2022屆高考數(shù)學應考寶典三課本回扣篇三角函數(shù)

1.角的概念、象限角的概念、終邊相同的角的表示（1）終邊與終邊相同（終邊在終邊所在的射線上）=+2k(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角

-1825°的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是

，合

弧度.(2)終邊與終邊共線（終邊在終邊所在的直線上）=+k(k∈Z).(3)終邊與終邊關于x軸對稱=-+2k(k∈Z).(4)終邊與終邊關于y軸對稱=-+2k(k∈Z).-25°

第5講三角函數(shù)、三角恒等變換、解三解形(5)終邊與終邊關于原點對稱=++2k(k∈Z).(6)終邊在x軸上的角可表示為=k,k∈Z;終邊在y軸上的角可表示為k∈Z;終邊在坐標軸上的角可表示為k∈Z.2.與的終邊關系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若的第二象限角，則是第

象限角.3.弧長公式：l=||R，扇形面積公式：

1弧度（1rad）≈57.3°.如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.一、三

答案

2cm24.任意角的三角函數(shù)的定義：設是任意一個角，P（x,y）是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是那么sin=costan=(x≠0),三角函數(shù)值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關.如（1）已知角的終邊經(jīng)過點P（5，-12），則sin+cos的值為

.(2)設是第三、四象限角，sin=

則m的取值范圍是

.

(3)若則cot(sin)·tan(cos)

的符號是

（用“正”、“負”填空）.負5.三角函數(shù)線的特征：正弦線MP“站在x軸上（起點在x軸上）”、余弦線OM“躺在x軸上（起點是原點）”、正切線AT“站在點A（1，0）處（起點是

A）”.三角函數(shù)線的重要應用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式.如（1）若<0，則

sin,cos,tan的大小關系為

.(2)若為銳角，則,sin,tan的大小關系為

.(3)函數(shù)的定義域是

.6.同角三角函數(shù)的基本關系式（1）平方關系：sin2+cos2=1.(2)商數(shù)關系：同角三角函數(shù)的基本關系式的主要應用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值.

在運用平方關系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角形函數(shù)值的絕對值.如①函數(shù)的值的符號為

（用“正”、“負”填空）.正②若0≤2x≤2，則使成立的x的取值范圍是

.7.三角函數(shù)誘導公式的本質是:奇變偶不變（對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,0≤<2;(2)轉化為銳角三角函數(shù).如①的值為

.②已知sin(540°+)=,則cos(-270°)=

,若為第二象限角，則.8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

sin(±)=sincos±cossin

9.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構.即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！其次看函數(shù)名稱之間的關系，通常“切化弦”；再次觀察代數(shù)式的結構特點.基本的技巧有（1）已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如等，如已知那么的值是

.

（2）三角函數(shù)名互化（切化弦），如①求值：

sin50°(1+tan10°)=

.②已知則

.

（3）公式變形使用如①已知A、B為銳角，且滿足tanAtanB=tanA+tanB+1，則cos(A+B)=

.②設△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,sinAcosA=,則此三角形是

三角形.(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升（降冪公式：與升冪公式：1等邊10.輔助角公式中輔助角的確定：（其中角所在的角限由a,b的符號確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著重要作用.

如（1）若方程有實數(shù)解，則c

的取值范圍是

.

（2）當函數(shù)y=2cosx-3sinx取得最大值時，tanx

的值是

.［-2，2］

11.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連結起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象.12.正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)、余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)

的性質（1）定義域：都是R.

（2）值域：都是［-1,1］，對y=sinx，當

(k∈Z)時，y取最大值1；當(k∈Z)

時，y取最小值-1；對y=cosx，當(k∈Z)

時，y取最大值1，當(k∈Z)時，y取最

小值-1.如①若函數(shù)y=a-bsin的最大值為最小值為則a=

,b=

.②函數(shù)f(x)=sinx+的值域是

.(3)周期性：①y=sinx、y=cosx的最小正周期都是

;②f(x)=Asin(x+)和f(x)=Acos(x+)

的最小正周期都是如若f(x)=則

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)=

.（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)是奇函數(shù)，對稱中心是（k,0）(k∈Z)，對稱軸是直線(k∈Z);余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)是偶函1或-1［-1,2］0

數(shù)，對稱中心是（k+0）(k∈Z)，對稱軸是直線x=k(k∈Z)（正（余）弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸交點）.如①函數(shù)的奇偶性是

.②已知函數(shù)f(x)=ax+bsin3x+1(a,b為常數(shù))，且

f(5)=7,則f(-5)=

.

