電磁場與電磁波時變電磁場

電磁場與電磁波時變電磁場1第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日本章內(nèi)容

4.1

波動方程

4.2電磁場的位函數(shù)

4.3電磁能量守恒定律

4.4惟一性定理

4.5時諧電磁場2第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.1波動方程在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有無源區(qū)的波動方程波動方程——二階矢量偏微分方程，揭示電磁場的波動性。

麥克斯韋方程——

一階矢量偏微分方程組，描述電場與磁場間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。（較復雜）

麥克斯韋方程組波動方程。（較簡單）

問題的引入電磁波動方程3第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日同理可得

推證電磁場波動方程在無源空間中，。設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有4第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日在直角坐標系中，波動方程可以分解成三個標量方程，每個方程只含有一個方向上的場分量。

波動方程的解是在空間中沿一個特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問題都可歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件下，求解波動方程的解。5第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.2電磁場的位函數(shù)

討論內(nèi)容位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的定義位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的微分方程6第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。

引入位函數(shù)的意義時變電磁場中位函數(shù)的定義電磁場的矢量位電磁場的標量位7第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

位函數(shù)的不唯一性滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個電磁場問題。即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。

原因：未規(guī)定的散度。為任意標量函數(shù)8第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫侖規(guī)范條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲規(guī)范條件，即

位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性（不唯一性）的原因就是沒有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。9第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

位函數(shù)滿足的微分方程10第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日同樣達郎貝爾方程11第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日①以上方程是在應(yīng)用“洛侖茲條件”下所得到的。②位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解；③解的物理意義非常清楚，明確反映出電磁波具有有限傳播速度；④矢量位只決定于J，標量位只決定于ρ，這對求解方程特別有利。⑤電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標量位的解也不相同，但最終得到的電磁場矢量E、H是相同的。注意：12第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日靜態(tài)場與時變場中位函數(shù)的比照靜態(tài)場（靜電場、恒定磁場）時變電磁場特點：電場、磁場相互獨立特點：電場、磁場是一個整體矢量磁位標量電位庫侖規(guī)范電磁場的矢量位電磁場的標量位洛侖茲規(guī)范泊松方程達郎貝爾方程13第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.3電磁能量守恒定律

討論內(nèi)容

能流密度矢量S

電磁能量守恒原理

坡印廷矢量及其特點

電磁能量的流動14第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日電磁能量的定向流動形成“能流”，類似于“水流”。電磁能量的流動定性分析：15第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日電場能量密度：磁場能量密度：電磁場能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動。定量分析：16第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日能流密度矢量又稱“坡印廷矢量”，用表示，其單位為W/m2(瓦/米2)。坡印廷矢量=能流密度矢量=功率密度矢量為了描述能量的流動狀況，引入“能流密度矢量”，其方向表示能量的流動方向，其大小表示“單位時間”內(nèi)穿過與能量流動方向相垂直的“單位面積”的能量。能流密度矢量17第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日進入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量

電磁能量守恒關(guān)系（定性描述）：電磁能量守恒原理—坡印廷定理前提假設(shè)：假設(shè)閉合曲面S包圍的體積V中無外加源，其中媒質(zhì)是線性和各向同性的，且參數(shù)不隨時間變化。18第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日其中：——單位時間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量?！?/p>

單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所做的功；在導電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率?！?/p>

通過曲面S進入體積V的電磁功率。積分形式：微分形式：坡印廷定理（能量守恒原理的數(shù)學表示）：19第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當參數(shù)都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到由

推證20第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面S進入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。21第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向

——電磁能量傳輸?shù)姆较虻拇笮?/p>

——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）22第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

S(r,t)=E(r,t)H(r,t)

由于式中的E(r,t)和H(r,t)都是瞬時值，所以能流密度S(r,t)也是瞬時值，只有當E(r,t)和H(r,t)同時達到最大值時，S(r,t)才能達到最大。若某一時刻，E(r,t)或H(r,t)為零，則S(r,t)=0。坡印廷矢量的特點S既垂直于E也垂直于H，又因為E和H自身也是相互垂直的，因此，S、H、

E三者是相互垂直，且成右手螺旋關(guān)系。23第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日例4.3.1同軸線的內(nèi)導體半徑為a、外導體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導體間的電壓為U，導體中流過的電流為I。（1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當導體的電導率σ為有限值時，計算通過內(nèi)導體表面進入每單位長度內(nèi)導體的功率。同軸線24第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日解：（1）在內(nèi)外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導體之間的電場和磁場分別為內(nèi)外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量25第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日電磁能量在內(nèi)外導體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）26第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（2）當導體的電導率σ為有限值時，導體內(nèi)部存在沿電流方向的電場內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導體表面外側(cè)的電場為內(nèi)磁場則仍為內(nèi)導體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）27第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日式中是單位長度內(nèi)導體的電阻。由此可見，進入內(nèi)導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進入每單位長度內(nèi)導體的功率為以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，導體僅起著定向引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）28第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，如果給定t＝0時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在t

