高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-命題之間的轉(zhuǎn)化與變換與第48講縱向化歸解題法解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第47講命題之間的轉(zhuǎn)化與變換用命題轉(zhuǎn)化策略解數(shù)學(xué)問題的過程如圖所示。就是說在解決問題時,將原問題進(jìn)行變形,使之轉(zhuǎn)化,直至最終歸結(jié)為我們熟悉的,或易于解決的,或已經(jīng)解決的問題,命題之間的轉(zhuǎn)化與變換的基本方向就是“把末解過的題目歸結(jié)為已經(jīng)解過的題”,使復(fù)雜問題簡單化、難解問題容易化、末知問題已知化、抽象問題具體化。典型例題【例1】如圖所示,已知半圓的直徑為為位于半圓之外,而又垂直于延長線的一直線,其垂足為,且,又是半圓上的不同的兩點(diǎn),,且求證:【分析】如果限于平面幾何的方法證明本例,則較困難,但若使用原理,即關(guān)系(Relation)、映射(Mapping）、演(Inversion)原理將此幾何問題映射為代數(shù)問題,運(yùn)用代數(shù)變換方法先尋求代數(shù)結(jié)論,再反演為幾何結(jié)論,則就方便多了。本例條件中給出了以為直徑的半圓,又給出了,即動點(diǎn)到定直線的距離等于到一定點(diǎn)的距離,顯然符合拋物線的定義,如果以為極點(diǎn),所在射線為極軸建立極坐標(biāo)系,則本題可以用下述過程來求解,如圖所示.推廣到一般,RMI原理解題的過程(即命題之間的轉(zhuǎn)化與變換)如圖所示.【解析】【證法1】以為極點(diǎn),射線為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè),則半圓方程為.設(shè)則且又由題圖知,而,即,同理由①③得由②④得式⑤⑥說明是方程的兩根.按韋達(dá)定理有,故.【證法2】以為極點(diǎn),射線為極軸建立極坐標(biāo)系.根據(jù)已知條件及拋物線定義,可知兩點(diǎn)是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線上的兩點(diǎn),而拋物線方程為,以此與半圓方程聯(lián)立,同樣可證得【例2】已知數(shù)列各項為正數(shù),且滿足,求數(shù)列的通項公式.【分析】非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的問題常通過構(gòu)造輔助數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解,構(gòu)造法使轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想顯得更加豐富多彩.【解析】將等價變形為,同理可得,令,則,兩邊取對數(shù)得.變形為,且.數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列.,,即..【例3】如圖所示,已知正方形的邊長為1.點(diǎn)分別在上,的周長為2。(1)求的最小值;(2)試探究是否為定值?若是定值,請給出證明;若不是定值,請說出理由.【分析】第問,可通過引入為參數(shù),將轉(zhuǎn)化為含的函數(shù),求三角函數(shù)的最值;第問,可通過引入?yún)?shù),將探究的定值問題轉(zhuǎn)化為探究為定值的問題,并由此強(qiáng)化構(gòu)造直角三角形解題的意識,當(dāng)然探求的過程可以不相同,但只要思維是合理的,便可在理性分析的基礎(chǔ)上選擇運(yùn)用.如本小題,設(shè),,由條件易得,可以借助余弦定理或通過建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用,的數(shù)量積公式求角,但運(yùn)算量均較大,這樣的思考對于本題而言,合理性不?.一般而言,“坐標(biāo)法”是應(yīng)堅持的解題的重要方法,但應(yīng)克服“習(xí)慣性”偏愛“坐標(biāo)法”解題的習(xí)慣,尋找更為巧妙的解題途徑.【解析】(1)設(shè),則,依題意,的周長為于是此時 (2)【解法1】設(shè),依題意,,即,亦即,設(shè),則,易得圖7-22或者作,垂足為(如圖所示),則,由此可得 【例4】已知定點(diǎn)和是圓上的一動點(diǎn),求的最大值和最小值.【分析】這是一道解析幾何問題,若設(shè),由距離公式寫出為的二元函數(shù),消元很不方便,若設(shè)，由距離公式寫出的三角函數(shù)式,則原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.但解題過程仍然較煩瑣,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,若利用向量轉(zhuǎn)化為求向量的最值問題,則解題過程相對簡捷.【解析】如圖所示,設(shè)已知圓的圓心為,由已知可得又點(diǎn)P在圓上，，且故的最大值為100,最小值為20.第48講縱向化歸解題法縱向化歸是把面臨的新問題,通過減元、降維等加工手段化歸為已知(已解決)的問題,或是化歸為熟悉的,簡單的、具體的問題來處理,最后通過對新問題的解決而將原問題圓滿解決,比如解不等式的化歸過程是：超越不等式→代數(shù)不等式→有理不等式→一次或二次不等式.數(shù)列問題的化歸過程是：一般數(shù)列問題尤其是遞推數(shù)列問題→等差或等比數(shù)列→結(jié)合等差或等比數(shù)列的性質(zhì)求解.解析幾何問題的化歸過程是：幾何問題→函數(shù)或方程問題.立體幾何問題的化歸過程是：空間問題（通過構(gòu)造輔助平面）→平面問題典型例題【例1】(1)當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時,方程有一個實(shí)數(shù)解、兩個實(shí)數(shù)解，沒有實(shí)數(shù)解？(2)定義區(qū)間的長度為,其中.由不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度的和等于6.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】第問是一道含參數(shù)對數(shù)方程的根個數(shù)的討論,屬于經(jīng)典例題,可以運(yùn)用代數(shù)的方法解,也可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解,但不論是哪種方法,首先都要把超越方程化歸為代數(shù)方程,然后再進(jìn)一步求解.