數據結構查找

數據結構課程的內容

2021/5/919.1基本概念9.2靜態(tài)查找表9.3動態(tài)查找表9.4哈希表第9章查找教材第8、11和12章省略，因《操作系統》課程會涉及。2021/5/929.1基本概念——若表中存在特定元素，稱查找成功，應輸出該記錄；——否則，稱查找不成功（也應輸出失敗標志或失敗位置）查找表查找查找成功查找不成功靜態(tài)查找動態(tài)查找關鍵字主關鍵字次關鍵字——由同一類型的數據元素（或記錄）構成的集合?！樵?Searching)特定元素是否在表中?！徊檎遥桓淖兗蟽鹊臄祿??！炔檎?，又改變（增減）集合內的數據元素?！涗浿心硞€數據項的值，可用來識別一個記錄

(預先確定的記錄的某種標志)

——可以唯一標識一個記錄的關鍵字例如“學號”例如“女”是一種數據結構——識別若干記錄的關鍵字2021/5/93（2）對查找表常用的操作有哪些？

查詢某個“特定的”數據元素是否在表中；查詢某個“特定的”數據元素的各種屬性；在查找表中插入一元素；從查找表中刪除一元素。

（3)有哪些查找方法？

查找方法取決于表中數據的排列方式;討論：（1）查找的過程是怎樣的？

給定一個值K，在含有n個記錄的文件中進行搜索，尋找一個關鍵字值等于K的記錄，如找到則輸出該記錄，否則輸出查找不成功的信息。例如查字典針對靜態(tài)查找表和動態(tài)查找表的查找方法也有所不同。“特定的”=關鍵字2021/5/94（4）如何評估查找方法的優(yōu)劣？明確：查找的過程就是將給定的K值與文件中各記錄的關鍵字項進行比較的過程。所以用比較次數的平均值來評估算法的優(yōu)劣。稱為平均查找長度（ASL：averagesearchlength）。其中：n是文件記錄個數；Pi是查找第i個記錄的查找概率（通常取等概率,即Pi=1/n）;Ci是找到第i個記錄時所經歷的比較次數。統計意義上的數學期望值物理意義：假設每一元素被查找的概率相同，則查找每一元素所需的比較次數之總和再取平均，即為ASL。顯然，ASL值越小，時間效率越高。2021/5/95針對靜態(tài)查找表的查找算法主要有：

9.2靜態(tài)查找表靜態(tài)查找表的抽象數據類型參見教材P216。一、順序查找（線性查找）二、折半查找（二分或對分查找）三、靜態(tài)樹表的查找四、分塊查找（索引順序查找）2021/5/96一、順序查找（Linearsearch，又稱線性查找）（1）順序表的機內存儲結構：typedefstruct{

ElemType*elem;

//表基址，0號單元留空。表容量為全部元素

intlength;

//表長，即表中數據元素個數}SSTable;順序查找：即用逐一比較的辦法順序查找關鍵字，這顯然是最直接的辦法。

對順序結構如何線性查找？見下頁之例或教材P216；對單鏈表結構如何線性查找？函數雖未給出，但也很容易編寫；只要知道頭指針head就可以“順藤摸瓜”；對非線性樹結構如何順序查找?可借助各種遍歷操作！2021/5/97（2）算法的實現：技巧：把待查關鍵字key存入表頭或表尾（俗稱“哨兵”），這樣可以加快執(zhí)行速度。例：若將待查找的特定值key存入順序表的首部（如0號單元），則順序查找的實現方案為：從后向前逐個比較！intSearch_Seq(SSTableST,KeyTypekey){

//在順序表ST中，查找關鍵字與key相同的元素；若成功，返回其位置信息，否則返回0

ST.elem[0].key=key;

//設立哨兵，可免去查找過程中每一步都要檢測是否查找完畢。當n>1000時，查找時間將減少一半。

for(i=ST.length;ST.elem[i].key!=key;--i);

