現(xiàn)代控制理論離散

現(xiàn)代控制理論離散第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號(hào)、輸出量等都是離散信息；局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對(duì)象所傳送的信號(hào)、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送處理離散信號(hào)，這時(shí)，連續(xù)部分在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)才是有用信息，故需將連續(xù)部分離散化；為研究方便，不論完全或局部的離散系統(tǒng)，均假定采樣是等間隔的；在采樣間隔內(nèi)，其變量均保持常值第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述經(jīng)典控制理論中，線性離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是用標(biāo)量差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來描述的。線性定常離散系統(tǒng)差分方程一般形式為式中表示時(shí)刻，為采樣周期；為時(shí)刻的輸出量，

為時(shí)刻的輸入量；是與系統(tǒng)特性有關(guān)的常系數(shù)。第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述初始條件為零時(shí)，離散函數(shù)的z變換關(guān)系為對(duì)式(1)進(jìn)行z變換，整理為G(z)稱為脈沖傳遞函數(shù)第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述G(Z)稱為脈沖傳遞函數(shù)。顯見G(z)與在形式上是相同的，故連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立方法，對(duì)離散系統(tǒng)是同樣適用的引入中間變量Q(z)，則有第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述定義如下一組狀態(tài)變量：于是第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述利用z反變換關(guān)系可得第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述其矢量-矩陣形式為第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述簡(jiǎn)記為式中G為系統(tǒng)矩陣，h、G是能控標(biāo)準(zhǔn)形。由此可見離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了(k+1)T時(shí)刻的狀態(tài)與kT時(shí)刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)系；離散系統(tǒng)輸出方程描述了kT時(shí)刻的輸出量與時(shí)刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)進(jìn)一步可推廣到MIMO系統(tǒng)（G,H,C,D）第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日10例離散系統(tǒng)的差分方程為試寫出該離散系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述。解由差分方程寫出相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)：于是直接寫出它的一個(gè)狀態(tài)空間描述（標(biāo)準(zhǔn)I型）為這里

，

，

，

，

第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化1、離散化的必要性計(jì)算機(jī)所需要的輸入和輸出信號(hào)是數(shù)字式的，時(shí)間上是離散的；當(dāng)采樣周期極短時(shí)，離散系統(tǒng)可近似地用連續(xù)系統(tǒng)特性來描述第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日2、離散化方法：(采樣器+保持器)二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化零階保持器：將離散信號(hào)r*(t)轉(zhuǎn)為階梯信號(hào)u(t)采樣器：將連續(xù)信號(hào)r(t)調(diào)制成離散信號(hào)r*(t)。第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化3、三點(diǎn)基本假設(shè)離散方式是普通的周期性采樣采樣是等間隔進(jìn)行的，采樣周期為T；采樣脈沖寬度遠(yuǎn)小于采樣周期，因而忽略不計(jì)；在采樣間隔內(nèi)函數(shù)值為零值采樣周期T的選擇滿足香農(nóng)采樣定理離散函數(shù)可以完滿地復(fù)原為連續(xù)函數(shù)的條件為

或，其中為采樣頻率，為連續(xù)函數(shù)頻譜的上限頻率保持器為零階保持器第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化4、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化模型離散化模型為：其中：線性定常系統(tǒng)：第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化4、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化模型推導(dǎo)過程：直接從定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解中進(jìn)行離散化設(shè)代入上式中得到：第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化4、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化模型于是可得第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日17例：請(qǐng)建立下列連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)采樣周期為T時(shí)的離散化模型。[解]：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：所以：第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二、連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化5、近似離散化模型離散化方程的近似形式為：用差商代替微商其中：G(T)、H(T)、C、D為常矩陣：推導(dǎo)過程：仿導(dǎo)數(shù)定義，即用第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日三、線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析1、遞推法(迭代法)適合于線性定常和時(shí)變系統(tǒng)給定k=0時(shí)的初始狀態(tài)x(0)及任意時(shí)刻u(k)，由迭代法第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日三、線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析1、遞推法(迭代法)解的表達(dá)式的狀態(tài)軌跡是狀態(tài)空間中一條離散軌跡線。與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)的解相似。解的第一部分只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，是由起始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)分量。第二部分是由輸入的各次采樣信號(hào)引起的強(qiáng)迫分量，其值與控制作用u的大小、性質(zhì)及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)在輸入引起的響應(yīng)中，第k個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)只取決于所有此刻前的輸入采樣值，與第k個(gè)時(shí)刻的輸入采樣值無關(guān)第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日三、線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析1、遞推法(迭代法)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對(duì)照，在離散時(shí)間系統(tǒng)中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義為，有利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，解可寫成：第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日三、線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2、Z變換法離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程：對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z變換：對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z反變換第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日三、線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2、Z變換法比較遞推法和Z變換法，由解的唯一性第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日24求該離散系統(tǒng)在單位階躍輸入下狀態(tài)方程的解。[例]：式中：給定初始狀態(tài)為：已知定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為[解]：1）迭代法由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以：第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日25由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換為：將G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z變換式有:第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日26整理得：上式Z反變換有：第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日四、離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性1、離散系統(tǒng)的能控性對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)若存在控制序列{u(0),u(1),…,u(l-1)}(ln)能將某個(gè)初始狀態(tài)x(0)=x0在第l步上到達(dá)零態(tài)，即x(l)＝0，則稱此狀態(tài)是完全能控的。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日四、離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性1、離散系統(tǒng)的能控性離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣滿秩即：第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日四、離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性2、離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)如果根據(jù)有限個(gè)采樣周期內(nèi)測(cè)量的y(0)，y(1)，…，y(l)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x0

，則稱x0為能觀測(cè)狀態(tài)。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日四、離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性2、離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是其能觀測(cè)性判別矩陣滿秩即：第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日四、離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3、采樣周期對(duì)離散化系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的影響思考：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性是否發(fā)生變化第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日32[例]：已知連續(xù)系統(tǒng)：是狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的。請(qǐng)寫出其離散化方程，并確定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測(cè)的采樣周期T的范圍。[解]：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：所以：第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)，則能觀測(cè)判別陣的行列式非零，即：聯(lián)立上2式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測(cè)，T必須滿足：第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日四、離散系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性3、采樣周期對(duì)離散化系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性的影響對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測(cè)的，則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測(cè)的對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測(cè)的，則其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測(cè)的離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測(cè)性，取決于采樣周期T的選擇第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日五、線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對(duì)稱矩陣Q，從以下方程中解出實(shí)對(duì)稱陣P，然后驗(yàn)證P是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的。第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日五、線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，都存在對(duì)稱正定矩陣P，使得且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是第三十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日37試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)為漸近