相似多邊形（培優(yōu)篇）-人教版九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題27.7相似多邊形（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．有一塊邊長為的等邊三角形紙板，如圖1，經(jīng)過底邊的中點剪去第一個正三角形;如圖2，過剩余底邊的中點再剪去第二個正三角形，然后依次過剩余底邊的中點再剪去更小的第三個第四···正三角形，則剪掉的第個正三角形的面積是（

）A． B． C． D．2．在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)的實際面積是（）米2．A．B．C．D．3．如圖，矩形在矩形的內(nèi)部，且，點，在對角線BD的異側(cè)，連結(jié)，，，，若矩形矩形，且兩個矩形的周長已知，則只需要知道下列哪個值就一定可以求得四邊形的面積（

）A．矩形的面積 B．的度數(shù)C．四邊形的周長 D．的長度4．我們把寬與長的比等于黃金比()的矩形稱為黃金矩形.如圖,在黃金矩形中,的平分線交邊于點,于點,則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．5．彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），則Bn的坐標(biāo)是（）A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n）C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）二、填空題6．如圖（1），將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形，它的面積為1；取和各邊中點，連接成正六角星形，如圖（2）中陰影部分；取和各邊中點，連接成正六角星形，如圖（3）中陰影部分；如此下去……，則正六角星形的面積為__________．7．一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點，則可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形．我們把（圖乙）第一次順次連接各邊中點所進行的分割，稱為階分割（如圖）；把階分割得出的個三角形再分別順次連接它的各邊中點所進行的分割，稱為階分割（如圖）…，依此規(guī)則操作下去．階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（為正整數(shù)），設(shè)此時小三角形的面積為．請寫出一個反映，，之間關(guān)系的等式________．8．已知菱形的邊長為2，=60°，對角線，相交于點O．以點O為坐標(biāo)原點，分別以，所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．以為對角線作菱形∽菱形，再以為對角線作菱形∽菱形，再以為對角線作菱形∽菱形，?，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在x軸的正半軸上得到點，，，．．．．．．，，則點的坐標(biāo)為________．9．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如右圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，…按這樣的規(guī)律進行下去，第1個正方形的面積為____________；第n個正方形的面積為____________．10．如圖，正方形ABCD的邊長為1，順次連接正方形ABCD四邊的中點得到第一個正方形A1B1C1D1，由順次連接正方形A1B1C1D1四邊的中點得到第二個正方形A2B2C2D2…，以此類推，則第六個正方形A6B6C6D6周長是_____．三、解答題11．如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4．（1）求矩形ODEF的面積；（2）將圖1中的矩形ODEF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，ACE的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．12．如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，連接EB，GD．（1）求證：EB＝GD；（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的長．13．如圖l，在中，點，分別在邊和上，點，在對角線上，且，.（1）求證：四邊形是平行四邊形：（2）若，，.①當(dāng)四邊形是菱形時，的長為______；②當(dāng)四邊形是正方形時，的長為______；③當(dāng)四邊形是矩形且時，的長為______.14．已知，在△ABC中，AB=AC，在射線AB上截取線段BD，在射線CA上截取線段CE，連結(jié)DE，DE所在直線交直線BC于點M．猜想：當(dāng)點D在邊AB的延長線上，點E在邊AC上時，過點E作EF∥AB交BC于點F，如圖①．若BD=CE，則線段DM、EM的大小關(guān)系為．探究：當(dāng)點D在邊AB的延長線上，點E在邊CA的延長線上時，如圖②．若BD=CE，判斷線段DM、EM的大小關(guān)系，并加以證明．拓展：當(dāng)點D在邊AB上（點D不與A、B重合），點E在邊CA的延長線上時，如圖③．若BD=1，CE=4，DM=0.7，求EM的長．15．已知正方形，為射線上的一點，以為邊作正方形，使點在線段的延長線上，連接(1)如圖，若點在線段的延長線上，求證：；(2)如圖，若點在線段的中點，連接，判斷的形狀，并說明理由；(3)如圖，若點在邊上，連接，當(dāng)平分時，設(shè)，求度數(shù).