（5）單調性：y=sinx在(k∈Z)上單調遞增，在(k∈Z)單調遞減；

y=cosx在［2k,2k+］(k∈Z)上單調遞減，在［2k+,2k+2］(k∈Z)上單調遞增.特別提醒，別忘了k∈Z.偶函數(shù)-5

13.形如y=Asin(x+)的函數(shù)（1）函數(shù)y=Asin(x+)表達式的

確定：A由最值確定；由周期確定；

由圖象上的特殊點確定,如

(A>0,>0,的圖象如圖所示，則f(x)=

.(2)函數(shù)y=Asin(x+)圖象的畫法：①五點法——設X=x+,令X=0，求出相應的x值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；②圖象變換法，它是作函數(shù)簡圖常用方法.

（3）函數(shù)y=Asin(x+)+k的圖象與y=sinx圖象間的關系：①函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標不變，橫f(x)=Asin(x+)

坐標向左（>0）或向右(<0)平移||個單位得

y=sin(x+)的圖象；②函數(shù)y=sin(x+)圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)y=

sin(x+)的圖象；③圖象y=sin(x+)圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍,得到函數(shù)

(x+)的圖象；④函數(shù)y=Asin(x+)

圖象的橫坐標不變,縱坐標向上(k>0)或向下(k<0)

平移|k|個單位得到y(tǒng)=Asin(x+)+k的圖象.要特別注意，若由y=sinx得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象，則應向左或向右平移個單位.如函數(shù)

2sin的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到

y=sinx的圖象？y=siny=

答案向上平移1個單位得y=2sin(2x-)的圖象，再向左平移個單位得y=2sin2x的圖象，橫坐標擴大到原來的2倍得y=2sinx的圖象，最后將縱坐標縮小到原來的即得y=sinx的圖象14.正切函數(shù)y=tanx的圖象和性質（1）定義域：（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線

y=a的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期.絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說

來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定.如y=sin2x,y=|sinx|的周期都是,但的周期為而的周期不變；（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù),對稱中心是

(5)單調性：正切函數(shù)在開區(qū)間

(k∈Z)內都是增函數(shù).但要注意在整個定義域上不具有單調性.(k∈Z)y=│sinx│y=│tanx│15.三角形中的有關公式（1）內角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題不可忘記任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

（2）正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：（?。゛∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(ⅱ)sinA(ⅲ)a=2RsinA,b=2RsinB,

c=2RsinC;②已知三角形兩邊一對角，求解三角

形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.

（3）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,

等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

（4）面積公式：

(其中r為三角形內切圓半徑).如△ABC中，若

sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C,則△ABC的形狀是

.直角三角形1.（2009·全國Ⅰ文，1）sin585°的值為（）

A. B.C.D.

解析

+45°)=2.（2009·遼寧文，8）已知tan=2,則sin2+sincos-2cos2= （）

A.B.C.D.

解析又故原式sin585°=sin(360°+225°)=sin(180°AD3.已知函數(shù)y=sin(x+)(>0,0<),且此函數(shù)的圖象如圖所示，則點（,）的坐標是 ()A. B.C. D.

解析結合圖形提供的信息分別確定,的值，由圖知函數(shù)的周期故(,)的坐標為因此選C.C4.（2009·四川文，4）已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R)，下面結論錯誤的是 （）

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2B.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)

C.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=0對稱

D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

解析

A正確;

y=cosx在上是減函數(shù)，y=-cosx在上是增函數(shù)，B正確；由圖象知y=-cosx關于直線x=0對稱，C正確.

y=-cosx是偶函數(shù)，D錯誤.D5.已知那么的值是()A. B.C.2 D.-2解析從而由已知得A6.如圖，為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A、

B，望對岸標記物C,測得∠CAB=30°，

AB=120米，則河的寬度是 ()

A.40米B.50米C.60米D.70米解析作CD⊥AB，河寬為CD.

則得CD=60(米).∠CBA=75°,C7.在△ABC中，a、b分別為角A、B的對邊，若

B=60°，C=75°，a=8，則邊b=

.

解析易得A=45°，由正弦定理，

得8.（2009·上海理，6）函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是

.

解析∵y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x

9.給出下列命題：①存在實數(shù)x，使sinx+cosx=②若是第一象限角，且,則③