年11月一元二次方程100道計算題練習(附答案)(完整版)資料

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年11月一元二次方程100道計算題練習(附答案)（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）一元二次方程100道計算題練習1、2、3、4、5、（x+5）2=166、2（2x－1）－x（1－2x）=07、x2=648、5x2-=09、8（3-x）2–72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y）2+2（3y－1）=012、x+2x+3=013、x+6x－5=014、x－4x+3=015、x－2x－1=016、2x+3x+1=017、3x+2x－1=018、5x－3x+2=019、7x－4x－3=020、-x-x+12=021、x－6x+9=022、23、x2-2x-4=024、x2-3=4x25、3x2＋8x－3＝0（配方法）26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋1427、(x+1)(x+8)=-1228、2(x－3)2＝x2－929、－3x2＋22x－24＝030、（2x-1）2+3（2x-1）+2=031、2x2－9x＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x)33、(x＋2)2＝8x34、(x－2)2＝(2x＋3)235、36、38、39、40、補充練習：利用因式分解法解下列方程(x－2)2＝(2x-3)2x2-2x+3=0利用開平方法解下列方程4（x-3）2=25利用配方法解下列方程利用公式法解下列方程－3x2＋22x－24＝02x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?x＋1)2－3(x＋1)＋2＝0x（x＋1）－5x＝0.3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).應用題：1、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價一元，市場每天可多售2件，若商場平均每天盈利1250元，每件襯衫應降價多少元？2、兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍少32平方厘米，求大小兩個正方形的邊長.3、如圖，有一塊梯形鐵板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6m，CD=4m，AD=2m，現(xiàn)在梯形中裁出一內接矩形鐵板AEFG，使E在AB上，F(xiàn)在BC上，G在AD上，若矩形鐵板的面積為5m2，則矩形的一邊EF長為多少？4、如右圖，某小在長32米，區(qū)規(guī)劃寬20米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的3條小路，使其中兩條與AD平行，一條與AB平行，其余部分種草，若使草坪的面積為566米2，問小路應為多寬？5、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，商店想在月銷售成本不超過1萬元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？6.某工廠1998年初投資100萬元生產某種新產品，1998年底將獲得的利潤與年初的投資的和作為1999年初的投資，到1999年底，兩年共獲利潤56萬元，已知1999年的年獲利率比1998年的年獲利率多10個百分點，求1998年和1999年的年獲利率各是多少？思考：關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為。2、若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是3、如果，那么代數(shù)式的值4、五羊足球隊舉行慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？5、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？6、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？答案第二章一元二次方程備注：每題2.5分，共計100分，配方法、公式法、分解因式法，方法自選，家長批閱，錯題需在旁邊糾錯。1、2、3、X=-4或1x=1x=4或-2/34、5、（x+5）2=166、2（2x－1）－x（1－2x）=0X=-1或-9x=-1/2或-27、x2=648、5x2-=09、8（3-x）2–72=0X=8或-8x=x=0、610、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y）2+2（3y－1）=012、x+2x+3=0X=-2或5/3y=1/3或-1/3無解13、x+6x－5=014、x－4x+3=015、x－2x－1=0X=1或316、2x+3x+1=017、3x+2x－1=018、5x－3x+2=01/3或-11或-2/519、7x－4x－3=020、-x-x+12=021、x－6x+9=01或-3/73或-4322、23、x2-2x-4=024、x2-3=4x1或-125、3x2＋8x－3＝0（配方法）26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋1427、(x+1)(x+8)=-1228、2(x－3)2＝x2－929、－3x2＋22x－24＝030、（2x-1）2+3（2x-1）+2=0(2x-1+2)(2x-1+1)=02x(2x+1)=0x=0或x=-1/231、2x2－9x＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x)33、(x＋2)2＝8xb^2-4ac=81-4*2*8=173（x-5）+x(x-5)=0x^2+4x+4-8x=0x=（9+根號17）/4或(3+x)(x-5)=0x^2-4x+4=0（9-根號17）/4x=-3或x=5(x-2)^2=0x=234、(x－2)2＝(2x＋3)235、36、x^2-4x+4-4x^2-12x-9=0x(7x+2)=0(2t-1)^2=03x^2+16x+5=0x=0或x=-2/7t=1/2(x+5)(3x+1)=0x=-5或x=-1/337、38、39、(x-3)(4x-12+x)=0(2x-7)(3x-5)=0(2x-3)^2=121(x-3)(5x-12)=0x=7/2或x=5/32x-3=11或2x-3=-11x=3或x=12/5x=7或x=-440、(2x-13)(x-5)=0x=13/2或x=5補充練習：利用因式分解法解下列方程(x－2)2＝(2x-3)2(x-2)^2-(2x-3)^2=0x(x-4)=03x(x+1)-3(x+1)=0(3x-5)(1-x)=0x=0或x=4(x+1)(3x-3)=0x=5/3或x=1x=-1或x=1x2-2x+3=0(x-根號3)^2=0（x-5-4）^2=0x=根號3x=9七、利用開平方法解下列方程4（x-3）2=25(2y-1)^2=2/5（x-3）^2=25/43x+2=2根號6或3x+2=-22y-1=2/5或2y-1=-2/5x-3=5/2或x=-5/2根號6y=7/10或y=3/10x=11/2或x=1/2x=(2根號6-2)/3或x=-(2根號6+2)/3八、利用配方法解下列方程（x-5根號2/2）^2=21/2x^2-2x-4=0x^2-3/2x+1/2=0(x-7/2)^2=9/4x=(5根號2+根號42)/2(x-1)^2=5(x-3/4)^2=1/16x=5或x=2或x=(5根號2-根號42)/2x=1+根號5或x=1或x=1/2 x=1-根號5九利用公式法解下列方程－3x2＋22x－24＝02x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0b^2-4ac=1962x^2-7x+3=03x^2+10x+5=0x=6或4/3b^2-4ac=25b^2-4ac=40x=1/2或3x=(-5+根號10)/3或(-5-根號10)/3十．選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?x＋1)2－3(x＋1)＋2＝0（x+1-2）(x+1-1)=0(2x+1+3x-9)(2x+1-3x+9)=0(x-3)(x+1)=0x(x-1)=0x=8/5或10x=3或x=-1x=0或1(x+1)(2x-7)=0（x+3/2）^2=7/4x^2+x-6=0x=-1或7/2x=(-3+根號7)/2或(x+3)(x-2)=0(-3-根號7)/2x=-3或2x（x＋1）－5x＝0.3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).3x^2-17x+20=0x(x-4)=0x^2-9x+2=0(x-4)(3x-5)=0x=0或4b^2-4ac=73x=4或5/3x=(9+根號73)/2或(9-根號73)/2應用題：1、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價一元，市場每天可多售2件，若商場平均每天盈利1250元，每件襯衫應降價多少元？設每件襯衫應降價x元。

