概率論第三章題庫

第三章多維隨機變量及其分布一、選擇題1、（易）設(shè)任意二維隨機變量（兒力的兩個邊緣慨率密度函數(shù)分別為方心）和fy（y）,則以r+x iDr+x iD?匸人()川=0A.匚幾（小僅=1C?￡xfx（X）dx=02、（易）設(shè)二維隨機變量（X,Y）~N（/S2、A.C.N(aG)C.N(aG)3、（易）設(shè)二維隨機變量（兒力服從區(qū)域〃：x2+y2^1上的均勻分布，則（足F）3、A.f(x、y?=lB.L(x,y)gDyA.f(x、y?=lB.L(x,y)gDy0,其他c.D.f^y)=丄，(x,y)eD710,其他4、（中等）下列函數(shù)可以作為二維分布函數(shù)的是（A?尸(x,A?尸(x,刃=1，x+y>0.8,0,其他.6以r—'d曲X〉0,y>0,0. 其他.C.F(x,y)=￡x￡C.F(x,y)=￡x￡x嚴‘dsdtd.F(s)=-x-ye"rx>0,y>0,0. 其他5、（易）設(shè)二維隨機變量CY,5、（易）設(shè)二維隨機變量CY,力的概率密度為f（兒y)=扌‘0<x<2,0<y<2;0, 其他，則P{O<K1,0<Kl}=()A-JcA-Jc-ID.112126、(中等)設(shè)隨機變量XF相互獨立，其聯(lián)合分布為29A.D.29A.D.7、(中等)設(shè)二維隨機變量(XF)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x』)?其聯(lián)合概率分布律為則F(0,1)=()A. B? C? D.8、 (難)設(shè)隨機變量尤和卩相互獨立，且FW(3,4),r>'(2,9),則()A.Ar(7>21) B.M7,27)C?Ar(7>45) D.Mil,45)9、 (難)設(shè)隨機變量兒F相互獨立，且FN(2,1),廣N(1,1),則(){片F(xiàn)W1}=丄 B.P{^K^0}=-22C.P{^K^1}=丄 D.PU4/W0}=丄2210、 (易)設(shè)二維隨機變量(X、Y)的分布函數(shù)為則F(小+oo)=(A.0C?A.0C?Fy(y)D.1二、填空題】】、（勸設(shè)隨機變量兒”目互獨立，且PX吒，P{Y切斗則PE"12、（易）設(shè)二維隨機變量（XV）的分布函數(shù)為F（x,y）,則F（yo,—8）=13、 （中等）設(shè)二維隨機變量01"的分布函數(shù)為*,刃=宀腫嚴則[ 0, 其他，當x>0時，才的邊緣分布函數(shù)用（力= .14、 （易）已知當0<x<1,0<y<1時，二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)F（xj）=x2/,記（“）的概率密度為心y）,則時"臨J"""心疾X17、（中等）設(shè)隨機變量尤的分布律為X（“）的概率密度為心y）,則時"臨J"""心疾X17、（中等）設(shè)隨機變量尤的分布律為X-1012P13111616且JM2,記88隨機變量卩的分布函數(shù)為Fy（刃，則用?（3）= ?18、（易）設(shè)隨機變量尤和卩相互獨立，它們的分布律分別為X-101Y-10P13<5P1434

