空間向量與立體幾何講義

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科一、空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組rrrr{x,y,z}為{x,y,z}，使得axiyjzk，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)組ur.向量a的坐標(biāo)，記著p2．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算rrrr（1）若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，則ab(a1b1,a2b2,a3b3)，rrrab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，uuur（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB(x2x1,y2y1,z2z1)．一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。2．?dāng)?shù)量積：即 ab=a1b1 a2b2r rr r ab3．夾角：cosab rr|a||b|

a3b3a1b1 a2b2 a3b3．a(chǎn)12 a22 a32 b12 b22 b324．模長(zhǎng)公式： 若5．平行與垂直：

rrrra12a22a32．a(chǎn)(a1,a2,a3)，則|a|aarra//ba1b1,a2b2,a3b3(R)a b ab 0 a1b1 a2b2 a3b3 06．距離公式： 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，uuuruuur2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2，則|AB|AB或dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2．uruuurruuur【典型例題】例1如圖，空間四邊形OABC中，OAa,OBb，uuurruuuur.OCc，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則MN1/4例2如圖，在直三棱柱ABC—ABC中，ABC90,CB1,CA2,AA16,點(diǎn)M是CC1的中點(diǎn)，111求證：AM BA1.變式：正三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，在直線CC1上求一點(diǎn)N，使得MNAB1例3 已知三角形的頂點(diǎn)是 A(1,1,1)，B(2,1,1)，C(1,1,2)，試求這個(gè)三角形的面積．例4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求滿足DB//AC，DC//AB的點(diǎn)D的坐標(biāo)．二、用向量討論垂直與平行1、理解直線的方向向量和平面的法向量；2．能用向量方法判斷空間線面垂直關(guān)系。設(shè)空間兩條直線l1,l2的方向向量分別為e1,e2，兩個(gè)平面1,2的法向量分別為n1,n2，則由如下結(jié)論平行垂直l1與l2e1//e2e1e22/4l1與1e1n1e1//n11與2n1//n2n1n2【典型例題】zD1C1例1在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1求證：DB1是平面ACD1的法向量DCyABxuuuruuur(4,2,0)，例2.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，如果AB(2,1,4)，ADuuurAP (1,2, 1)uuur1）求證：AP是平面ABCD的法向量；2）求平行四邊形ABCD的面積．例3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F.證明PA∥平面EDB；證明PB⊥平面EFD．3/4例4在正方體 ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1上是否存在點(diǎn) P，使得平面APC1 平面ACC1？證明你的結(jié)論．例5如圖，在底面是菱形的四棱錐 P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD= 2a