得

(40-x)(20+2x)=1250x=15答：應降價10元2、兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍少32平方厘米，求大小兩個正方形的邊長.設大正方形邊長x，小正方形邊長就位x/2+4，大正方形面積x2，小正方形面積（x/2+4）2，面積關系x2=2*（x/2+4）2-32，解方程得x1=16，x2=0(舍去)，故大正方形邊長16，小正方形邊長123、如圖，有一塊梯形鐵板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6m，CD=4m，AD=2m，現(xiàn)在梯形中裁出一內接矩形鐵板AEFG，使E在AB上，F(xiàn)在BC上，G在AD上，若矩形鐵板的面積為5m2，則矩形的一邊EF長為多少？解：（1）過C作CH⊥AB于H．

在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，

∴四邊形ADCH為矩形．

∴CH=AD=2m，BH=AB-CD=6-4=2m．

∴CH=BH．

設EF=x，則BE=x，AE=6-x，由題意，得

x（6-x）=5，

解得：x1=1，x2=5（舍去）

∴矩形的一邊EF長為1m．4、如右圖，某小在長32米，區(qū)規(guī)劃寬20米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的3條小路，使其中兩條與AD平行，一條與AB平行，其余部分種草，若使草坪的面積為566米2，問小路應為多寬？解：設小路寬為x米，