則P{X+Y=1}=（1）求尤與卩的聯(lián)合概率分布;19、（易）設(shè)二維隨機變量（1）求尤與卩的聯(lián)合概率分布;則P（XY=O）= ■三、計算題20、（中等）.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從為兀最大的號碼為K為兀最大的號碼為K（2）求關(guān)于尤和關(guān)于卩的邊緣分布;（3）尤與卩是否相互獨立【解】（1）尤與卩的聯(lián)合分布律如下表*345P{x=xi}11_1cf~lot2_2c[_103_3c[_To6Io201_1c[_102_2c{_103Io3001_1cf~lo1IoP{Y=yt}1103To6Io⑵0P{X=lW=3}=Axl=A,l=p{X=l,y=3},故尤與卩不獨立21、(中等)某高校學生會有8名委員，其中來自理科的2名，來自工科和文科的各3名，現(xiàn)從8名委員中隨機指定3名擔任學生會主席，設(shè)X,Y分別為主席來自理科、工科的人數(shù),求：(1)(X,Y)的聯(lián)合分布律；(2)X,Y的邊緣分布.P(X=0■Y=0)=C(3■3)/C(8,3)=1/56P(X=0,Y=l)=C(3J)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0.Y=2)=C(3J)*C(3,2)/C(8,3)=9/56P(X=0.Y=3)=C(3.3)/C(8,3)=1/56P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56P(X=l,Y=l)=C(2,l)*C(3,l)*C(3,l)/C(8t3)=18/56P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,l)/C(8,3)=6/56P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56P(X=2,Y=l)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56Y0X邊緣分布YY12YP(X=i)3X01/569/56 9/561/56 5/14X13/289/28 3/280 15/28X23/563/560 03/28Y邊緣分布P(Y=j)5/28 15/28 15/56 1/56122、（中等）設(shè)二維隨機變量（匕D的概率密度為

cx)cx)\0,0<x<2,0<y<2;

其他.求：(1)常數(shù)c；Jf(x,y)dxdy=Jcxydxdy=cJxdxjydy=c(l/2*x"2|從0到2)(l/2*y'2|從0到1)=c(1/2*2^2-0)(1/2*「2-0)=c*2*l/2=c并且ff(x,y)dxdy=l所以c=l求(才，力分別關(guān)于才，卩的邊緣密度A(A/r(y);判定光與卩的獨立性，并說明理由；求p{x>i,r>i}.23、(校難)設(shè)隨機變量(X,y)的分布函數(shù)為F(x,刃=4(〃+arctail二)(C+arctail上)2 3,試求：常數(shù)A、B、C試問尤與卩是否獨立求尤與卩的聯(lián)合概率密度函數(shù)F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3)F(-co,-oo)=a(B-Ji/2)(C-Ji/2)=0F(-cof+oo)=A(B-JI/2)(C+K/2)=0F(+co,-oo)=A(B+JI/2)(C-JI/2)=0F(+8,+8)=a(B+Ji/2)(C+n/2)=1解得：A=l/n*2,B=n/2,C=Ji/2F(+co,y)=1/2+1/Ji*arctan(y/3)F(x,+°°)=l/2+l/Ji*arctan(x/2)F(x,y)=F(+8,y)XF(x,+8)X和Y相互獨立.(X,Y)的聯(lián)合概率密度:6/(11Ji)(n/2+arctanx/2)(Ji/2+arctanY/3)24、（中等）設(shè)二維隨機變量（Xf）的概率密度為0<x<2,2<y<4其他心）=們一）0<x<2,2<y<4其他求：（1）常數(shù)（2）（X,/）關(guān)于尤卩的邊緣概率密度fxgfy（y）；<4}.由性質(zhì)有【解】⑴由性質(zhì)有J卞jXf(x,刃didy=[￡R(6_牙_y)dycLv=8k=1,P{X+Y<4}=Jj/(x,y)drdy如圖b[|7(x,y)dxdyx+r<4=仙廣》67-y)dy=|.1111%111111rniiiiiiO1.522.v+y=4(a)題5圖25、(中等)設(shè)二維隨機變量(XV)的概率密度為x>0,y>0其他求：(1)(X,Y)關(guān)于尤卩的邊緣概率密度fx(x\fY(y)；(2)判斷隨機變量X與Y是否獨立JOJO②邊緣密度函數(shù)分別為血⑴日必，曲y當兀\()時級(力=J(：dy=2e~^當x<0時(px(x)=0所以，譏）屮,（30, （x<0）同理可得以）2嚴巴（｝?-（））【0, （y<0）6曠?+3y）,（x>o,y>O）色⑴俗（）'）=介 甘宀0, 英匕=於,y）所以X與Y相互獨立。26、（中等）設(shè)尤和『是