數(shù)學(xué)物理方法定解問題

數(shù)學(xué)物理方法定解問題第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.2第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六聲振動是研究聲源與聲波場之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系．3第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六多數(shù)為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程一、數(shù)學(xué)物理方程---泛定方程:物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示

物理規(guī)律物理量u

在空間和時間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言翻譯泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關(guān)。4第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六5二、邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件三、歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件→不同的運動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。定解問題的完整提法：

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六6具體的問題的求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須用的3、求解方法——

行波法、分離變量法等分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù)三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六1.1數(shù)學(xué)模型(方程）的建立7建模步驟：1、確定表征過程的物理量u（代求函數(shù)）；

2、從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的關(guān)系及相互作用，用含u的算術(shù)式表達(dá)此作用；3、對算式進(jìn)行化簡得到最終方程，此方程為某一類物理過程的通用方程（泛定方程）。第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六8模型（方程）類型：1、波動方程（描述振動和波動特征）；

2、熱傳導(dǎo)方程（反映輸運過程）；3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映穩(wěn)定過程）。第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六（一）均勻弦橫振動方程(一維波動方程）弦的橫振動

設(shè)：均勻柔軟的細(xì)弦沿x軸繃緊，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動u(x,t):

坐標(biāo)為x

的點在t時刻沿垂線方向的位移求：細(xì)弦上各點的振動規(guī)律9波動方程的導(dǎo)出第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六建立方程（1）確定物理變量位移u(x,t)（2）系統(tǒng)中取一小部分，分析臨近部分與之

關(guān)系（建立等式）10第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六

選取不包括端點的一微元(x,x+dx),弦長dx

，研究對象:(4)設(shè)單位長度上弦受力，力密度為：簡化假設(shè)：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角1和2

很小，僅考慮1和2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略。質(zhì)量線密度，u(x)u+uu012T2T1xx+xF11第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六弦的原長：振動拉伸后：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF弦長dx

，質(zhì)量線密度，B段的質(zhì)量為m=dx12第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六核心等式關(guān)系：牛頓第二定律F=ma13第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六沿水平方向，不出現(xiàn)平移受力分析：14u(x)u+uu012T2T1xx+xBF（1）分豎直和水平方向考慮由（1）式可得弦中各點的張力相等在微小振動近似下：即張力為常數(shù)，記為T第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六沿豎直方向15u(x)u+uu012T2T1xx+xBF對于小振動，有第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六16豎直方向上滿足牛頓第二定律：由前知弦長Δx(dx），質(zhì)量線密度，質(zhì)量為m=Δx第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六綜合前式，有上式即為通過核心等式關(guān)系建立的研究對象u(x,t)所滿足的方程式。（3）對等式進(jìn)行化簡得到最終方程（泛定方程）17第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六其中令Δx→0，得到（2）（2）式即為弦的自由橫振動方程（齊次方程）。18第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六若有外力作用在弦上，方向垂直于x軸，設(shè)其力密度為F（x，t），由于弦段很小，其上各點外力近似相等，故該段所受外力為19此時豎直方向上的牛頓第二定律為同樣利用前面關(guān)系代換，有第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六兩邊約去Δx，并令Δx→0，得到其中（3）（3）式為弦的強迫振動方程（非齊次方程）。20第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六波動方程可統(tǒng)一表示為：21類似可得到二維波動方程（薄膜振動）和三維波動方程（電磁波、聲波的傳播）：其中Δ為拉普拉斯算子，f=0時為齊次方程，f≠0時為非齊次方程。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六熱傳導(dǎo)方程

熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：系統(tǒng)的溫度

u(x,y,z,t)

不均勻時，將出現(xiàn)熱量從溫度高處到溫度低處的流動，叫熱傳導(dǎo)。22建立方程（1）確定物理變量溫度u(x,t)（2）系統(tǒng)中取一小部分，分析臨近部分與之