20x+20x+32x-2x2=32×20-566

2x2-72x+74=0

x2-36x+37=0

∴x1=18+√287（舍），x2=18-√287

∴小路寬應為18-√287米5、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，商店想在月銷售成本不超過1萬元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？解：銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，所以月銷售利潤為：

y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)，

∴y與x的函數(shù)解析式為：y=–10x2+1400x–40000．

要使月銷售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，

即：x2–140x+4800=0，

解得：x1=60，x2=80．

當銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷售單價成本為：

40×200=8000(元)；

由于8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元，所以銷售單價應定為每千克80元6.某工廠1998年初投資100萬元生產某種新產品，1998年底將獲得的利潤與年初的投資的和作為1999年初的投資，到1999年底，兩年共獲利潤56萬元，已知1999年的年獲利率比1998年的年獲利率多10個百分點，求1998年和1999年的年獲利率各是多少？解：設98年的年獲利率為x，那么99年的年獲利率為x+10%，

由題意得，

100x+100（1+x）（x+10%）=56．

解得：

x=0.2，x=-2.3（不合題意，舍去）．

∴x+10%=30%．

答：1998年和1999年的年獲利率分別是20%和30%．思考：1、關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為-2。2、若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k小于-13、如果，那么代數(shù)式的值x^3+2x^2-7=x^3+x^2-x+x^+x-1+1-7

=x*(x^2+x-1)+x^2+x-1-6

=x*0+0-6=-64、五羊足球隊舉行慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？設晚宴共有x人出席x(x-1)/2=990，得x=455、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？設共x人，則，每人有（x-1）張照片，

即：x(x-1)=90

可知：x=106、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？解：1、設其中一個的邊長為xcm，則另一個的邊長為5-xcm可得：

x^2+(5-x)^2=17

2x^2-10x+8=0

2(x-4)(x-1)=0

解得：x=4或x=1所以兩段和長度分別為4cm和16cm.

