專題訓(xùn)練-倒數(shù)法與分式方程題庫

|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁3-3倒數(shù)法與分式方程題庫·教師版pagePAGE23ofNUMPAGES24專題訓(xùn)練——倒數(shù)法與分式方程題庫倒數(shù)法與分式方程例題精講例題精講倒數(shù)法已知：，求的值.∵，∴，∴已知：，求的值.∵，∴，即，已知為實(shí)數(shù)，且，則=__________．．設(shè)，求的值.∵，∴，∴，所以若，求的值.，分析可得，，則，則，(05山東濰坊中考)若，求的值.⑴由可知，，，故.本類題有一種典型錯題，如：已知，求的值.事實(shí)上：若，易得，，故顯然不成立.【補(bǔ)充】（“希望杯”試題）若，則=___________．解析：由，故．(湖北黃岡市初級數(shù)學(xué)競賽)設(shè)，其中，則∵，∴，于是，即，，【補(bǔ)充】設(shè)，求的值.由條件知，因而，即，已知：，求⑴；⑵；⑶的值.⑴∵，∴，∴，即⑵∵，∴，∴⑶∵，∴，∴已知：，求的值.由，可知，得，即已知：，求的值.∵，∴，∴，∴，∴【補(bǔ)充】若，則________．由，故原式．(上海市高中理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)已知：，且，求的值.由條件知：，又，即，解得(第17屆江蘇省競賽題)已知，且，求.由已知可得，，解得已知是的根，求的值.因?yàn)槭堑母?，所以所以利用條件的各個變形，對分式進(jìn)行整體降冪是解題的關(guān)鍵.(廣西競賽題)已知：，求利用條件的各個變形，對分式進(jìn)行整體降冪是解題的關(guān)鍵.【補(bǔ)充】已知，求的值.【解析】，故∵∴板塊四分式方程下列方程中哪些是分式方程？⑴⑵⑶ ⑷⑸⑹⑺ ⑻⑼⑽思路與技巧分式方程首先應(yīng)為方程，然后還必須滿足有分母，并且分母中含有未知數(shù).其中分式方程有⑶、⑸、⑺、⑻、⑽點(diǎn)評：判斷分式方程關(guān)鍵要看分母中是否有未知數(shù).⑴中沒有分母，是整式方程；⑵中雖然有分母，但分母中不含未知數(shù)，所以仍為整式方程；⑷是整式方程，分母中不含未知數(shù)；⑹不是方程，所以也不是分式方程；⑺不是分式方程，雖然分母中有字母，但不是未知數(shù)，所以仍為整式方程.此方程是否為分式方程：？為分式方程，不能看化簡以后的結(jié)果，因?yàn)樗幕啿坏葍r，取值范圍發(fā)生變化?？傊灰帜干虾形粗獢?shù)即為分式方程！此方程是否為一元一次方程：是，這個要看化簡以后的結(jié)果，它的化簡是等價的。對于整式方程，要看化簡以后的結(jié)果！(西城區(qū)各校期中考試題)解關(guān)于的方程：原方程可化為通分整理為，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴原方程的解是解方程：將方程展開，得去分母得，整理得，，解得經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的增根，∴原方程的解是解關(guān)于的方程：()又∵，∴經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解.∴原方程的解為.求為何值時，代數(shù)式的值等于2.由題意，得，解這個分式方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.∴當(dāng)事，代數(shù)式的值等于2.解方程：原方程變形為：，去分母解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根.原方程無解.解方程【解析】原方程化為方程兩邊同時乘以,約去分母，得整理得解這個整式方程，得檢驗(yàn)：把代入，得所以是原方程的增根，原分式方程無解．點(diǎn)評：解分式議程的步驟為：解方程：方程兩邊同時乘以約去分母，得.檢驗(yàn)，當(dāng)時，所以是增根，∴原方程的解是除了1和2的任何實(shí)數(shù).若分式方程有增根，求它的增根移項(xiàng)，得，即，，∴原方程的增根是為何值時，關(guān)于的方程會產(chǎn)生增根.去分母可得：，如果產(chǎn)生增根，那么增根為或，而增根滿足化簡后的整式方程，將代入可得，將代入可得.當(dāng)或時，均產(chǎn)生增根.解分式方程組還有一種重要的方法，換元法，我們在初一下，學(xué)習(xí)二元一次方程組的時候介紹過.關(guān)于的方程有增根，求的值方程兩邊同時乘以得，，即.①若方程有增根，則，把代入①中可得，把代入①中可得，∴當(dāng)或時，原方程會產(chǎn)生增根.已知關(guān)于的方程有增根，求的值.原方程去分母，整理得，把代入上面方程，解得若方程無解，求的值去分母，得①，整理關(guān)于x的一次方程，得,當(dāng)，即時，原方程無解當(dāng)時，原方程有增根，原方程無解分別將代入方程①當(dāng)時，無解；當(dāng)，解題.綜上，當(dāng)或時，方程無解.已知解方程時，不會產(chǎn)生增根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.去分母整理得：①若產(chǎn)生增根，則必是x值使即的情形當(dāng)時①式成為無解當(dāng)時，①式成為，得：∴當(dāng)時，原方程不會產(chǎn)生增根.閱讀并完成下列問題：方程的解是方程的解是⑴觀察上述方程及解，可猜想關(guān)于的方程①的解是；用求出方程的解的方法證明這個猜想．⑵把關(guān)于的方程變?yōu)榉匠挞俚男问绞莀__________________________，方程的解是．⑶進(jìn)一步猜想方程②的解是_____________________________，直接寫出方程的解是________________．⑴，，驗(yàn)證：去分母，得，．∴，．⑵按方程①的形式變形為．令或，便可得方程的解為，．⑶，；，．(2005年五羊杯）方程的解為．∵∴方程兩邊乘，拆項(xiàng)、化簡得：，∴（“祖沖之”杯競賽題）解方程．方程可化為：，即故，即故或者，經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解．解方程：原方程可變形為：化簡，去分母可得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.