離散型隨機變量的參數(shù)估計與檢驗

離散型隨機變量的參數(shù)估計與檢驗第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日1、總體率：在伯努利概型中，事件A出現(xiàn)的概率P（A）稱為總體率，它通常是一個未知的參數(shù)。2、樣本率：在伯努利概型中，若容量為n的某樣本中事件A出現(xiàn)m次，則事件A出現(xiàn)的頻率的f=m/n稱為樣本率，它通常是一個統(tǒng)計量。一、總體率的區(qū)間估計定理

若X～B(n,p)，則

證：第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3、小樣本時總體參數(shù)的估計由定理知，樣本率是總體率的無偏估計量?？刹榻y(tǒng)計用表,得到p的置信區(qū)間(p1,p2)例1用某種中醫(yī)療法治療青少年近視15例,其中10人近期有效,求該法近期有效率95%置信區(qū)間解：15例中的近期有效人數(shù)服從二項分布m=10,n-m=5,1-α=0.95,查表得p1=0.384,p2=0.882近期有效總體率p的95%置信區(qū)間(0.384,0.882)第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日A是大量伯努利試驗中的稀有事件,A出現(xiàn)次數(shù)X～P(k;λ),總體均數(shù)EX=λ,總體方差DX=λ小樣本時,根據(jù)n個單元的樣本計數(shù)c查統(tǒng)計用表,可得到nλ的置信區(qū)間(nλ1,nλ2),上,下限分別除以n,即得總體均數(shù)λ的置信區(qū)間例2用計數(shù)器測量某種放射性標本,3分鐘讀數(shù)45,求每分鐘讀數(shù)的95%置信區(qū)間泊松概率模型的參數(shù)估計第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日每分鐘讀數(shù)服從泊松分布c=45,n=3,1-α=0.95,查表3λ1=32.82,3λ2=60.21故每分鐘讀數(shù)即總體均數(shù)λ的95%置信區(qū)間為=(10.94,20.07)3.1.2大樣本時總體參數(shù)的估計定理2X～B(k;n,p),n足夠大,總體率p的1-α置信區(qū)間為第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日由定理1,n足夠大時,近似有～～N(0,1)用頻率代替概率p,用近似率的標準誤～N(0,1)故總體率p的1-α置信區(qū)間為二項總體在樣本容量n≥50時,總體率p的置信區(qū)間為第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日泊松總體在n個單元的樣本計數(shù)c≥50時,近似有～N(0,1)從而nλ的1-α置信區(qū)間為例3復方當歸注射液治療腦動脈硬化癥188例,顯效83例,求復方當歸注射液顯效率的95%置信區(qū)間188例患者中顯效人數(shù)服從二項分布n=188,m=83,得第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日故復方當歸注射液顯效率p的95%置信區(qū)間為=(0.3705,0.5125)3.1.3單樣本的假設檢驗二項總體在樣本容量n≥50時對H0：p＝p0,可用u統(tǒng)計量檢驗總體率p與常量p0的差異是否有統(tǒng)計意義第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日前提信息H1H0統(tǒng)計量P值拒H0二項分布n≥50