2、同樣，設其中一個的邊長為xcm，則另一個的邊長為5-xcm可得：

x^2+(5-x)^2=12

2x^2-10x+13=0

△=100-104=-4<0所以此方程無解，不可能！3、令一個正方形邊x,另一個為y

4*(x+y)=20

x+y=5

這里要求x^2+y^2最小

由于x^2+y^2>=(x+y)^2/2=25/2

最小面積為25/2

第08講一元二次方程的實際應用適用學科初中數(shù)學適用年級初中三年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）120分鐘知識點一元二次方程解應用題的步驟增長率問題公式面積問題利潤問題“每每”問題儲蓄問題教學目標掌握列方程解應用題的步驟和關鍵經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關系,建立方程模型解決問題的過程,認識方程模型的重要性,并總結運用方程解實際問題的重要性通過探究性學習,抓住問題的關鍵，揭示它的規(guī)律性，展示解題的簡潔性的數(shù)學美.教學重點列一元二次方程解決實際問題審題，從文字語言中挖掘有價值的信息.教學難點找出實際問題中的等量關系教學過程一、復習預習我們已經(jīng)學習了一元二次方程的定義和四種解法，下面我們一塊來復習一下：1.用直接開平方法解方程，得方程的根為（）A.B.C.D.2.方程的根是（）A．0B．1C．0，－1D．0，13.設的兩根為，且＞，則＝。4.已知關于的方程的一個根是－2，那么＝。5.＝今天我們將繼續(xù)學習列方程解應用題。大家先來看這樣一道題：某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,為了擴大銷售,增加利潤,盡量減少庫存,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施,經(jīng)調查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫降價1元,商場平均每天多售出2件,若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?在一次數(shù)學檢測中,趙亮對下道應用題的解答過程如下:解:設每件襯衫應降價x元,則每件所獲得的利潤為(40－x)元,但每天可多銷出2x件,每天可賣(20+2x)件,根據(jù)題意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200x2－30x+200=0解得:x2=20x2=10答:若商場每天要盈利1200元,每件應降價10元或20元.當試卷發(fā)下時,趙亮發(fā)現(xiàn)本題被扣去1分,他百思不得其解,為什么要扣去1分呢?你能幫趙亮同學找找原因嗎?當降價20元或10元時,每天都能盈利1200元,因要盡量減少庫存,在獲利相同條件下,降價愈多,銷售越快,才能滿足題目中的要盡量減少庫存的要求,故應選擇每件降價20元.因而列方程解應用題時應認真審題,不能漏掉任何一個條件，所以我們今天就來具體學習一下列方程解應用題。二、知識講解1．列一元二次方程解應用題的一般步驟是：“審、設、列、解、答”．(1)“審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關系．這一步是解決問題的基礎；(2)“設”是指設元，設元分直接設元和間接設元，所謂直接設元就是問什么設什么，間接設元雖然所設未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對列方程有利，因此間接設元也十分重要．恰當靈活設元直接影響著列方程與解方程的難易；(3)“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關系，再根據(jù)這個相等關系列出含有未知數(shù)的等式，即方程．找出相等關系列方程是解決問題的關鍵；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是書寫答案，應注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負數(shù)，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要進行檢驗．2.數(shù)與數(shù)字的關系:兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10＋個位數(shù)字三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100＋(十位數(shù)字)×10＋個位數(shù)字3.翻一番翻一番即表示為原量的2倍，翻兩番即表示為原量的4倍．4.增長率問題(1)增長率問題的有關公式：增長數(shù)=基數(shù)×增長率實際數(shù)=基數(shù)＋增長數(shù)(2)兩次增長，且增長率相等的問題的基本等量關系式為：原來的×(1＋增長率)增長期數(shù)=后來的m(1+x)2＝n(m＜n).如果是下降率則為：原來的×(1－增長率)下降期數(shù)=后來的m(1－x)2＝n(m＞n).5.經(jīng)濟問題常用的公式：（1）利潤=售價-進價；（2）售價=標價×折扣；（3）利潤率=利潤÷進價×100%.6.列方程解應用題的關鍵(1)審題是設未知數(shù)、列方程的基礎，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清它們之間的數(shù)量關系，尋求隱含的相等關系；(2)設未知數(shù)分直接設未知數(shù)和間接設未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關系正確選擇設未知數(shù)的方法和正確地設出未知數(shù)．考點/易錯點1要充分利用題設中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關系.考點/易錯點2由于一元二次方程通常有兩個根，為此要根據(jù)題意對兩根加以檢驗．即判斷或確定方程的根與實際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實際意義的.三、例題精析【例題1】【題干】恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.【答案】解:設這兩個月的平均增長率是x.，則根據(jù)題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解這個方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答:這兩個月的平均增長率是10%.【解析】這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.對于負的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.【變式練習】【題干】某農場去年種植了10畝地的南瓜，畝產量為2000，根據(jù)市場需要，今年該農場擴大了種植面積，并且全部種植了高產的新品種南瓜，已知南瓜種植面積的增長率是畝產量的增長率的2倍，今年南瓜的總產量為60000kg，求南瓜畝產量的增長率．【答案】解：設南瓜畝產量的增長率為，則種植面積的增長率為．根據(jù)題意，得．解這個方程，得，（不合題意，舍去）．答：南瓜畝產量的增長率為．【解析】根據(jù)增長后的產量=增長前的產量（1+增長率），設南瓜畝產量的增長率為x，則種植面積的增長率為2x，列出方程求解．【例題2】【題干】益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？【答案】解:根據(jù)題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解這個方程，得a1＝25，a2＝31.因為21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答:需要進貨100件，每件商品應定價25元.【解析】商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點,根據(jù)：每件盈利×銷售件數(shù)=總盈利額；其中，每件盈利=每件售價-每件進價,建立等量關系.【例題3】【題干】王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.（假設不計利息稅）【答案】解:設第一次存款時的年利率為x,則根據(jù)題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解這個方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能為負數(shù)，所以將x2≈－1.63舍去.答:第一次存款的年利率約是2.04%.【解析】儲蓄問題關鍵是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期數(shù)）,這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅.【例題4】【題干】某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?【答案】解：設每張賀年卡應降價x元則（0.3-x）（500+）=120解得：x=0.1答：每張賀年卡應降價0.1元．【解析】本題是“每每問題”，得到每降價x元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決本題的難點，根據(jù)利潤得到相應的等量關系是解決本題的關鍵．【變式練習】【題干】商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當每件商品售價為130元時，每天可銷售70件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件．據(jù)此規(guī)律，請回答：（1）當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？（2）在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600元？（提示：盈利＝售價－進價）【答案】解：（1）當每件商品售價為170元時，比每件商品售價130元高出40元，即（元），則每天可銷售商品30件，即（件）商場可獲日盈利為（元）（2）設商場日盈利達到1600元時，每件商品售價為元，則每件商品比130元高出元，每件可盈利元,每日銷售商品為（件）依題意得方程整理，得即解得答：每件商品售價為160元時，商場日盈利達到1600元．【解析】解與變化率有關的實際問題時：（1）注意變化率所依據(jù)的變化規(guī)律，找出所含明顯或隱含的等量關系；

