新教材人教B版必修第三冊(cè)82821兩角和與差的余弦學(xué)案

8.2三角恒等變換8.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．能利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用．(難點(diǎn))2．能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式．(重點(diǎn))3．能利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)、求值．(重點(diǎn))1．通過(guò)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，培育同學(xué)規(guī)律推理的核心素養(yǎng)．2．借助兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，培育同學(xué)的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).某城市的電視放射塔建在市郊的一座小山上．如下圖，在地平面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A，C兩點(diǎn)間距離約為60米，從點(diǎn)A觀測(cè)電視放射塔的視角(∠CAD)約為45°，∠CAB＝15°，求這座電視放射塔的高度．設(shè)電視放射塔的高度CD＝x.那么AB＝AC·cos15°＝60cos15°，BC＝ACsin15°＝60sin15°，BD＝AB·tan60°＝60·cos15°·tan60°＝60eq\r(3)cos15°，所以x＝BD－BC＝60eq\r(3)cos15°－60sin15°，假如能求出cos15°，sin15°的值，就可求出電視放射塔的高度了．問(wèn)題(1)30°＝60°－30°，那么cos30°＝cos60°－cos30°成立嗎？類(lèi)似的15°＝45°－30°，那么cos15°＝cos45°－cos30°成立嗎？為什么？?α，β∈R，cos(α－β)＝cosα－cosβ成立嗎？(2)如何用α，β的正弦、余弦值來(lái)表示cos(α－β)呢？提示(1)cos30°≠cos60°－cos30°；cos15°≠cos45°－cos30°.由于以上兩式的左邊的cos30°以及cos15°都大于0，而右邊的式子cos60°－cos30°，cos45°－cos30°都小于0.cos(α－β)≠cosα－cosβ.(2)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.兩角和與差的余弦公式簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件Cα－βcos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈RCα＋βcos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β思索：(1)兩角和的余弦公式是怎樣由兩角差的余弦公式推導(dǎo)而來(lái)的？(2)兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？可用什么口訣記憶？[提示](1)在兩角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中，只要用－β替換β，便可以得到兩角和的余弦公式．(2)可簡(jiǎn)潔記為“余余正正，符號(hào)相反〞，即綻開(kāi)后的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；綻開(kāi)前兩角間的符號(hào)與綻開(kāi)后兩項(xiàng)間的符號(hào)相反．1．思索辨析(對(duì)的打“√〞，錯(cuò)的打“×〞)(1)cos(70°＋40°)＝cos70°－cos40°. ()(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立． ()(3)對(duì)任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ都成立． ()(4)cos30°cos60°＋sin30°sin60°＝1. ()[提示](1)×.cos(70°＋40°)＝cos110°≠cos70°－cos40°.(2)×.當(dāng)α＝－45°，β＝45°時(shí)，cos(α－β)＝cos(－45°－45°＝cos(－90°)＝0，cosα－cosβ＝cos(－45°)－cos45°＝0，此時(shí)cos(α－β)＝cosα－cosβ.再如α＝0°，β＝60°時(shí)也成立．(3)√.結(jié)論為兩角和的余弦公式．(4)×.cos30°cos60°＋sin30°sin60°＝cos(60°－30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．cos22°cos38°－sin22°sin38°的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),3)A[原式＝cos(22°＋38°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]3．化簡(jiǎn)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ為()A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cosα D．cosβC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.]4．cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝__________.eq\f(1,2)[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)、求值【例1】(1)cos345°的值等于()A．eq\f(\r(2)－\r(6),4) B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．eq\f(\r(2)＋\r(6),4) D．－eq\f(\r(2)＋\r(6),4)(2)化簡(jiǎn)以下各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[思路探究]利用誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式求解．(1)C[cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).](2)[解]①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).1．在兩角和與差的余弦公式中，α，β可以是單個(gè)角，也可以是兩個(gè)角的和或差，在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體．2．兩角和與差的余弦公式在求值應(yīng)用中的一般思路：(1)把非特別角轉(zhuǎn)化為特別角的和或差，正用公式直接求值．(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和或差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．求以下各式的值：(1)coseq\f(13π,12)；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．[解](1)coseq\f(13π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,12)))＝－coseq\f(π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,12)－\f(2π,12)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)cos\f(π,6)＋sin\f(π,4)sin\f(π,6)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝－eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin80°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－eq\f(1,2).(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]＝cos60°＝eq\f(1,2).給值(式)求值【例2】(1)(教材P89例3改編)cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，那么cosα－eq\f(π,3)＝________.(2)α，β為銳角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，求cosα的值．[思路探究](1)可先求得sinα，再用兩角差的余弦公式求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))).(2)可考慮拆角，即α＝(2α＋β)－(α＋β)來(lái)求cosα.(1)eq\f(3－4\r(3),10)[由于cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，所以sinα＝－eq\f(4,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－4\r(3),10).](2)[解]由于α，β為銳角，所以0<α＋β<π.又由于cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，所以0<α＋β<eq\f(π,2)，所以0<2α＋β<π.