關(guān)系（建立等式）第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六核心等式：23xx1x2△xA橫截面積為A的均勻細(xì)桿，桿長方向有溫差，側(cè)面絕熱。熱量守恒第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六

假設(shè)△t時間內(nèi)△x溫度升高，則其中c為比熱容（即單位質(zhì)量升高單位溫度所需熱量），m為質(zhì)量。24xx1x2△xA第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六Q流動熱量滿足傅立葉實驗定律：物體在無窮小時段dt內(nèi)流過一個無窮小面積ds的熱量dQ與物體溫度沿曲面ds法線方向?qū)?shù)成正比。其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，當(dāng)物體為均勻且各向同性時為常數(shù)，取“-”是因為熱量流向與溫度梯度方向相反（溫度梯度方向指溫度變化方向，指向標(biāo)量場增長最快的方向）。25第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六則△t時間內(nèi)由ox軸正向流入的熱量為26xx1x2△xA而△t時間內(nèi)由ox軸正向流出的熱量為第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六由核心等式有27xx1x2△xA（4）（4）式即為一維齊次熱傳導(dǎo)方程（其中a2=k/cp)。第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六若桿內(nèi)部有熱源，設(shè)熱源密度F（x，t）（單位時間內(nèi)單位體積放出熱量）。28（5）（5）式即為一維非齊次熱傳導(dǎo)方程。第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六同理有二維（薄片）及三維熱傳導(dǎo)方程29第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六熱傳導(dǎo)方程可統(tǒng)一表示為：30其中Δ為拉普拉斯算子，f=0時為齊次方程，f≠0時為非齊次方程。（注：擴(kuò)散情況也滿足此方程，此時為擴(kuò)散方程，u為濃度。）第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六泊松方程或拉普拉斯方程前兩類方程的特例，穩(wěn)定場情況，即u不隨時間變化。

（6）式即為拉普拉斯方程。

（6）

（7）式為非齊次拉普拉斯方程或泊松方程。（7）31第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六1.2定解條件

前面的方程反映了同一類物理過程（泛定方程）。

為了得到物理（數(shù)學(xué)）上的唯一確定解，需要引入定解條件。定解條件=初始條件+邊界條件（注：有時還需要其他條件，如不同媒質(zhì)界面處銜接條件，物理上的合理性條件等。）32

物理上，某個具體過程還與初始狀態(tài)和邊界上的約束情況相關(guān)；數(shù)學(xué)上，當(dāng)變量個數(shù)大于方程個數(shù)的時候，方程沒有唯一確定的解。第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件初始條件=無（描述穩(wěn)定狀態(tài)，與t無關(guān)）A、波動方程的初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度（一）初始條件33第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六和

是空間坐標(biāo)的函數(shù)例：34注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點處的情況。一根長為l的弦，兩端固定于0和l。在中點位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六（二）邊界條件定義：系統(tǒng)的物理量始終在邊界上具有的情況。A.第一類邊界條件即直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式。直接給出邊界值35常見的線性邊界條件分為三類：第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六弦振動方程：端點位置已知和36如：兩端固定的弦振動第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六37熱傳導(dǎo)方程：端點溫度已知如：兩端溫度恒定的熱傳導(dǎo)第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六38泊松方程（拉普拉斯方程）：邊界上函數(shù)值已知（注：由于與t無關(guān)，故邊界上函數(shù)值確定）第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六B.第二類邊界條件給出待求函數(shù)在邊界上的導(dǎo)數(shù)值39弦振動方程：邊界張力沿垂直方向分量已知熱傳導(dǎo)方程：邊界上的熱流量已知泊松方程（拉普拉斯方程）：邊界上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值已知第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六C.第三類邊界條件給出待求函數(shù)及其方向?qū)?shù)在邊界上的線性組合值40弦振動方程：熱傳導(dǎo)方程：泊松方程（拉普拉斯方程）：第四十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六注：邊界條件齊次與非齊次說明前述所有類型邊界條件中，當(dāng)u1(t)=u2(t)=0時，稱齊次邊