p≠p0p＝p0查雙尾P≤αp與p0不等p>p0查單尾p<p0查單尾泊松總體在n個單元的樣本計數(shù)c≥50時對H0：λ＝λ0，可用u統(tǒng)計量檢驗λ與常量λ0的差異是否有統(tǒng)計意義第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例4胃潰瘍患者20%發(fā)生胃出血癥狀,某醫(yī)院觀察65歲以上胃潰瘍患者304例,有96例發(fā)生胃出血癥狀,65歲以上患者是否比較容易胃出血？304例患者中胃出血人數(shù)服從二項分布n=304,m=96,得H0：p＝0.20，H1：p≠0.20雙尾概率P<0.01以α＝0.01水準的雙側(cè)檢驗拒絕H0，接受H1p與0.20差異有統(tǒng)計意義,65歲以上患者容易胃出血第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3.1.4兩樣本的假設檢驗兩個二項總體總體率為p1,p2,樣本n1≥50,n2≥50n1,n2足夠大時近似有～～～第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日～N(0,1)H0：p1=p2的假定下,用聯(lián)合樣本率作總體率估計值～N(0,1)第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日前提信息H1H0檢驗統(tǒng)計量P值拒H0二項分布n1≥50n2≥50p1≠p2p1＝p2雙尾P≤αp與p0不等p1>p2單尾p1<p2單尾兩個泊松總體均數(shù)λ1,λ2,在n1,n2個單元的樣本計數(shù)c1≥50,c2≥50,對H0:λ1=λ2,可用u統(tǒng)計量兩個檢驗λ1與λ2的差異是否有統(tǒng)計意義第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例5兩批首烏注射液,第一批隨機抽240支,發(fā)現(xiàn)15支變質(zhì),第二批隨機抽180支,發(fā)現(xiàn)14支變質(zhì),試問兩批首烏注射液的變質(zhì)率是否相同？第一批240支,第二批180支注射液中的變質(zhì)支數(shù)均服從二項分布,n1=240,m1=15,n2=180,m2=14H0:p1=p2,H1:p≠0.20,聯(lián)合樣本率為第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日單尾概率P>0.05，只能以α＝0.05水準的單側(cè)檢驗接受H0，p1與p2的差異無統(tǒng)計意義，認為兩批首烏注射液的變質(zhì)率相同．3.1.5分類資料的檢驗方法選擇兩組小樣本分類資料不能使用u檢驗,多組分類資料也不宜直接進行兩兩間的u檢驗,因為這可能加大犯第一類錯誤的概率.分類資料把數(shù)據(jù)按兩個或更多屬性分類編成列聯(lián)表,選擇相應的檢驗方法第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例6乙型腦炎重癥病人204例隨機分為兩組,用某中草藥方劑治療,其中一組人工牛黃.病人根據(jù)治療方法和治療效果進行無重復無遺漏的完全分類組別治愈未愈合計不加牛黃324678加牛黃7650126合計10896204把全部數(shù)據(jù)按兩個分類原則進行完全分類列成的頻數(shù)表格稱為列聯(lián)表,分類頻數(shù)排成R行C列的列聯(lián)表稱為R×C列聯(lián)表,2×2列聯(lián)表也稱為四格表第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3.2計數(shù)資料的分析

3.2.1R×C表獨立性檢驗

例1為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對病人組和對照組作定性檢查組別陽性數(shù)陰性數(shù)合計病人組29(18.74)7(17.26)36對照組9(19.26)28(17.74)37合計383573第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日雙向無序,病人組陽性樣本率對照組陽性樣本率樣本推斷病人組,對照組的陽性總體率p1,p2是否不同,需檢驗假設H0:p1=p2H0可寫為“分組”對“陽性數(shù)”無影響,改寫為“分組”與“陽性數(shù)”獨立,雙向無序表列聯(lián)表獨立性檢驗

在H0:“分組”與“陽性數(shù)”獨立假設下,全部數(shù)據(jù)視為一個總體的樣本,計算陽性聯(lián)合樣本率,作為陽性總體率的估計值,稱陽性理論率,用理論率推算樣本各實際頻數(shù)Oij的估計值,稱理論頻數(shù)或經(jīng)驗頻數(shù)Eij

第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日病人組陽性理論頻數(shù)陰性理論頻數(shù)對照組陽性理論頻數(shù)陰性理論頻數(shù)分類變量X的分類標志為X1,…,XR,分類變量Y的分類標志為Y1,…,YC,實際頻數(shù)的行合計記為O1·,…,OR·,實際頻數(shù)的列合計記為O·1,…,O·C,總頻數(shù)記為N第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日分類Y1…YC合計X1O11(E11)……O1C(E1C)O1·…………………………XROR1(ER1)……ORC(ERC)OR·合計O·1……O·CN列聯(lián)表雙向無序,理論頻數(shù)Eij等于所在行與列的合計數(shù)之積除以N,在H0：X與Y獨立假設下,實際頻數(shù)Oij與理論頻數(shù)Eij的差異是隨機誤差,Pearson用卡方統(tǒng)計量第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日df＝(R－1)(C－1)反映實際Oij與理論Eij吻合程度,稱Pearson卡方檢驗定理1Pearson卡方統(tǒng)計量df≠1時用定理1計算卡方統(tǒng)計量可不寫出理論頻數(shù)第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日若R×C列聯(lián)表中理論頻數(shù)出現(xiàn)小于1或理論頻數(shù)小于5的格數(shù)超過總格數(shù)1/5時,則必須增大樣本例數(shù),或把理論頻數(shù)太小的行,列與性質(zhì)相近的鄰行,列合并,或刪去理論頻數(shù)太小的行,列例2判斷患鼻咽癌與血型有無關(guān)系分類A型血B型血O型血AB型血合計患癌者648613020300健康人12513821026499合計18922434046799第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日第一行合計數(shù),第四列合計數(shù)最小,最小理論頻數(shù)H0:“患癌”與“血型”獨立,H1:“患癌”與“血型”不獨立=1.921第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日df＝(2－1)(4－1)＝3，單尾概率P>0.25以α＝0.05水準的單側(cè)檢驗接受H0兩組總體率的差異無統(tǒng)計意義,患癌與血型沒有關(guān)系3.2.2四格表獨立性檢驗

