冪函數(shù)及冪函數(shù)知識總結

PAGEPAGE1冪函數(shù)知識點總結1．冪函數(shù)的概念（1）一般地，冪函數(shù)的表達式為，其中為常數(shù)；其特征是以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)。（2）所有的冪函數(shù)在區(qū)間都有定義，并且圖象都通過點(1,1)。（3）學習和理解冪函數(shù)的概念時要注意以下幾點：①形如形式的函數(shù)不是冪函數(shù)。②冪函數(shù)中的為任意實數(shù)。③確定一個冪函數(shù)，只需求出即可。2．冪函數(shù)的圖象我們只討論冪函數(shù)中時的圖象。在同一平面直角坐標系作出冪函數(shù)的圖象。（1）列表、（2）描點：3）連線：用光滑的曲線將各點連結起來。如圖（2）記熟上面各函數(shù)圖象的形狀，及它們之間的“高低”關系。（3）函數(shù)可記為。（4）時，圖象都過點，時，只過(1,1)不過(0,0)點。3．冪函數(shù)的性質從上圖可以觀察到冪函數(shù)的特征如下：函函數(shù)特征性質定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增時，增增增時，減時，減時，減定點(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)結合以上特征得冪函數(shù)的性質如下：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(1,1)；（2）如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間上為增函數(shù)；（3）如果，則冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)，在第一象限內，當從右邊趨向于原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸，當趨向于時，圖象在軸上方無限地逼近軸；（4）當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶函數(shù)，冪函數(shù)為偶函數(shù)。4．求冪函數(shù)的定義域、值域冪函數(shù)的定義域要根據(jù)解析式來確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內求解。5．冪函數(shù)的單調性和奇偶性冪函數(shù)的單調性與奇偶性與一般函數(shù)的單調性和奇偶性相同，在證明或判斷時，主要應用定義法判斷，有時也用冪函數(shù)的性質加以判斷。6．比較大小比較大小問題一般是利用函數(shù)的單調性，當不便利用單調性時，可與0和1去比較，這種方法叫“搭橋”法。經(jīng)典例題1.如圖，冪函數(shù)在第一象限內的圖象，已知取四個值，則相應于曲線的依次為（）A． B．C． D．2.如圖所示是函數(shù)的圖象，則（）A．是奇數(shù)，且 B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且 D．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且3.函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．如圖所示，冪函數(shù)在第一象限的圖象，比較0,,1的大?。ǎ〢．B．C．D．5．的圖象是（）6．函數(shù)是冪函數(shù)，且時為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（）A．或2 B． C． D．7．給出下列說法：①函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱；②函數(shù)的圖象關于y軸成軸對稱；③函數(shù)在上是減函數(shù).其中正確說法的個數(shù)是（）A．0 B．1 C8．函數(shù)的圖象是 （） A．B．C．D．9．函數(shù)和圖象滿足 （）A．關于原點對稱 B．關于軸對稱C．關于軸對稱 D．關于直線對稱10．函數(shù)，滿足 （）A．是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．是偶函數(shù)又是增函數(shù)C．是奇函數(shù)又是增函數(shù) D．是偶函數(shù)又是減函數(shù)11．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是 （）A． B． C． D．12．函數(shù)的定義域是.13．的解析式是 .14．是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)的值是.15．冪函數(shù)圖象在一、二象限，不過原點，則的奇偶性為.16．若，則 17已知函數(shù)；（1）證明：是奇函數(shù)，并求的單調區(qū)間；（2）分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明。18.比較下列各組數(shù)的大小；（1）和；（2）和（3）和19．已知冪函數(shù)f（x）＝（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且在其定義域內是偶函數(shù)，求p的值，并寫出相應的函數(shù)f（x）．20．已知函數(shù)（a為常數(shù)）.（1）a為何值時此函數(shù)為冪函數(shù)？（2）a為何值時此函數(shù)為正比例函數(shù)？（3）a為何值時此函數(shù)為反比例函數(shù)？21．求不等式的解集.22．已知函數(shù)y＝．（1）求函數(shù)的定義域、值域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）求函數(shù)的單調區(qū)間．冪函數(shù)復習一、冪函數(shù)定義：形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)。注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何不同？【思考·提示】本質區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置．觀察圖：歸納：冪函數(shù)圖像在第一象限的分布情況如下：二、冪函數(shù)的性質歸納：冪函數(shù)在第一象限的性質：，圖像過定點（0,0）（1,1），在區(qū)間（）上單調遞增。，圖像過定點（1,1），在區(qū)間（）上單調遞減。探究：整數(shù)m,n的奇偶與冪函數(shù)的定義域以及奇偶性有什么關系？結果：形如的冪函數(shù)的奇偶性（1）當m，n都為奇數(shù)時，f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱；（2）當m為奇數(shù)n為偶數(shù)時，f（x）為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱；（3）當m為偶數(shù)n為奇數(shù)時，f（x）是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限內.三、冪函數(shù)的圖像畫法：關鍵先畫第一象限，然后根據(jù)奇偶性和定義域畫其它象限。指數(shù)大于1,在第一象限為拋物線型（凹）；指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線；指數(shù)大于0小于1,在第一象限為拋物線型（凸）；指數(shù)等于0,在第一象限為水平的射線；指數(shù)小于0,在第一象限為雙曲線型；四、規(guī)律方法總結：1、冪函數(shù)的圖像：2、冪函數(shù)的圖像：3、比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大?。}型一：冪函數(shù)解析式特征例1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=xB.y=3xC.y=x+1D.y=x練習1：已知函數(shù)是冪函數(shù)，求此函數(shù)的解析式．練習2：若函數(shù)是冪函數(shù)，且圖象不經(jīng)過原點，求函數(shù)的解析式．題型二：冪函數(shù)性質例2：下列命題中正確的是（）

A．當時，函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0，0），（1，1）兩點C．冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內D．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則在定義域內是增函數(shù)練習3：如圖，曲線c1,c2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限的圖象，那么一定有（）A．n<m<0B．m<n<0C．m>n>0D．n>m>0練習4：．（1）函數(shù)y＝的單調遞減區(qū)間為（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）（2）．函數(shù)y＝x在區(qū)間上是減函數(shù)．（3）．冪函數(shù)的圖象過點(2,),則它的單調遞增區(qū)間是．題型三：比