16．已知正方形ABCD的邊長為2，作正方形AEFG（A，E，F(xiàn)，G四個頂點按逆時針方向排列），連接BE、GD，（1）如圖①，當(dāng)點E在正方形ABCD外時，線段BE與線段DG有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論；（2）如圖②，當(dāng)點E在線段BD的延長線上，射線BA與線段DG交于點M，且DG＝2DM時，求邊AG的長；（3）如圖③，當(dāng)點E在正方形ABCD的邊CD所在的直線上，直線AB與直線DG交于點M，且DG＝4DM時，直接寫出邊AG的長．17．如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（13，0），B（11，12）．動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿x軸向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC方向運動；當(dāng)點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段PQ和OB相交于點D，過點D作DE∥x軸，交AB于點E，射線QE交x軸于點F．設(shè)動點P、Q運動時間為t（單位：秒）．(1)當(dāng)t為何值時，四邊形PABQ是平行四邊形.(2)△PQF的面積是否發(fā)生變化？若變化，請求出△PQF的面積s關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式；若不變，請求出△PQF的面積.(3)隨著P、Q兩點的運動，△PQF的形狀也隨之發(fā)生了變化，試問何時會出現(xiàn)等腰△PQF？參考答案1．B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，三角形的邊長分別為，...即相鄰三角形相似比為:1:2,進而求出即相鄰三角形面積比,從而得出規(guī)律.解：∵依次剪去一塊更小的正三角形紙板，即其邊長為前一塊被剪掉正三角形紙板邊長的∴三角形的邊長分別為即相鄰三角形相似比為:1:2,即相鄰三角形面積比為:1:4,∴剪去一塊的正三角形紙板面積分別為:∴第n個紙板的面積為:∴第2020個紙板的面積為:故選：B【點撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與數(shù)據(jù)的規(guī)律性知識，此題得出相鄰三角形面積比，從而表示出各三角形面積是解決問題的關(guān)鍵.2．D解：設(shè)該園區(qū)的實際面積是，∵地圖上長a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)的面積為ab平方厘米，根據(jù)題意得：，∴，即可得平方厘米＝平方米．故選D．3．A【分析】連接BC1，DA1，過點B1作B1E⊥AB于點E，過點C1作C1F⊥AB于點F，過點B1作B1G⊥AD于點G，過點D1作D1H⊥BC于點H，設(shè)小矩形的長和寬分別為a和b，大矩形的長和寬分別為ak和bk，BF=m，AG=n，然后用分割法求得四邊形BB1DD1的面積，進而可以根據(jù)條件得到結(jié)果．解：如圖，連接BC1，DA1，過點B1作B1E⊥AB于點E，過點C1作C1F⊥AB于點F，過點B1作B1G⊥AD于點G，過點D1作D1H⊥BC于點H，∵B1C1⊥BC，∴四邊形AEB1G、四邊形EFC1B1是矩形，設(shè)小矩形的長和寬分別為a和b，大矩形的長和寬分別為ak和bk，BF=m，AG=n，則S矩形A1B1C1D1＝ab，S矩形ABCD=abk2，AE=bk-m-a，CH=ak-n-b，∴S△BC1B1＝B1C1?AG＝an，S△BC1D1＝C1D1?BF＝bm，S△DA1B1＝A1B1?AE=b（bk-m-a），S△DA1D1＝A1D1?CH=a（ak-n-b），∴S四邊形BB1DD1＝S△BC1B1+S△BC1D1+S△DA1B1+S△DA1D1+S矩形A1B1C1D1=an+bm+b(bk?m?a)+a(ak?n?b)+ab=k（a2+b2）=k[（a+b）2-2ab]=k（a+b）2-kab，∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的周長已知，∴2（a+b）和2（ak+bk）為定值，∴k為定值，∴k（a+b）2為定值，∵kab=，∴當(dāng)S矩形ABCD已知時，四邊形B1BD1D的面積即為定值，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會設(shè)矩形的長和寬并用含有未知數(shù)的式子表示矩形ABCD、矩形A1B1C1D1和四邊形B1BD1D的面積．4．C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定可得四邊形ABFE是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)黃金矩形的定義逐項判斷即可得．解：四邊形ABCD是矩形，，，即，四邊形ABFE是矩形，是的平分線，且，，四邊形ABFE是正方形，，又四邊形ABCD是黃金矩形，且，，設(shè)，則，，，，則，，即，選項A正確；，，即，選項B正確；，，即，選項C錯誤；，則選項D正確；故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)，掌握理解黃金矩形的定義是解題關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出，從而得到一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征求出的坐標(biāo)，然后求出的坐標(biāo)，...，最后根據(jù)點的坐標(biāo)特征的變化規(guī)律寫出的坐標(biāo)即可.解：，相似矩形的長是寬的倍，點的坐標(biāo)分別為，，點在直線上，，解得，，點在直線上，，點的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為，點，…,的坐標(biāo)為.