六年級下冊數(shù)學 同步拓展第十九講.行程問題 全國通用

/行程問題【知識、方法梳理】行程問題的三個根本量是距離、速度和時間。其互逆關系可用乘、除法計算,方法簡單,但應注意行駛方向的變化,按所行方向的不同可分為三種：〔1〕相遇問題；〔2〕相離問題；〔3〕追及問題。行程問題的主要數(shù)量關系是：距離=速度×時間。它大致分為以下三種情況：〔1〕相向而行：相遇時間=距離÷速度和〔2〕相背而行：相背距離=速度和×時間?！?〕同向而行：速度慢的在前,快的在后。追及時間=追及距離÷速度差在環(huán)形跑道上,速度快的在前,慢的在后。追及距離=速度差×時間。解決行程問題時,要注意充分利用圖示把題中的情節(jié)形象地表示出來,有助于分析數(shù)量關系,有助于迅速地找到解題思路。在行程問題中,與環(huán)行有關的行程問題的解決方法與一般的行程問題的方法類似,但有兩點值得注意：一是兩人同地背向運動,從第一次相遇到下次相遇共行一個全程；二是同地、同向運動時,甲追上乙時,甲比乙多行了一個全程。【典例精講】例題1：兩輛汽車同時從某地出發(fā),運送一批貨物到距離165千米的工地。甲車比乙車早到8分鐘,當甲車到達時,乙車還距工地24千米。甲車行完全程用了多少小時？解答此題的關鍵是正確理解“甲車比乙車早刀8分鐘,當甲車到達時,乙車還距工地24千米〞。這句話的實質就是：“乙48分鐘行了24千米〞。可以先求乙的速度,然后根據(jù)路程求時間。也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍,再求甲行完全程要用多少小時。解法一：乙車速度：24÷48×60=30〔千米/小時〕甲行完全程的時間：165÷30—EQ\F(48,60)=4.7〔小時〕解法二：48×〔165÷24〕—48=282〔分鐘〕=4.7〔小時〕答：甲車行完全程用了4.7小時。練習1：1、甲、乙兩地之間的距離是420千米。兩輛汽車同時從甲地開往乙地。第一輛每小時行42千米,第二輛汽車每小時行28千米。第一輛汽車到乙地立即返回。兩輛汽車從開出到相遇共用多少小時？2、A、B兩地相距900千米,甲車由A地到B地需15小時,乙車由B地到A地需10小時。兩車同時從兩地開出,相遇時甲車距B地還有多少千米？3、甲、乙兩輛汽車早上8點鐘分別從A、B兩城同時相向而行。到10點鐘時兩車相距112.5千米。繼續(xù)行進到下午1時,兩車相距還是112.5千米。A、B兩地間的距離是多少千米？例題2：兩輛汽車同時從東、西兩站相向開出。第一次在離東站60千米的地方相遇。之后,兩車繼續(xù)以原來的速度前進。各自到達對方車站后都立即返回,又在距中點西側30千米處相遇。兩站相距多少千米？從兩輛汽車同時從東、西兩站相對開出到第二次相遇共行了三個全程。兩輛汽車行一個全程時,從東站出發(fā)的汽車行了60千米,兩車走三個全程時,這輛汽車走了3個60千米。這時這輛汽車距中點30千米,也就是說這輛汽車再行30千米的話,共行的路程相當于東、西兩站路程的1.5倍。找到這個關系,東、西兩這站之間的距離也就可以求出來了。所以〔60×3+30〕÷1.5=140〔千米〕答：東、西兩站相距140千米。練習2：1、兩輛汽車同時從南、北兩站相對開出,第一次在離南站55千米的地方相遇,之后兩車繼續(xù)以原來的速度前進。各自到站后都立即返回,又在距中點南側15千米處相遇。兩站相距多少千米？2、兩列火車同時從甲、乙兩站相向而行。第一次相遇在離甲站40千米的地方。兩車仍以原速繼續(xù)前進。各自到站后立即返回,又在離乙站20千米的地方相遇。兩站相距多少千米？3、甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對開出。第一次相遇時離A站有90千米。然后各按原速繼續(xù)行駛,分別到達對方車站后立即沿原路返回。第二次相遇時在離A地的距離占A、B兩站間全程的65%。A、B兩站間的路程是多少千米？例題3：A、B兩地相距960米。甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)。假設相向而行,6分鐘相遇；假設同向行走,80分鐘甲可以追上乙。甲從A地走到B地要用多少分鐘？甲、乙兩人從同時同向出發(fā)到相遇,6分鐘共行的路程是960米,那么每分鐘共行的路程〔速度和〕是960÷6=160〔米〕；甲、乙兩人從同時同向出發(fā)到甲追上乙需用去80分鐘,甲追乙的路程是960米,每分鐘甲追乙的路程〔速度差〕是960÷80=12〔米〕。