（2）可直接套公式：原有量×（1+增長率）n=現(xiàn)有量，n表示增長的次數(shù)．【例題5】【題干】如圖，有一塊長80cm，寬60cm的硬紙片，在四個角各剪去一個同樣的小正方形，用剩余部分做成一個底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子.求剪去的小正方形的邊長.【答案】解：設截去的小正方形的邊長為cm，則整理，得解得因為，所以不合題意，舍去所以答：截去的小正方形的邊長為15cm【解析】用到的知識點是長方形的面積公式、解一元二次方程，注意把不合題意的解舍去．【例題6】【題干】一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是5，把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調后，所得的新兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù)?！敬鸢浮?3或32【解析】解：設原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為.根據(jù)題意，得整理后，得解方程，得當時，，兩位數(shù)為23；當時，，兩位數(shù)為32答：原來的兩位數(shù)為23或32四、課堂運用【基礎】1.為執(zhí)行“兩免一補”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費2500萬元，預計2021年投入3600萬元．設這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為，則下列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，然后用x表示2021年的投入，再根據(jù)“2021年投入3600萬元”可得出方程．2.某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？【答案】解：設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）當成一個數(shù)，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根為x1=10%，x2=-3.1因為增長率為正數(shù)，所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%．【解析】設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+x）2．3.印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起”．大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的的平方，另一隊猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能列出方程這個問題嗎？【答案】解：設總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：x=（x）2+12整理得：x2-64x+768=0【解析】找出等量關系.【鞏固】1.一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？【答案】解：設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解這個方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.【解析】求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關系，列出方程求解.2.讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？【答案】解：設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x－3.則根據(jù)題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個方程，得x＝5或x＝6.當x＝5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x＝6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答：周瑜去世的年齡為36歲.【解析】本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數(shù)字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真體會.烏魯木齊農牧區(qū)校舍改造工程初見成效，農牧區(qū)最漂亮的房子是學校．2005年市政府對農牧區(qū)校舍改造的投入資金是5786萬元，2007年校舍改造的投入資金是8058.9萬元，若設這兩年投入農牧區(qū)校舍改造資金的年平均增長率為，則根據(jù)題意可列方程為．【答案】【解析】本題可根據(jù)增長率的一般規(guī)律找到關鍵描述語，列出方程；增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量．【拔高】1.象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個選手各記1分，領司有四個同學統(tǒng)計了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實，有一位同學統(tǒng)計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.【答案】解：設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n－1)個選手比賽一局，共計n(n－1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統(tǒng)計了一次，因此實際比賽總局數(shù)應為n(n－1)局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分.顯然(n－1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答：參加比賽的選手共有45人.【解析】類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解.2.某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調查發(fā)現(xiàn)，如果甲種賀年卡的售價每降價0.1元，那么商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價每降價0.25元，那么商場平均每天可多售出34張．如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價的絕對量大？【答案】解：（1）商場要想平均每天盈利120元，甲種賀年卡應降價0.1元．（2）乙種賀年卡：設每張乙種賀年卡應降價y元，則：（0.75-y）（200+×34）=120即（-y）（200+136y）=120整理：得68y2+49y-15=0y=∴y≈-0.98（不符題意，應舍去）y≈0.23元答：乙種賀年卡每張降價的絕對量大．【解析】等量關系為：（原來每張賀年卡盈利-降價的價格）×（原來售出的張數(shù)+增加的張數(shù)）=120，把相關數(shù)值代入求得正數(shù)解即可．課程小結1.列一元二次方程解應用題是列一元一次方程、二元一次方程組解應用題的延續(xù)和發(fā)展，列方程解應用題就是先把實際問題抽象為方程模型，然后通過解方程獲得對實際問題的解決.2.列一元二次方程解應用題的關鍵是：找出未知量與已知量之間的聯(lián)系，從而將實際問題轉化為方程模型，要善于將普通語言轉化為代數(shù)式，在審題時，要特別注意關鍵詞語，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等等，此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關系等等.課后作業(yè)【基礎】1.某中學準備建一個面積為的矩形游泳池，且游泳池的寬比長短．設游泳池的長為，則可列方程（）A． B．C． D．【答案】A【解析】本題可根據(jù)矩形面積=長×寬，找出關鍵語來列出方程．2.某電腦公司2001年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率？【答案】解：設平均增長率為x則200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增長率為50%．【解析】設這個增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關系．3.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率?【答案】解：設這種存款方式的年利率為x則：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．【解析】設這種存款方式的年利率為x，根據(jù)利息=本金×利率×時間就可以建立等量關系，求出其解就可以了．4.某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內，銷售量（千克）隨銷售單價（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：．設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為（元），解答下列問題：（1）求與的關系式；（2）如果物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？【答案】解：（1），與的關系式為：．（2）當時，可得方程．解這個方程，得，根據(jù)題意，不合題意應舍去．當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元．【解析】（1）利用每千克銷售利潤×銷售量=總銷售利潤列出函數(shù)關系式，整理即可解答；