又由于cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，所以0<2α＋β<eq\f(π,2)，所以sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)，所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).解決三角函數(shù)求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角〞用“角〞表示1當(dāng)“角〞有兩個(gè)時(shí)，“所求角〞一般表示為兩個(gè)“角〞的和或差的形式；2當(dāng)“角〞有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角〞與“角〞的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角〞變成“角〞.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cosβ的值．[解]由于α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)．又由于cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).又由于β＝(α＋β)－α，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).三角函數(shù)值求角【例3】α，β均為銳角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．[思路探究]此題可先求出cos(α－β)的值，結(jié)合α－β的范圍，再求出α－β的值．[解]由于α，β均為銳角，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又sinα<sinβ，所以0<α<β<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)<α－βα－β＝－eq\f(π,4).解決給值求角問(wèn)題的一般步驟1求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；2確定角的范圍；3依據(jù)角的范圍寫(xiě)出要求的角.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．假設(shè)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝eq\f(\r(3),2)，其中eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜β＜eq\f(π,2)，那么角α＋β的值為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)B[由于eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)－α＜0，由于eq\f(π,4)＜β＜eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)＜eq\f(π,4)＋β＜eq\f(3π,4)，由可得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(3),2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))＝－eq\f(1,2).那么cos(α＋β)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋β))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(\r(3),2).由于eq\f(π,2)＜α＋β＜π，所以α＋β＝eq\f(5π,6).]利用角的變換求三角函數(shù)值[探究問(wèn)題]1．假設(shè)α＋β和β的三角函數(shù)值，如何求cosα的值？[提示]cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β如何求得cosβ？[提示]cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)．3．假設(shè)cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，如何求cos(α－β)的值？[提示]cos(α－β)＝eq\f(2－a2－b2,2).【例4】假設(shè)0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))的值為()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)[思路探究]利用角的交換求解，α＋eq\f(β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2))).C[由于0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，所以eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，又由于coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).應(yīng)選C．]奇妙變角是指將角敏捷分拆、配湊成待求的角.主要針對(duì)某些角的三角函數(shù)值，求或證明“變角〞有：①單角變?yōu)楹筒罱?，如α＝α－β＋β，β＝eq\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)，\f(α－β,2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等；②倍角化為和差角，如2α＝α＋β＋α－β，α＝eq\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)，β＝\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)等.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．設(shè)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求coseq\f(α＋β,2)的值．[解]由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α－eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，eq\f(α,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\r(1－\f(1,81))＝eq\f(4\r(5),9)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3)，所以coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,9)×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27).1．對(duì)公式Cα－β和Cα＋β的三點(diǎn)說(shuō)明(1)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：公式的左邊是差(和)角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和(差)式，可用口訣兩角和與差的余弦公式結(jié)構(gòu)是“余余正正，加減相反〞．(2)公式的適用條件：公式中的α，β不僅可以是任意詳細(xì)的角，也可以是一個(gè)“團(tuán)體〞，如coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq\f(α＋β,2)〞相當(dāng)于公式中的角α，“eq\f(α－β,2)〞相當(dāng)于公式中的角β.(3)公式的“活〞用：公式的運(yùn)算要“活〞，表達(dá)在正用、逆用、變用．而變用又涉及兩個(gè)方面：①公式本身的變用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.②角的變用，也稱為角的變換，如cosα＝cos[(α＋β)－β]等．2．把握1組技巧由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中可以依據(jù)需要敏捷地進(jìn)行拆角或湊角．常見(jiàn)角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))；④2α＝(α＋β)＋(α－β)；⑤2β＝(α＋β)－(α－β)．3．辨明1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)利用兩角差的余弦公式解決給值求角問(wèn)題時(shí)，易無(wú)視角的范圍而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．1．以下式子中，正確的個(gè)數(shù)為()①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sinα；③cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)A[由cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ知①③錯(cuò)誤，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα，故②錯(cuò)誤，應(yīng)選A．]2．銳角α，β滿意cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，那么cosβ等于()A．eq\f(33,65) B．－eq\f(33,65)C．eq\f(54,75) D．－eq\f(54,75)A[由于α，β為銳角，cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，所以sinα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(12,13)