定理2df＝1,Pearson卡方O11－E11

第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日O12－E12＝O21－E21＝O22－E22

第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日雙向無序四格表,N≥40且所有理論頻數(shù)大于5,用Pearson卡方統(tǒng)計量,若所得P≈α,改用確切概率法N≥40,理論頻數(shù)小于5(但≥1),用校正卡方統(tǒng)計量df＝1N<40或理論頻數(shù)小于1,則不能使用卡方檢驗,應使用Fisher精確檢驗,稱為四格表確切概率法例3對例1判斷兩組的尿棕色素陽性率是否不同第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日N＝73>40，第一行合計數(shù)、第二列合計數(shù)最小最小理論頻數(shù)>5Pearson卡方檢驗H0:“中毒”與“陽率”獨立,H1:“中毒”與“陽率”不獨立df＝1,雙尾概率P<0.01以α＝0.01水準的雙側(cè)檢驗拒絕H0，接受H1兩組總體率的差異有統(tǒng)計意義,認為鉛中毒病人的尿棕色素陽性率高于對照組第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例4隨機抽取15名工人穿新防護服,其余穿舊防護服,一個月后檢查兩組工人患皮膚炎的情況,判斷兩種防護服的皮膚炎患病率是否不同組別陽性數(shù)陰性數(shù)合計新防護服11415舊防護服101828合計113243N＝43>40,第一行合計數(shù)、第一列合計數(shù)最小最小理論頻數(shù)<5但≥1使用校正卡方檢驗第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日H0:“防服”與“皮炎”獨立,H1:“防服”與“皮炎”不獨立df＝1.單尾P>0.05.以α＝0.05水準單側(cè)檢驗接受H0，差異無統(tǒng)計意義,不能認為兩種服的皮炎患病率不同第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3.3等級資料的分析

3.3.1Ridit分析例1中藥與傳統(tǒng)西醫(yī)兩種方法治療小兒急性痢疾

組別痊愈顯效好轉(zhuǎn)無效合計中醫(yī)組6826153112西醫(yī)組7373882551155單向有序2×4列聯(lián)表,不宜用卡方檢驗,可用Ridit分析relativetoanidentifieddistribution與unit第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日選一個大容量樣本作基準稱為參照組,分k個等級,第i等級頻數(shù)為mi(1≤i≤k)，參照組樣本容量為n

第i等級的頻率定義1參照組前i－1個等級的頻率與第i等級頻率之半的和,稱第i等級的參照單位或R值,記為Ri

(2≤i≤k－1)第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日定理1參照組R值的樣本均數(shù)R值樣本均數(shù)為各等級頻數(shù)與相應R值的加權(quán)平均其它樣本稱為對比組,均以參照組的R值為各等級的標準.對比組R值的樣本均數(shù),按各等級頻數(shù)與相應參照組R值的加權(quán)平均計算,一般與0.5有差異第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日Bross指出,R值理論分布為[0,1]均勻分布,密度函數(shù)f(x)＝1(0≤x≤1),總體均數(shù)1/2,總體方差1/12定理2n足夠大,R值總體均數(shù)μR的1-α置信區(qū)間對比組R值總體均數(shù)樣本均數(shù)的標準誤第三十