（2）利用配方法可求最值；

（3）把函數(shù)值代入，解一元二次方程解決問題．【鞏固】1.市政府計劃2年內將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率?【答案】解：設每年人均住房面積增長率為x,有題意得：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接開平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去．答：每年人均住房面積增長率應為20%．【解析】熟記增長率問題公式.2.某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價．據(jù)市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出（320-10a）件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%．如果商店計劃要獲利400元，則每件商品的售價應定為多少元？需要賣出這種商品多少件？

（每件商品的利潤=售價-進貨價）【答案】解：設每件商品的售價定為a元，

則（a-18）（320-10a）=400，

整理得a2-50a+616=0，

∴a1=22，a2=28

∵18（1+25%）=22.5，而28＞22.5

∴a=22．

賣出商品的件數(shù)為320-10×22=100．

答：每件商品的售價應定為22元，需要賣出這種商品100件．【解析】可根據(jù)關鍵語“若每件售價a元，則每件盈利（a-18）元，則可賣出（320-10a）件”，根據(jù)每件的盈利×銷售的件數(shù)=獲利，即可列出方程求解．春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區(qū)旅游，推出了如下收費標準：如果人數(shù)超過25如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元．如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元．某單位組織員工去天水灣風景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元．請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區(qū)旅游？【答案】解：設該單位這次共有名員工去天水灣風景區(qū)旅游．因為，所以員工人數(shù)一定超過25人．可得方程．整理，得，解得．當時，，故舍去；當時，，符合題意．答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區(qū)旅游．【解析】此類題目貼近生活，有利于培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決生活中實際問題的能力．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．【拔高】1.如圖（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度運動．（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進，經(jīng)過幾秒鐘，使△PCQ的面積等于12.6cm2．（友情提示：過點Q作DQ⊥CB，垂足為D，則：）【答案】解：（1）設x秒，點P在AB上，點Q在BC上，且使△PBQ的面積為8cm2．則：（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴經(jīng)過2秒，點P到離A點1×2=2cm處，點Q離B點2×2=4cm處，經(jīng)過4秒，點P到離A點1×4=4cm處，點Q離B點2×4=8cm處，所以它們都符合要求．（2）設y秒后點P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，點Q在CA上移動，且使CQ=（2y-8）cm，過點Q作DQ⊥CB，垂足為D，則有∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：AC==10∴DQ=則：（14-y）·=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即經(jīng)過7秒，點P在BC上距C點7cm處（CP=14-y=7），點Q在CA上距C點6cm處（CQ=2y-8=6），使△PCD的面積為12.6cm2．經(jīng)過11秒，點P在BC上距C點3cm處，點Q在CA上距C點14cm>10，∴點Q已超過CA的范圍，即此解不存在．∴本小題只有一解y1=7．【解析】（1）設經(jīng)過x秒鐘，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學模型．（2）設經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使△PCQ的面積等于12.6cm2．因為AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模．錯題總結錯題題號錯題比例錯題原因錯題知識點小結課堂運用課后作業(yè)一元二次方程知識點小結一元二