當(dāng)然若采用數(shù)形結(jié)合法,關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造的函數(shù)不一樣,解法也就各異,如方程可以變形為,令,探究這兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題;若直接令,可得數(shù)形結(jié)合的另一種解法,讀者可以試一試,作個比較,看怎樣的解法是最為簡捷的.第問,若設(shè)不等式的解集為,不等式的解集為,則易得,而后一個不等式顯然,要得到不等式組解集的長度為6,易得應(yīng)恒成立,則解題的思路明朗了,當(dāng)然鍵在于如何處理?玤玨式組再進(jìn)一步解下去!【解析】(1)【解法1】原方程可化為:.即,令.由題意可知,原方程有一個解等價于:或解上述不等式或不等式組可得:或,經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意,所以當(dāng)或時,原方程只有一個解.原方程有兩個解等價于:解此不等式組可得:，所以當(dāng)時,原方程有兩個解.由①②可知,當(dāng)或時,原方程沒有實(shí)數(shù)解.【解法2】原方程可化為:,即.令,分別作出上述兩個函數(shù)的圖像.根據(jù)圖像交點(diǎn)的個數(shù)即可得與解法一同樣的結(jié)論.(2)不等式的解集,設(shè)不等式的解集為,不等式組的解集為.不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間的和等于6,不等式組在時恒成立,.等價于【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),,以為直徑的圓與直線交于另一個點(diǎn)若,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）【分析】本題把直線與圓,平面向量的數(shù)量積等知識匯合在一起,求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)然可以從解析幾何的角度求解,也可以平面向量為工具求解,解題時的切入點(diǎn)不同,解法也就不同.在同一系統(tǒng)內(nèi),可以從不同的角度思考,巧妙地轉(zhuǎn)化,本題在幾何中蘊(yùn)含代數(shù)特征,如果引進(jìn)某一個角,則可構(gòu)造出三角函數(shù)用來處理解析幾何問題,若借助平面幾何相關(guān)知識(如垂徑定理、圓周角定理、直徑所對圓周角為直角等),則可構(gòu)造出用平面幾何知識處理圓的相關(guān)問題,只要對題中蘊(yùn)含的相關(guān)知識融會貫通,從中“悟”出的解題方法,往往都是優(yōu)美的、賞心悅目的?！窘馕觥俊窘夥?】(構(gòu)造法一:從直線與圓的交點(diǎn)切人）設(shè),而,則圓心,以為直徑圓的方程為,與直線聯(lián)立,消去并整理得:.可得或,則.當(dāng)直線斜率不存在時,,顯然不符合要求,由,解得或(不符合條件,舍去).點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【解法2】（構(gòu)造法二:從點(diǎn)到直線的距離切人)由于,即,而,則.圓以為直徑,,點(diǎn)到直線的距離為.設(shè),則.解得或(舍去點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【解法3】（構(gòu)造法三:以向量法切人)由題意可設(shè),則,圓以為直徑,則有,又,解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.【解法4】(構(gòu)造法四:引人三角知識結(jié)合斜率公式求解)由即,而,則.設(shè)直線的傾斜角為,則,則直線的斜率.設(shè),則由,得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.【解法5】(構(gòu)造法五:運(yùn)用平面幾何知識求解)由,而,則,而圓以為直徑,則,設(shè),由于直徑的斜率為2,可知,故.在中,,解得.在中,可得,由三角形的等面積法可得,解得,代人直線,可得,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【例3】如圖所示,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面成角,且兩個側(cè)面的面積之比為:,若這個棱柱的側(cè)面積為,體積為,且.已知斜三棱柱的體積等于直截面面積與側(cè)棱長之積,求側(cè)棱長.【分析】有關(guān)斜棱柱側(cè)面積和體積的計算直接求解是困難的,可以通過斜棱柱的直截面這個輔助平面求解,斜棱柱的直截面就是與各條側(cè)棱垂直且相交的截面,于是有;，因此,構(gòu)造斜棱柱的直截面能方便快捷地求解斜棱柱的側(cè)面積和體積實(shí)質(zhì)上已化歸為平面問題).【解析】作直截面,如圖所示.則,,.設(shè),由余弦定理得 由得【例4】(1)設(shè)是橢圓的左右焦點(diǎn),弦過點(diǎn),求的面積的最大值;（2）過橢圓的左焦點(diǎn)作一直線交橢圓于兩點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求面積的最大值.【分析】本例兩小題都是求與橢圓相關(guān)的三角形面積的最大值,由于兩小題都涉及動直線問題,引進(jìn)參變量顯得很重要.第問,設(shè)動直線的傾斜角為參數(shù),則可扣住橢圓定義結(jié)合余弦定理獲得一種巧妙的解法,其解題過程是把解析幾何問題化歸為三角函數(shù)問題,并通過換元化歸為耐克函數(shù)性質(zhì)的研究.第問,以動直線的斜率為參數(shù),則要分類討論斜率不存在的情況,而且要求三角形面積的最值,由于解析式較為復(fù)雜,解題的技巧性很強(qiáng),且方法也多,如可以通過變形化歸為代數(shù)函數(shù)求最值,或通過去分母并換元化歸為二次方程用判別式法求最值,還可通過三角換元與代數(shù)換元化歸為“耐克函數(shù)”求最值.【解析】(1)如圖8-4所示,設(shè).由橢圓的定義知。在和中,應(yīng)用余弦定理,得令在上是增函數(shù),當(dāng)即時,.故的面積的最大值為.(2),且當(dāng)直線的斜率不存在