0時，給定邊界面S上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在t>0時，區(qū)域V內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題29第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

惟一性定理的證明

利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零；在邊界面S上電場強度的切向分量為零或磁場強度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程令30第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以由于場的初始值為零，將上式兩邊對t積分，可得根據(jù)和的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為31第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負的，要使得積分為零，必有（證畢）即惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。

32第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.5時諧電磁場

復矢量的麥克斯韋方程

時諧電磁場的復數(shù)表示

復電容率和復磁導率時諧場的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量33第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日時諧電磁場的概念如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。

研究時諧電磁場具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時諧電磁場。

任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。4.5.1時諧電磁場的復數(shù)表示34第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日時諧電磁場可用復數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題的分析得以簡化。

設(shè)是一個以角頻率隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場或者磁場，也可以是電荷或電流等物理量，它的時域表達式（即它與時間的關(guān)系）如下：其中時間因子空間相位因子利用歐拉公式式中的A0為振幅、為與坐標有關(guān)的相位因子。實數(shù)表示法或瞬時表示法（時域形式）復數(shù)表示法復振幅時諧電磁場的復數(shù)表示35第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日復數(shù)形式只是一種數(shù)學表示方式，不代表真實的場。按照此方法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場強度為

有關(guān)復數(shù)表示的進一步說明復矢量真實場是復數(shù)式的實部，即瞬時表達式（時域表達式）。由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有關(guān)的部分就可表示復矢量。36第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日例4.5.1

將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以37第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日（2）因為故所以38第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日

例4.5.2

已知電場強度復矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量總結(jié)：

電磁場時域形式電磁場復數(shù)形式

39第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.5.2復矢量的麥克斯韋方程（麥克斯韋方程的復數(shù)形式）麥克斯韋方程組的標準時域形式其中：均為時域形式（瞬時表達形式），即40第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日以方程為例，推導Maxwell方程的復數(shù)形式。將代入上式，可得將、與交換次序，得上式對任意t

均成立。令t＝0，得同理，可獲得其它3個方程的復數(shù)形式41第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的時域關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復矢量之間關(guān)系。從而，得到復數(shù)形式的麥克斯韋方程。略去“.”和下標m42第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日實際的介質(zhì)都存在損耗：

導電媒質(zhì)——當電導率有限時，存在歐姆損耗。

電介質(zhì)——受到極化時，可能存在電極化損耗。

磁介質(zhì)——受到磁化時，可能存在磁化損耗。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3復電容率（介電常數(shù)）和復磁導率

導電媒質(zhì)的“等效復介電常數(shù)”（復電容率）其中稱為導電媒質(zhì)的等效復介電常數(shù)或復電容率。

對于介電常數(shù)為、電導率為的導電媒質(zhì)，有43第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日電介質(zhì)的等效復介電常數(shù)同時存在電極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)磁介質(zhì)的復磁導率

對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為等效復介電常數(shù)或復電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，等效復介電常數(shù)為

對于磁性介質(zhì)，復磁導率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。44第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日損耗角正切導電媒質(zhì)導電性能的相對性電介質(zhì)導電媒質(zhì)磁介質(zhì)——

弱導電媒質(zhì)和良絕緣體——

一般導電媒質(zhì)——

良導體

工程上通常用損耗角正切來表示媒質(zhì)的損耗特性，其定義為復介電常數(shù)或復磁導率的虛部與實部之比，即有

導電媒質(zhì)的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導電媒質(zhì)具有不同的導電性能。45第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日導電媒質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4亥姆霍茲方程

在時諧時情況下，將、，即可得到復矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時形式復數(shù)形式46第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.5.5時諧場的位函數(shù)

在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復數(shù)形式。洛侖茲條件達朗貝爾方程瞬時形式復數(shù)形式位函數(shù)定義47第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

注意：①“二次式”本身沒有復數(shù)形式，只有時域形式；②其中的場量必須是實數(shù)形式（即時域形式）才有意義，不能將復數(shù)形式的場量E、H直接代入公式計算。必須先將E、H轉(zhuǎn)換成時域形式后，再代入相應(yīng)公式計算。電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為“二次式”。瞬時形式48第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日二次式的時間平均值在時諧電磁場中，常常要關(guān)心二次式在一個時間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復矢量（矢量的復數(shù)形式）計算，有49第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日則平均能流密度矢量為如果電場和磁場都用復數(shù)形式給出，即有時間平均值與時間無關(guān)例如：某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數(shù)形式給出50第五十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期日具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他時變電磁場；而只適用于時諧電磁場。

在中，和都是實數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個瞬時的取值；而