故選：.【點撥】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)點的系列坐標(biāo)判斷出相應(yīng)矩形的長，再求出寬，然后得到點的系列坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.6．．【分析】先分別求出第一個正六角星形與第二個邊長之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．解：、、、、、分別是和各邊中點，正六角星形正六角星形且相似比為，正六角星形的面積為1，正六角星形的面積為，同理可得，第二個六角形的面積為：，第三個六角形的面積為：，第四個六角形的面積為：．故答案是：．【點撥】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．7．【分析】1階三角形有4個，把這4個三角形再分，每個分成4個，即共有42個三角形，即2階三角形有42個三角形，進而可以得到n階三角形有4n個三角形．解：設(shè)△DEF的面積是a則Sn-1=，Sn=，Sn+1=根據(jù)()2=?因而Sn-1，Sn，Sn+1三者之間關(guān)系式是Sn2=Sn-1?Sn+1．∴三者之間關(guān)系式是Sn2=Sn-1?Sn+1．【點撥】這是一個猜想規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)律，能判斷出n階分割后小三角形的個數(shù)．8．（3n－1，0）．解：∵菱形的邊長為2，=60°，∴=2，∴=1，∴點A1的坐標(biāo)為（1，0），∵=1，∴=，∴=3，點A2的坐標(biāo)為（3，0），即（32－1，0），同理可得：點A3的坐標(biāo)為（9，0），即（33－1，0），點A4的坐標(biāo)為（27，0），即（34－1，0），………∴點An的坐標(biāo)為（3n－1，0）．故答案為（3n－1，0）．考點：1．相似多邊形；2．菱形的性質(zhì)；3．規(guī)律型．9．5；【分析】由題意可求出AD=，所以第1個正方形的面積為5；先利用ASA證明△AOD和△A1BA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長等于正方形ABCD邊長的，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，然后即可求出第n個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關(guān)系，從而求出第n個正方形的面積為．解：設(shè)正方形的面積分別為S1，S2…，Sn，根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）．∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD＝，tan∠ADO＝＝，∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO，∴BA1＝AB＝，∴CA1＝，同理，得：C1A2＝（）×（1＋），由正方形的面積公式，得：S1＝（）2＝5，S2＝（）2×（1＋）2，S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4，由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n?1）＝5×（）2n?2．故答案為：5；．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)計算的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．10．【分析】根據(jù)題意，利用中位線定理可證明順次連接正方形ABCD四邊中點得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，根據(jù)面積關(guān)系可得周長關(guān)系，以此類推可得正方形A6B6C6D6的周長．解：順次連接正方形ABCD四邊的中點得正方形A1B1C1D1，則得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，即，則周長是原來的；順次連接正方形A1B1C1D1中點得正方形A2B2C2D2，則正方形A2B2C2D2的面積為正方形A1B1C1D1面積的一半，即，則周長是原來的；順次連接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，則正方形A3B3C3D3的面積為正方形A2B2C2D2面積的一半，即，則周長是原來的；順次連接正方形A3B3C3D3中點得正方形A4B4C4D4，則正方形A4B4C4D4的面積為正方形A3B3C3D3面積的一半，則周長是原來的；…故第n個正方形周長是原來的，以此類推：第六個正方形A6B6C6D6周長是原來的，∵正方形ABCD的邊長為1，∴周長為4，∴第六個正方形A6B6C6D6周長是．故答案為．考點：中點四邊形．11．（1）；（2）存在，最大值，最小值【分析】（1）根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解即可；（2）旋轉(zhuǎn)一周，點E的軌跡是以點O為圓心以2為半徑的圓，所以△ACE的AC邊上的高就是點E到AC的距離，也就是AC到圓上的點的距離，又最大值和最小值，最大值為點O到AC的距離與圓的半徑的和，最小值為點O到AC的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可．解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；（2）存在．∵OE=，所以點E的軌跡為以點O為圓心，以2為半徑的圓，設(shè)點O到AC的距離為h，AC=，∴8h=4×4，解得h=2，∴當(dāng)點E到AC的距離為2+2時，△ACE的面積有最大值，當(dāng)點E到AC的距離為2-2時，△ACE的面積有最小值，S最大=，S最小=．