根據(jù)甲、乙速度和與差,可知甲每分鐘行〔160+12〕÷1=86〔米〕。甲從A地到B地要用960÷86=11EQ\F(7,43)〔分鐘〕,列算式為960÷[〔960÷6+960÷80〕÷2]=11EQ\F(7,43)〔分鐘〕答：甲從A地走到B地要用11EQ\F(7,43)分鐘。練習3：1、一條筆直的馬路通過A、B兩地,甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā),假設先跟鄉(xiāng)行走,12分鐘相遇；假設同向行走,8分鐘甲就落在乙后面1864米。A、B兩地相距1800米。甲、乙每分鐘各行多少米？2、父子二人在一400米長的環(huán)行跑道上散步。他倆同時從同一地點出發(fā)。假設想8背而行,2EQ\F(6,7)分鐘相遇；假設同向而行,26EQ\F(2,3)分鐘父親可以追上兒子。問：在跑道上走一圈,父子各需多少分鐘？3、兩條公路呈十字交叉。甲從十字路口南1350米處向北直行,乙從十字路口處向東直行。同時出發(fā)10分鐘后,二人離使字路口的距離相等；二人仍保持原來速度直行,又過了80分鐘,這時二人離十字路口的距離又相等。求甲、乙二人的速度。例題4：甲、乙、丙三人沿著湖邊散步,同時從湖邊一固定點出發(fā)。甲按順時針方向行走,乙與丙按逆時針方向行走。甲第一次遇到乙后1EQ\F(1,4)分鐘于到丙,再過3EQ\F(3,4)分鐘第二次遇到乙。乙的速度是甲的EQ\F(2,3),湖的周長為600米,求丙的速度。甲第一次與乙相遇后到第二西與乙相遇,剛好共行了一圈。甲、乙的速度和為600÷〔1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)〕=120米/分。甲、乙的速度分別是：120÷〔1+EQ\F(2,3)〕=72〔米/分〕,120—72=48〔米/分〕。甲、丙的速度和為600÷〔1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)+1EQ\F(1,4)〕=96〔米/分〕,這樣,就可以求出丙的速度。列算式為甲、乙的速度和：600÷〔1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)〕=120〔米/分〕甲速：120÷〔1+EQ\F(2,3)〕=72〔米/分〕乙速：120—72=48〔米/分〕甲、丙的速度和：600÷〔1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)+1EQ\F(1,4)〕=96〔米/分〕丙的速度：96—72=24〔千米/分〕答：丙每分鐘行24米。練習4：1、甲、乙、丙三人環(huán)湖跑步。同時從湖邊一固定點出發(fā),乙、丙兩人同向,甲與乙、丙兩人反向。在甲第一次遇到乙后1EQ\F(1,4)分鐘第一次遇到丙；再過3EQ\F(3,4)分鐘第二次遇到途。甲速與乙速的比為3：2,湖的周長為2019米,求三人的速度。2、兄、妹2人在周長為30米的圓形小池邊玩。從同一地點同時背向繞水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他們第10次相遇時,勱還要走多少米才能歸到出發(fā)點？3、如圖34-1所示,A、B是圓的直徑的兩端,小張在A點,小王在B點,同時出發(fā)反向而行,他們在C點第一次相遇,C點離A點80米；在D點第二次相遇,D點離B點60米。求這個圓的周長。例題5：甲、乙兩人在同一條橢圓形跑道上做特殊訓練。他們同時從同一地點出發(fā),沿相反方向跑。每人跑完第一圈到達出發(fā)點后,立即回頭加速跑第二圈,跑第一圈時,乙的速度是甲的EQ\F(2,3),甲跑第二圈時的速度比第一圈提高了EQ\F(1,3),乙跑第二圈時速度提高了EQ\F(1,5)。甲、乙兩人第二次相遇點距第一次相遇點190米。這條橢圓形跑道長多少米？根據(jù)題意畫圖34-2：甲、乙從A點出發(fā),沿相反方向跑,他們的速度比是1：EQ\F(2,3)=3：2。第一次相遇時,他們所行路程比是3：2,把全程平均分成5份,那么他們第一次相遇點在B點。當甲A點時,乙又行了2÷3×2=1EQ\F(1,3)。這時甲反西骯而行,速度提高了EQ\F(1,3)。甲、乙速度比為[3×〔1+EQ\F(1,3)〕：2]=2：1,當乙到達A點時,甲反向行了〔3—1EQ\F(1,3)〕×2=3EQ\F(1,3)。