解方程，經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的增根，∴原方程的解是(五羊杯數(shù)學(xué)競賽)解方程：，即：，，∴∴即：，∴．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根．解方程經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的增根，∴原方程的解是解方程.【解析】方程可化為：故，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．講解此題之前，可以先講如何使用多項(xiàng)式除法或逐步滿足法將分式拆分成兩個式子之和的形式．解方程組：此題是分式方程組，可采用去分母的方法將方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解．去分母：將方程⑴兩邊同乘以，得：⑶將方程⑵兩邊同乘以得：，整理方程：，∴⑷∴原方程組化為：解方程組：⑷－⑶得：把代入⑶，∴∴將代入原方程組檢驗(yàn)適合∴原方程組的解為．（臨沂市數(shù)學(xué)競賽題）解方程：．設(shè)，，則原方程可化為：，故或者，即或者解之得，，或，或，經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解．解方程組【解析】把方程組的每一個方程去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程組，將得到二元二次方程組，目前我們還不會解這類方程組.若認(rèn)真觀察這個方程組得特點(diǎn)，則原方程組可寫成，只需把分別看作是一個整體，則利用換元法就可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解.設(shè)．則原方程組可化為．解這個方程組，得，即，∴經(jīng)檢驗(yàn)是原方程組的解．解方程組按常規(guī)想法將兩個分式方程去分母后變形為整式方程組，去解即按例1方法去解此方程組，會出現(xiàn)高次方程，目前我們還不會解．因此觀察特點(diǎn)，特別是反復(fù)出現(xiàn)的字母形式，再利用換元思想（或叫整體代換）去解這個方程組．設(shè),則原方程組變形為化簡整理方程組：將方程⑴兩邊同乘以，得：將方程⑵兩邊同乘以得：∴原方程組化為解方程組：⑶-⑷×2∴把代入⑷∴∴即∴再解方程組：⑸+⑹得將代入⑸得∴經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程組的解．點(diǎn)評：1、換元法是初中數(shù)學(xué)中要掌握的一種重要的數(shù)學(xué)方法，尤其是換元法在各類的解方程中的運(yùn)用，更為重要．它可以通過換元手段，使復(fù)雜的問題變得簡單，疑難問題變得容易，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，一定要掌握一些典型的數(shù)學(xué)方法．這種換元的方法將來在初三還會專門學(xué)習(xí)．2、“換元”是求原方程未知數(shù)的值的一種手段，不是目的．目的是求原來未知數(shù)（如,）的值．所以當(dāng)求得輔助未知數(shù)（如，）的值以后，一定要把原來未知數(shù)（,）的值求出來．3、由以上兩個例題可以看出，把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組，可以用去分母的方法，也可以用換元法．究競用哪種方法合適，要具體問題具體分析．(第屆華羅庚邀請賽)解方程組：令，，則原方程組化為，解得，即，解得；我們也可選設(shè)“單位1”，，.（第八屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題）．設(shè)，則原方程可化為：，解之得，故或點(diǎn)評：下面提供一種更好的換元的解法，設(shè)，則原方程可化為：，，故然后可得，故或．（泰州市數(shù)學(xué)競賽題）解方程：．設(shè)，則原方程化為：整理可得，，故若，則，，故或；若，則，，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，上述四個值均是原方程的解．解方程設(shè)，則原方程可化為，即，解方程得：當(dāng)時，有，即，此方程五實(shí)數(shù)根當(dāng)時，有，即，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴原方程的根式.【補(bǔ)充】（湖北孝感市競賽題）解方程【解析】設(shè)，則，原方程可化為：解之得，或者故（舍）或.分式方程應(yīng)用已知關(guān)于的方程有一個正數(shù)解，求的取值范圍.原方程兩邊都乘，約去分母得，，所以，因?yàn)樵匠逃薪猓圆荒転樵龈?，即，又因?yàn)榉匠痰慕馐抡龜?shù)，所以，所以當(dāng)，且時方程有一個正數(shù)解.當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)？去分母得，解得，令，解得∴當(dāng)時原方程的解是負(fù)數(shù).已知關(guān)于的方程有一個正整數(shù)解，求的取值范圍. ∵方程有一個正整數(shù)解，∴且是整數(shù)∴且是整數(shù)∴當(dāng)取小于6的整數(shù)時，原方程有一個正整數(shù)解.關(guān)于的方程的解也是不等式組的一個解，求的取值范圍.由去分母得，解得由題意知，∴，即解不等式組得，即，∴綜上可知，的取值范圍是關(guān)于的兩個方程與有一個解相同，則方程的解為，不是方程的解∴共同的解是課后練習(xí)課后練習(xí)已知：，求的值.∵，∴，即，已知，求的值.，故.若，則=_________.，解方程這個分式方程的各分母都是多項(xiàng)式，應(yīng)先分解因式確定最簡公分母，從而轉(zhuǎn)化為整式方程來解答.原方程可變形為：方程兩邊都乘以，得整理，得∴檢驗(yàn)，當(dāng)時∴1是原方程得根∴原方程的解是．解方程兩邊都乘以，得∴檢驗(yàn)：當(dāng)時，∴ 是增根∴原方程無解點(diǎn)評：此題常見錯誤是：方程右邊整數(shù)1沒有乘以，因此解分式方程去分母時，方程的左右兩邊各項(xiàng)都要乘以最簡公分母．如果分式方程有增根，求的值.去分母可得，若有增根，增根為，代入可得.(廣西競賽)關(guān)于的方程的兩個解是，，則關(guān)于