//不要用for(i=n;i>0;--i)或for(i=1;i<=n;i++)

returni;

//若到達0號單元才結束循環(huán)，說明不成功，返回0值(i=0)。成功時則返回找到的那個元素的位置i。}//Search_Seq2021/5/98——返回特殊標志，例如返回空記錄或空指針。前例中設立了“哨兵”，就是將關鍵字送入末地址ST.elem[0].key使之結束并返回i=0。討論②查找效率怎樣計算？——用平均查找長度ASL衡量。討論①查不到怎么辦？討論③如何計算ASL？分析：查找第1個元素所需的比較次數為1；查找第2個元素所需的比較次數為2；……查找第n個元素所需的比較次數為n；總計全部比較次數為：1＋2＋…＋n=(1+n)n/2未考慮查找不成功的情況：查找哨兵所需的比較次數為n+1這是查找成功的情況若求某一個元素的平均查找次數，還應當除以n（等概率），即：ASL＝（1＋n）/2

，時間效率為O(n)2021/5/99二、折半查找（又稱二分查找或對分查找）優(yōu)點：算法簡單，且對順序結構或鏈表結構均適用。缺點：

ASL太長，時間效率太低。這是一種容易想到的查找方法。先給數據排序（例如按升序排好），形成有序表，然后再將key與正中元素相比，若key小，則縮小至右半部內查找；再取其中值比較，每次縮小1/2的范圍，直到查找成功或失敗為止。對順序表結構如何編程實現折半查找算法？

——見下頁之例，或見教材（P219）對單鏈表結構如何折半查找？

——無法實現！因全部元素的定位只能從頭指針head開始對非線性(樹)結構如何折半查找？

——可借助二叉排序樹來查找（屬動態(tài)查找表形式）。

如何改進？討論④順序查找的特點：2021/5/910②運算步驟：(1)low=1,high=11,mid=6，待查范圍是[1,11]；(2)若ST.elem[mid].key<key，說明key[mid+1,high]，則令：low=mid+1;重算mid＝(low+high)/2；.(3)若ST.elem[mid].key>

key，說明key[low,mid-1]，則令：high=mid–1;重算mid；(4)若ST.elem[mid].key=key，說明查找成功，元素序號=mid;結束條件：（1）查找成功：ST.elem[mid].key=key

（2）查找不成功：high<low

（意即區(qū)間長度小于0）解：①先設定3個輔助標志:

low,high,mid，折半查找舉例：Low指向待查元素所在區(qū)間的下界high指向待查元素所在區(qū)間的上界mid指向待查元素所在區(qū)間的中間位置

已知如下11個元素的有序表：

（0513192137566475808892）,請查找關鍵字為21

和85的數據元素。顯然有：mid=(low+high)/22021/5/911討論①若關鍵字不在表中，怎樣得知和停止？——典型標志是：當查找范圍的上界≤下界時停止查找。討論②二分查找的效率（ASL）1次比較就查找成功的元素有1個（20），即中間值；2次比較就查找成功的元素有2個（21），即1/4處（或3/4）處；3次比較就查找成功的元素有4個（22），即1/8處（或3/8）處…4次比較就查找成功的元素有8個（23），即1/16處（或3/16）處………則第m次比較時查找成功的元素會有（2m-1）個；為方便起見，假設表中全部n個元素＝2m-1個，此時就不討論第m次比較后還有剩余元素的情況了。全部比較總次數為1×20＋2×21＋3×22＋4×23…＋m×2m—1

