第06講雙曲線精練（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

第06講雙曲線(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．設(shè)點(diǎn)，，為動點(diǎn)，已知直線與直線的斜率之積為定值，點(diǎn)的軌跡是（

）A． B．C． D．【答案】C解：設(shè)動點(diǎn)，則，則，，，直線與直線的斜率之積為定值，，化簡可得，，故點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則點(diǎn)F到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C由題意得，所以雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即，又因?yàn)橛医裹c(diǎn)，所以點(diǎn)F到一條漸近線的距離.故選：C3．已知雙曲線兩條漸近線的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C由題設(shè)，漸近線與x軸夾角可能為30°或60°，當(dāng)，則，故；當(dāng)，則，故；所以雙曲線的離心率為2或.故選：C4．若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C設(shè)雙曲線、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，則，可得，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則.故選：C.5．過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B是中點(diǎn)，設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖，則，．所以，由雙曲線定義知，所以，從而，因?yàn)槭菆A切線，所以，所以，所以．故選：B．6．設(shè)分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于兩點(diǎn)，若為正三角形，則（

）A． B．的焦距為C．的離心率為 D．的面積為【答案】A由題可得，所以所以雙曲線定義可得，解得，則，解得，故A對B錯；所以，C錯誤；，D錯誤.故選：A7．設(shè)點(diǎn)是雙曲線的左?右兩焦點(diǎn)，點(diǎn)是的右支上的任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B設(shè)則，由題可知，∴，又，∴，可得，∴，即，∴，∴，又.故選：B.8．已知是雙曲線（）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，又∴，∴雙曲線的方程為，∵是雙曲線（）的右焦點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線的方程為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴

,∴，又，∴，∵為雙曲線左支上的動點(diǎn)，由雙曲線的性質(zhì)可得，∴，∴的最小值為-40，故選：B.二、多選題9．雙曲：與：（且）的（

）A．頂點(diǎn)相同 B．焦點(diǎn)相同C．離心率相同 D．漸近線相同【答案】CD由：，又因?yàn)榍?，所以，頂點(diǎn)不同，A錯，對：，，漸近線為，對：，，漸近線為，由此判斷B錯，CD正確.故選：CD10．已知雙曲線C：(a>0，b>0)與直線y=kx交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB，C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．若kPAkPB=，且C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)=2B．C的離心率為C．若PF1⊥PF2，則PF1F2的面積為1D．若PF1F2的面積為，則PF1F2為鈍角三角形【答案】ACD設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，則，且，兩式相減得，所以，因?yàn)?，所以，即，故雙曲線C的漸近線方程，因?yàn)榻裹c(diǎn)(c，0)到漸近線的距離為1，所以，，所以，，離心率為，故A正確，B錯誤．對于C，不妨設(shè)P在右支上，記則因?yàn)?，所以，解得?舍去），所以的面積為，故C正確；對于D，設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)?，所以，將帶入C：，得，即,由于對稱性，不妨取P得坐標(biāo)為(，2)，則，，因?yàn)樗浴螾F2F1為鈍角，所以PF1F2為鈍角三角形，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．已知、是等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則等于___________.【答案】解：∵雙曲線的方程為：，∴，得，由此可得、，焦距，∵，∴，即，①又∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，平方得，②①②，得，故答案為：.12．已知，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為______．【答案】如圖，因?yàn)?，所以AB⊥，設(shè)，則，由雙曲線定義可知：，所以，故，因?yàn)?，所以，解得：，所以，由勾股定理得：，即，解得：，又因?yàn)椋?，故漸近線方程為故答案為：四、解答題13．如圖，若是雙曲線的兩個焦點(diǎn).（1）若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離；（2）若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，試求的面積.【答案】（1）10或22；（2）.解：（1）是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，則，點(diǎn)M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16，設(shè)點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為，則由雙曲線定義可知，，解得或，即點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為或；（2）P是雙曲線左支上的點(diǎn)，則，則，而，所以，即，所以為直角三角形，，所以.14．解答下列兩個小題：（1）雙曲線：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，求的方程；（2）雙曲線實(shí)軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）.（1）由，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得．所以，雙曲線的方程為．（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的方程為．B能力提升1．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因?yàn)椋式獾茫瑒t，在中，，即，所以．故選：C．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為，且,曲線和橢圓有相同焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點(diǎn)，若，則（

）.A． B． C． D．【答案】B解：如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，半焦距為.∵橢圓的上頂點(diǎn)為，且.∴，∴，∴.∴.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，.∴，.∴.在中，由余弦定理可得：∴.兩邊同除以，得，解得：.∴,.故選：B3．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長為，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值時，該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為，所以，由雙曲線的定義可得：，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，如圖，與漸近線垂直時，取得最小值，因?yàn)?，所以，可得，所以雙曲線的漸近線方程為：，故選：D.4．已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)是平面內(nèi)一定點(diǎn).若對任意實(shí)數(shù)，直線與雙曲線的漸近線平行，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A∵雙曲線C：，∴雙曲線的漸近線方程為，∵對任意實(shí)數(shù)m，直線與雙曲線C的漸近線平行，∴直線與雙曲線的漸近線方程為平行，∴，∴，∴為，∵，∴，∴，∴的最小值為.故選：A.C綜合素養(yǎng)1．已知雙曲線的離心率等于，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)-4(1)依題又，所以，，故雙曲線的方程為.(2)由已知得，，設(shè)，于是，，因此，由于，所以當(dāng)時，取得最小值，為.2．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線是的一條漸近線，且虛軸長為(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)記的左右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線右支上，若的周長為，求的大小【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)殡p曲線的虛軸長為，所以，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，令雙曲線方程為，即，∴，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為