【點撥】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓上的點到直線的距離的取值范圍，理解AC邊上的高的最大值為點O到AC的距離與圓的半徑的和是解本題的關(guān)鍵．12．（1）見分析；（2）GD＝【分析】（1）利用相似多邊形的對應(yīng)角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等后即可證得兩條線段相等；（2）連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，根據(jù)∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的長即可求得線段GD的長即可．（1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD；（2）連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，∴AE＝，BP＝AB＝1，∴∴EP＝2∴∴GD＝．【點撥】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等．13．（1）證明見分析，（2）①5．②1．③．【分析】（1）如圖1中，設(shè)的中點為．連接，，，．利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可．（2）①如圖中，連接交于點，當(dāng)時，四邊形是菱形．利用平行線等分線段定理即可解決問題．②在①的基礎(chǔ)上，時，四邊形是正方形．③如圖中，連接交于點，作于．當(dāng)時，四邊形是矩形．解：（1）證明：如圖1中，設(shè)的中點為．連接，，，．四邊形是平行四邊形，與互相平分且交于點，，，四邊形是平行四邊形，與互相平分且交于點，，，，，四邊形是平行四邊形．（2）①如圖中，連接交于點，當(dāng)時，四邊形是菱形．，，，，，，，，．②在①的基礎(chǔ)上，滿足時，四邊形是正方形，易知，，，．③如圖中，連接交于點，作于．，，，，，，當(dāng)時，四邊形是矩形，．故答案為5，1，．【點撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14．猜想：DM=EM；探究：DM=EM，證明詳見分析；拓展：EM=2.8.【分析】（1）如圖1中，作EF∥AB交BC于F，只要證明△BDM≌△FEM即可．（2）如圖2中，作EF∥AB交CB的延長線于F，只要證明△BDM≌△FEM即可．（3）如圖3中，作EF∥AB交CB的延長線于F，由BD∥EF得，再證明EF=EC即可．解：（1）如圖1中，猜想：DM=EM．理由：作EF∥AB交BC于F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥AD，∴∠EFC=∠ABC，∴∠C=∠EFC，∴EF=EC，∵BD=EC，∴DB=EF，∵EF∥AB，∴∠D=∠MEF，在△BDM和△FEM中，，∴△BDM≌△FEM，∴DM=EM．故答案為DM=EM．（2）結(jié)論DM=EM．理由：如圖2中，作EF∥AB交CB的延長線于F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF∥AB，∴∠EFC=∠ABC，∴∠C=∠EFC，∴EF=EC，∵BD=EC，∴DB=EF，∵EF∥AB，∴∠D=∠MEF，在△BDM和△FEM中，，∴△BDM≌△FEM，∴DM=EM．（3）如圖3中，作EF∥AB交CB的延長線于F，∵EF∥AB，∴∠F=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠F=∠C，∴EF=CE=4，∵BD∥EF，∴，∴，∴EM=2.8，故答案為2.8．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形以及等腰三角形.15．(1)證明見分析；(2)△ACE是直角三角形；(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△APE≌△CFE，可得結(jié)論；（2）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；（3）分別計算PG和BG的長，再計算GH和BG的長，根據(jù)角平分線的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行線的性質(zhì)得到∠AEC=∠ACB=45°．解：(1)∵四邊形和四邊形是正方形，，∵，(2)是直角三角形∵為的中點又∵又∵，即是直角三角形(3)如圖，設(shè)交于點，∵平分,，作又∵又∵∵【點撥】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、角平分線的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，前兩問難度不大，第三問有難度，作輔助線，求得GH和BG的長是關(guān)鍵．16．（1）結(jié)論：BE＝DG，BE⊥DG．理由見分析；（2）AG＝2；（3）滿足條件的AG的長為2或2．【分析】（1）結(jié)論：BE＝DG，BE⊥DG．只要證明△BAE≌△DAG（SAS），即可解決問題；（2）如圖②中，連接EG，作GH⊥AD交DA的延長線于H．由A，D，E，G四點共圓，推出∠ADO＝∠AEG＝45°，解直角三角形即可解決問題；（3）分兩種情形分別畫出圖形即可解決問題；解：（1）結(jié)論：BE=DG，BE⊥DG．理由：如圖①中，設(shè)BE交DG于點K，AE交DG于點O．∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE=DG，∴∠AEB=∠AGD，∵∠AOG=∠EOK，∴∠OAG=∠OKE=90°，∴BE⊥DG．（2）如圖②中，連接EG，作GH⊥AD交DA的延長線于H．∵∠OAG＝∠ODE＝90°，∴A，D，E，G四點共圓