＝推導過程2021/5/912三、分塊查找（索引順序查找）這是一種順序查找的另一種改進方法。先讓數據分塊有序，即分成若干子表，要求每個子表中的數值（用關鍵字更準確）都比后一塊中數值?。ǖ颖韮炔课幢赜行颍Ｈ缓髮⒏髯颖碇械淖畲箨P鍵字構成一個索引表，表中還要包含每個子表的起始地址（即頭指針）。索引表最大關鍵字起始地址2212138920334244382448605874498653第1塊第2塊第3塊224886例：2248861713特點：塊間有序，塊內無序2021/5/913查找步驟分兩步進行：①對索引表使用折半查找法（因為索引表是有序表）；②確定了待查關鍵字所在的子表后，在子表內采用順序查找法（因為各子表內部是無序表）；查找效率：ASL=Lb+Lw對索引表查找的ASL對塊內查找的ASLS為每塊內部的記錄個數，n/s即塊的數目例如當n=9，s=3時，ASLbs=3.5,而折半法為3.1,順序法為52021/5/914特點：一、二叉排序樹的定義二、二叉排序樹的插入與刪除三、二叉排序樹的查找分析四、平衡二叉樹9.3動態(tài)查找表表結構在查找過程中動態(tài)生成。要求：對于給定值key,若表中存在其關鍵字等于key的記錄，則查找成功返回；否則插入關鍵字等于key的記錄。典型的動態(tài)表———二叉排序樹2021/5/915一、二叉排序樹的定義（a）（b）練：下列2種圖形中，哪個不是二叉排序樹？----或是一棵空樹；或者是具有如下性質的非空二叉樹：

（1）左子樹的所有結點均小于根的值；（2）右子樹的所有結點均大于根的值；（3）它的左右子樹也分別為二叉排序樹。討論：對(a)中序遍歷后的結果是什么？2021/5/916二、二叉排序樹的查找、插入與刪除將數據元素構造成二叉排序樹的優(yōu)點：①查找過程與順序結構有序表中的折半查找相似，查找效率高；②中序遍歷此二叉樹，將會得到一個關鍵字的有序序列（即實現了排序運算）；③一個無序序列可以通過構造一棵二叉排序樹而變成一個有序序列，構造樹的過程即為對無序序列進行排序的過程。④如果查找不成功，能夠方便地將被查元素插入到二叉樹的葉子結點上，而且插入或刪除時只需修改指針而不需移動元素。注：若數據元素的輸入順序不同，則得到的二叉排序樹形態(tài)也不同！——這種既查找又插入的過程稱為動態(tài)查找。二叉排序樹既有類似于折半查找的特性，又采用了鏈表存儲，它是動態(tài)查找表的一種適宜表示。2021/5/9174524531290如果待查找的關鍵字序列輸入順序為：（24，53，45，45，12，24，90），2453451290查找成功，返回查找成功，返回討論1：二叉排序樹的插入和查找操作

則生成二叉排序樹的過程為：例：輸入待查找的關鍵字序列=（45，24，53，45，12，24，90）則生成的二叉排序樹形態(tài)不同：查找成功，返回查找成功，返回2021/5/918二叉排序樹的查找&插入算法如何實現？查找算法參見教材P228算法9.5（a）;插入算法參見教材P228算法9.5（b)_9.6;一種“二合一”的算法如下：2021/5/919BiTreeSearchBST（BiTreeT,KeyTypekey）{//若查找成功，則返回指向該數據元素結點的指針，否則返回空指針

if((!T)||EQ(key,T—>data.key))return(T)；

//查找結束

elseifLT(key,T—>data.key)//在左子樹中繼續(xù)查找

return(SearchBST(T—>lchild,key))；

elsereturn(SearchBST(T—>rchild,key))；

//在右子樹中繼續(xù)查找

}//SearchBST2021/5/920StatusSearchBST(BiTreeT,KeyTypekey,BiTreef,BiTree&p){

if(!T){p=f；returnFALSE；}//查找不成功

elseifEQ(key,T—>data.key){p=T；returnTRUE；}//查找成功

elseifLT(key,T—>data.key)returnSearchBST(T—>lchild,key,T,p);

//在左子樹中繼續(xù)查找

elsereturnSearchBST(T—>rchild,key,T,p);

//在右子樹中繼續(xù)查找}//SearchBST2021/5/921StatusInsertBST(BiTree&T,ElemTypee){if(!SearchBST(T,e.key,NULL,p))//查找不成功