這時乙反向而行,甲、乙的速度比變成了[3×〔1+EQ\F(1,3)〕]：[2×〔1+EQ\F(1,5)〕]=5：3。這樣,乙又行了〔5—3EQ\F(1,3)〕×EQ\F(3,5+3)=EQ\F(5,8),與甲在C點相遇。B、C的路程為190米,對應的份數(shù)為3—EQ\F(5,8)=2EQ\F(3,8)。列式為1：EQ\F(2,3)=3：22÷3×2=1EQ\F(1,3)[3×〔1+EQ\F(1,3)〕：2]=2：1〔3—1EQ\F(1,3)〕×2=3EQ\F(1,3)[3×〔1+EQ\F(1,3)〕]：[2×〔1+EQ\F(1,5)〕]=5：3〔5—3EQ\F(1,3)〕×EQ\F(3,5+3)=EQ\F(5,8)190÷〔3-EQ\F(5,8)〕×5=400〔米〕答：這條橢圓形跑道長400米。練習5：1、小明繞一個圓形長廊游玩。順時針走,從A處到C處要12分鐘,從B處到A處要15分鐘,從C處到B處要11分鐘。從A處到B處需要多少分鐘〔如圖34-3所示〕？2、摩托車與小汽車同時從A地出發(fā),沿長方形的路兩邊行駛,結果在B地相遇。B地與C地的距離是4千米。且小汽車的速度為摩托車速度的EQ\F(2,3)。這條長方形路的全長是多少千米〔如圖34-4所示〕？3、甲、乙兩人在圓形跑道上,同時從某地出發(fā)沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍,他們第一次與第二次相遇地點之間的路程是100米。環(huán)形跑道有多少米？例題6：繞湖的一周是24千米,小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。小王以每小時4千米速度走1小時后休息5分鐘,小張以每小時6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？小張的速度是每小時6千米,50分鐘走5千米,我們可以把他們出發(fā)后的時間與行程列出下表：小王時間1小時5分2小時10分3小時15分行程4千米8千米12千米小張時間1小時2小時3小時行程5千米10千米15千米12+15=27,比24大,從上表可以看出,他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間。出發(fā)后2小時10分,小張已走了10+5÷〔50÷10〕=11〔千米〕,此時兩人相距24—〔8+11〕=5〔千米〕。由于從此時到相遇以不會再休息,因此共同走完這5千米所需的時間是5÷〔4+6〕=0.5〔小時〕,而2小時10分+0.5小時=2小時40分。小張50分鐘走的路程：6÷60×50=5〔千米〕小張2小時10分后共行的路程：10+5÷〔50÷10〕=11〔千米〕兩人行2小時10分后相距的路程：24—〔8+11〕=5〔千米〕兩人共同行5千米所需時間：5÷〔4+6〕=0.5〔小時〕相遇時間：2小時10分+0.5小時=2小時40分練習6：1、在400米環(huán)行跑道上,A,B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A,B兩點同時出發(fā),按逆時針方向跑步,甲每秒行5米,乙每秒行4米,每人跑100米都要停留10秒鐘。那么甲追上乙需要多少秒？2、一輛汽車在甲、乙兩站之間行駛。往、返一次共用去4小時。汽車去時每小時行45千米,返回時每小時行駛30千米,那么甲、乙兩站相距多少千米？3、龜、兔進行10000米跑步比賽。兔每分鐘跑400米,龜每分鐘跑80米,兔每跑5分鐘歇25分鐘,誰先到達終點？答案練1420×2÷〔42+28〕＝12小時900÷15×【15－900÷〔900÷15+900÷10〕】＝540千米甲、乙兩車的速度和：112.5×2÷〔13－10〕＝75千米B兩地的距離：75×〔10－8〕+112.5＝262.5千米練2〔55×3－15〕÷1.5＝100千米40×3－20＝100千米90×3－〔1+1－65％〕＝200千米練3【1800÷12－〔1864－1800〕÷8】÷2＝71米【1800÷12+〔1864－1800〕÷8】÷2＝79米400÷【〔400÷2EQ\F(6,7)+400÷26EQ\F(2,3)〕÷2】＝5EQ\F(5,31)分400÷【〔400÷2EQ\F(6,7)－400÷26EQ\F(2,3)〕÷2】＝6EQ\F(2,5)分速度和：1350÷10＝135米/分速度差：1350÷〔10+80〕＝15米/分甲速：〔135+15〕÷2＝75米/分乙速：〔135－15〕÷2＝