．試證n應(yīng)滿足充分必要條件是n≥4．三、（35分）水平直線m經(jīng)過圓O中心，直線lm，l與m相交于M，點M在圓心右側(cè)，直線l上不一樣三點A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點離M點最遠(yuǎn)，C點離M點最近，AP,BQ,CR為圓O三條切線，P,Q,R為切點．試證：(1)l與圓O相切時，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l與圓O相交時，ABCR+BCAP＜ACBQ；(3)l與圓O相離時，ABCR+BCAP＞ACBQ.1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一、(35分)設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1

1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試二．設(shè)凸四邊形ABCD面積為1，求證：在它邊上(包含頂點)或內(nèi)部能夠找出四個點，使得以其中任意三點為頂點所組成四個三角形面積大于eq\f(1,4)．OOABCOOABCDP1OOO234F一．(本題滿分35分)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD相交于P，設(shè)三角形ABP、BCP、CDP和DAP外接圓圓心分別是O1、O2、O3、O4．求證OP、O1O3、O2O4三直線共點．1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試ABCEABCEF已知在ΔABC中，AB>AC，A一個外角平分線交ΔABC外接圓于點E，過E作EF⊥AB，垂足為F．求證2AF=AB-AC．1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試二．如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．1987年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試一．如圖，△ABC和△ADE是兩個不全等等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞A點在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論△ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點M，使△BMD為等腰直角三角形．1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試2．(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC外接圓半徑為R，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是⊿ABC三條高充要條件是S=eq\f(R,2)(EF+FD+DE）．式中S是三角形ABC面積．1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試4．平面上任給5個點，以λ表示這些點間最大距離與最小距離之比，證實：λ≥2sin54．1984年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試3．(本題滿分15分)在△ABC中，P為邊BC上任意一點，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，證實：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中最少有一個大于eq\f(4,9)(SXY…Z表示多邊形XY…Z面積)．1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試3．(本題滿分16分)在四邊形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC面積比是3∶4∶1，點M、N分別在AC、CD上滿足AM∶AC=CN∶CD，而且B、M、N三點共線．求證：M與N分別是AC與CD中點．1982年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽3．(本題16分)已知：⑴半圓直徑AB長為2r；⑵半圓外直線l與BA延長線垂直，垂足為T，|AT|=2a(2a<)；⑶半圓上有相異兩點M、N，它們與直線l距離|MP|、|NQ|滿足條件eq\f(|MP|,|AM|)=eq\f(|NQ|,|AN|)=1．求證：|AM|+|AN|=|AB|．4．(本題20分)已知邊長為4正三角形ABC．D、E、F分別是BC、CA、AB上點，且|AE|=|BF|=|CD|=1，連結(jié)AD、BE、CF，交成△RQS．點P在△RQS內(nèi)及邊上移動，點P到△ABC三邊距離分別記作x、y、z．⑴求證當(dāng)點P在△RQS頂點位置時乘積xyz有極小值；⑵求上述乘積xyz極小值．1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽3．(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O半徑為1，求證：PC?QE+PD?QF<2．5．(本題20分)一張臺球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個球從AB中點P擊出，擊中BC邊上某點Q，而且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最終擊中AB邊上某一點．設(shè)∠BPQ=θ，求θ范圍．提醒：利用入射角等于反射角原理．1979年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第二試2．命題“一對對邊相等及一對對角相等四邊形必為平行四邊形”對嗎？假如對，請證實，假如不對，請作一四邊形，滿足已知條件，但它不是平行四邊形．并證實你作法．4．在單位正方形周界上任意兩點間連了一條曲線，假如它把正方形分成兩個面積相等兩部分，試證這條曲線長度大于1．6．如圖，假設(shè)兩圓O1和O2交于A、B，⊙O1弦BC交⊙O2于E，⊙O2弦BD交⊙O1于F，證實⑴若∠DBA=∠CBA，則DF=CE；⑵若DF=CE，則∠DBA=∠CBA．1978年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽第一試6．設(shè)線段AB中點為M，從線段AB上另一點C向直線AB一側(cè)引線段CD，令線段CD中點為N，BD中點為P，MN中點為Q，求證：直線P