{s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode))；

s—>data=e；s—>lchild=s—>rchild=NULL；//建立新結點

if(!p)T=s；//T為空樹

elseifLT(e.key,p—>data.key)p—>lchild=s；//被插結點*s為左孩子

elsep—>rchild=s；//被插結點*s為右孩子

returnTRUE；

}elsereturnFALSE；//樹中已有關鍵字相同的結點，不再插入}//InsertBST2021/5/922對于二叉排序樹，刪除樹上一個結點相當于刪除有序序列中的一個記錄，刪除后仍需保持二叉排序樹的特性。（對鏈表進行刪除操作是很方便的）討論2：二叉排序樹的刪除操作如何刪除一個結點？假設：*p表示被刪結點的指針；PL和PR

分別表示*P的左、右孩子指針；*f表示*p的雙親結點指針；并假定*p是*f的左孩子；則可能有三種情況：PR為*S的右子樹；SL為Q（*S的雙親結點）右孩子*p為葉子：

刪除此結點時，直接修改*f指針域即可；*p只有一棵子樹（或左或右）：令PL或PR為*f的左孩子即可；*p有兩棵子樹：情況最復雜→2021/5/923*p有兩棵子樹時，如何進行刪除操作？分析：設刪除前的中序遍歷序列為：….spPR….

//顯然p的直接前驅是s希望刪除p后，其它元素的相對位置不變。有兩種解決方法：法1：令*p的左子樹為*f的左子樹，*p的右子樹為*s的右子樹；//即FL=PL;FR=PR;法2：令*s代替*p//

*s為*p左子樹最右下的葉子見課本P230圖9.92021/5/924FCCLSSLQLPPRQPRFCCLSSLQLPPRQ法2:FCCLSSLQLPPRQ法1:例：請從下面的二叉排序樹中刪除結點P。SSL2021/5/925四、平衡二叉樹平衡二叉樹又稱AVL樹，它是具有如下性質的二叉樹：為了方便起見，給每個結點附加一個數字，給出該結點左子樹與右子樹的高度差。這個數字稱為結點的平衡因子balance。這樣，可以得到AVL樹的其它性質：即|左子樹深度-右子樹深度|≤1左、右子樹是平衡二叉樹；所有結點的左、右子樹深度之差的絕對值≤12021/5/926(a)平衡樹(b)不平衡樹例：判斷下列二叉樹是否AVL樹？任一結點的平衡因子只能?。?1、0

或

1；如果樹中任意一個結點的平衡因子的絕對值大于1，則這棵二叉樹就失去平衡，不再是AVL樹；對于一棵有n個結點的AVL樹，其高度保持在O(log2n)數量級，ASL也保持在O(log2n)量級。00011-1-120001-12021/5/927如果在一棵AVL樹中插入一個新結點，就有可能造成失衡，此時必須重新調整樹的結構，使之恢復平衡。我們稱調整平衡過程為平衡旋轉?，F分別介紹這四種平衡旋轉。平衡旋轉可以歸納為四類：

LL平衡旋轉

RR平衡旋轉

LR平衡旋轉

RL平衡旋轉2021/5/928若在A的左子樹的左子樹上插入結點，使A的平衡因子從1增加至2，需要進行一次順時針旋轉。(以B為旋轉軸）ABCABC1）LL平衡旋轉：AB2021/5/929若在A的右子樹的右子樹上插入結點，使A的平衡因子從-1增加至-2，需要進行一次逆時針旋轉。(以B為旋轉軸）2）RR平衡旋轉：ABCABCAB2021/5/930若在A的左子樹的右子樹上插入結點，使A的平衡因子從1增加至2，需要先進行逆時針旋轉，再順時針旋轉。(以插入的結點C為旋轉軸）ABCABABC3）LR平衡旋轉：ABC2021/5/931若在A的右子樹的左子樹上插入結點，使A的平衡因子從-1增加至-2，需要先進行順時針旋轉，再逆時針旋轉。(以插入的結點C為旋轉軸）4）RL平衡旋轉：ABABCABCABC2021/5/932013037024例：請將下面序列構成一棵平衡二叉排序樹：

（13，24，37，90，53）013037-113024-124-213需要RR平衡旋轉(繞B逆轉,B為根）090-124-137053190-237需要RL平衡旋轉(繞C先順后逆）037090053037090053

2021/5/9339.4哈希查找表一、哈希表的概念二、哈希函數的構造方法三、沖突處理方法四、哈希表的查找及分析2021/5/934一、哈希表的概念哈希表：即散列存儲結構。

散列法存儲的基本思想：建立關鍵碼字與其存儲位置的對應關系，或者說，由關鍵碼的值決定數據的存儲地址。優(yōu)點：查找速度極快（O(1)）,查找效率與元素個數n無關！例1：若將學生信息按如下方式存入計算機，如：將2001011810201的所有信息存入V[01]單元；將2001011810202的所有信息存入V[02]單元；……將2001011810231的所有信息存入V[31]單元。欲查找學號為2001011810216的信息，便可直接訪問V[16]！2021/5/935例2：

有數據元素序列(14，23，39，9，25，11)，若規(guī)定每個元素k的存儲地址H（k）＝k，請畫出存儲結構圖。（注：H（k）＝k稱為散列函數）解：根據散列函數H（k）＝k，可知元素14應當存入地址為14的單元，元素23應當存入地址為23的單元，……，對應散列存儲表（哈希表）如下：討論：如何進行散列查找？根據存儲時用到的散列函數H(k)表達式，迅即可查到結果！例如，查找key=9,則訪問H(9)=9號地址，若內容為9則成功；若查不到，應當設法返回一個特殊值，例如空指針或空記錄。

地址…9…11…14…232425…39…內點：空間效率低！2021/5/936選取某個函數，依該函數按關鍵字計算元素的存儲位置，并按此存放；查找時，由同一個函數對給定值k計算地址，將k與地址單元中元素關鍵碼進行比，確定查找是否成功。通常關鍵碼的集合比哈希地址集合大得多，因而經過哈希函數變換后，可能將不同的關鍵碼映射到同一個哈希地址上，這種現象稱為沖突。若干術語

哈希方法(雜湊法)

哈希函數(雜湊函數)

哈希表

(雜湊表)

沖突哈希方法中使用的轉換函數稱為哈希函數(雜湊函數)按上述思想構造的表稱為哈希表(雜湊表)

2021/5/937有6個元素的關鍵碼分別為：（14，23，39，9，25，11）。選取關鍵碼與元素位置間的函數為H(k)=kmod7通過哈希函數對6個元素建立哈希表：253923914沖突現象舉例：6個元素用7個地址應該足夠!H(14)=14%7=011H(25)=25%7=4H(11)=11%7=4有沖突！01234562021/5/938所以，哈希方法必須解決以下兩個問題：1）構造好的哈希函數（a）所選函數盡可能簡單，以便提高轉換速度；（b）所選函數對關鍵碼計算出的地址，應在哈希地址集中大致均勻分布，以減少空間浪費。2）制定一個好的解決沖突的方案查找時，如果從哈希函數計算出的地址中查不到關鍵碼，則應當依據解決沖突的規(guī)則，有規(guī)律地查詢其它相關單元。在哈希查找方法中，沖突是不可能避免的，只能盡可能減少。2021/5/939二、哈希函數的構造方法常用的哈希函數構造方法有：直接定址法除留余數法數字分析法平方取中法折疊法隨機數法

要求一：n個數據原僅占用n個地址，雖然散列查找是以空間換時間，但仍希望散列的地址空間盡量小。要求二：無論用什么方法存儲，目的都是盡量均勻地存放元素，以避免沖突。2021/5/940Hash(key)=a·key+b(a、b為常數)優(yōu)點：以關鍵碼key的某個線性函數值為哈希地址，不會產生沖突.缺點：要占用連續(xù)地址空間，空間效率低。

例：關鍵碼集合為{100，300，500，700，800，900}，選取哈希函數為Hash(key)=key/100，則存儲結構（哈希表）如下：01234567899008007005003001001、直接定址法2021/5/941Hash(key)=keymodp(p是一個整數)特點：以關鍵碼除以p的余數作為哈希地址。關鍵：如何選取合適的p？技巧：若設計的哈希表長為m，則一般取p≤m且為質數

（也可以是不包含小于20質因子的合數）。自練：自測卷簡答題第4小題2、除留余數法2021/5/942特點：某關鍵字的某幾位組合成哈希地址。所選的位應當是：各種符號在該位上出現的頻率大致相同。34705243491487348269634852703486305349805834796713473919例：有一組（例如80個）關鍵碼，其樣式如下：3、數字分析法討論：①第1、2位均是“3和4”，第3位也只有“

7、8、9”，因此，這幾位不能用，余下四位分布較均勻，可作為哈希地址選用。位號：①②③④⑤⑥⑦②

若哈希地址取兩位（因元素僅80個），則可取這四位中的任意兩位組合成哈希地址，也可以取其中兩位與其它兩位疊加求和后，取低兩位作哈希地址。2021/5/943特點：對關鍵碼平方后，按哈希表大小，取中間的若干位作為哈希地址。理由：因為中間幾位與數據的每一位都相關。例：2589的平方值為6702921，可以取中間的029為地址。5、折疊法特點：將關鍵碼自左到右分成位數相等的幾部分（最后一部分位數可以短些），然后將這幾部分疊加求和，并按哈希表表長，取后幾位作為哈希地址。適用于：每一位上各符號出現概率大致相同的情況。法1：移位法──將各部分的最后一位對齊相加。法2：間界疊加法──從一端向另一端沿分割界來回折疊后,最后一位對齊相加。例：元素42751896,用法1：427＋518＋96=1041

用法2：42751896—>724+518+69=13114、平方取中法2021/5/9446、隨機數法Hash(key)=random(key)(random為隨機函數)適用于：關鍵字長度不等的情況。造表和查找都很方便。①執(zhí)行速度（即計算哈希函數所需時間）；②關鍵字的長度；③哈希表的大小；④關鍵字的分布情況；⑤查找頻率。小結：構造哈希函數的原則：2021/5/945三、沖突處理方法常見的沖突處理方法有：開放定址法（開地址法）鏈地址法（拉鏈法）再哈希法（雙哈希函數法）建立一個公共溢出區(qū)2021/5/9461、開放定址法（開地址法）

設計思路：有沖突時就去尋找下一個空的哈希地址，只要哈希表足夠大，空的哈希地址總能找到，并將數據元素存入。具體實現：Hi=(Hash(key)+di)modm(1≤i<m)

其中：

Hash(key)為哈希函數

m為哈希表長度

di

為增量序列1，2，…m-1，且di=i

(1)線性探測法含義：一旦沖突，就找附近（下一個）空地址存入。2021/5/947關鍵碼集為{47，7，29，11，16，92，22，8，3}，設：哈希表表長為m=11；哈希函數為Hash(key)=keymod11；擬用線性探測法處理沖突。建哈希表如下：解釋：①47、7（以及11、16、92）均是由哈希函數得到的沒有沖突的哈希地址；012345678910477△▲△△例：291116922283②Hash(29)=7，哈希地址有沖突，需尋找下一個空的哈希地址：由H1=(Hash(29)+1)mod11=8，哈希地址8為空，因此將29存入。③

另外，22、8、3同樣在哈希地址上有沖突，也是由H1找到空的哈希地址的。其中3

還連續(xù)移動了兩次（二次聚集）2021/5/948線性探測法的優(yōu)點：只要哈希表未被填滿，保證能找到一個空地址單元存放有沖突的元素；線性探測法的缺點：可能使第i個哈希地址的